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Integral über Produkt von Mayer-f-Funktionen
 
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clueless_noob
Gast





Beitrag clueless_noob Verfasst am: 27. Apr 2020 11:48    Titel: Integral über Produkt von Mayer-f-Funktionen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo!

Ich möchte ein Integral über das Produkt zweier Mayer-f-Funktionen für harte Kugeln ausführen:





Dabei ist der Verbindungsvektor zwischen zwei Kugeln gleicher Art mit Durchmesser und verbindet eine Kugel vom Typ 2 mit einer Kugel anderer Art ().

Die Integration über die f-Funktion, die nur von abhängt ist kein Problem. Aber ich weiß nicht, wie ich mit der anderen Funktion, welche die Subtraktion enthält, umgehen soll.




Meine Ideen:
Die Funktion hängt ja eigentlich nur vom Betrag des Verbindungsvektors ab.
Daher wollte ich diesen durch die beiden Vektoren parametrisieren.

Aber ich hab leider noch keinen sinnvollen Ansatz dafür gefunden....
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 6238

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 27. Apr 2020 12:23    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist zwar nicht mein Fachgebiet, aber wenn Du Dir die beiden zu multiplizierenden Funktionen skizzierst, siehst Du, dass das Produkt für im Bereich Eins ist, sonst Null.

Wenn Du nun erhöhst, wird dieser Bereich zunächst kleiner, geht auf Null, um dann wieder größer zu werden. So kannst Du das Integral in Abhängigkeit von angeben.

Viele Grüße
Steffen
clueless_noob
Gast





Beitrag clueless_noob Verfasst am: 27. Apr 2020 16:29    Titel: Antworten mit Zitat

Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben:
Es ist zwar nicht mein Fachgebiet, aber wenn Du Dir die beiden zu multiplizierenden Funktionen skizzierst, siehst Du, dass das Produkt für im Bereich Eins ist, sonst Null.

Wenn Du nun erhöhst, wird dieser Bereich zunächst kleiner, geht auf Null, um dann wieder größer zu werden. So kannst Du das Integral in Abhängigkeit von angeben.

Viele Grüße
Steffen


Ich steh auf dem Schlauch oder ich bin zu blöd, jedenfalls verstehe ich leider nicht so ganz wie du das meins.
Die Funktion hängt ja vom Betrag des Verbindungsvektors der Raumpunkte ab. Aber da es sich um Vektoren handelt spielt die Orientierung ja auch eine Rolle, will sagen:
Wenn ich einfach nur einen bestimmten Betrag für r annehme, ist die Länge des Verbindungsvektors ja trotzdem noch von der Orientierung von r abhängig.

Ich hatte jetzt noch eine andere Idee:
Wenn ich jetzt den Verbindungsvektor der beiden gleichartigen Kugeln entlang der z-Achse annehme, dann entspricht der Winkel zwischen und ja dem Azimutwinkel in Kugelkoordinaten.
clueless_noob
Gast





Beitrag clueless_noob Verfasst am: 27. Apr 2020 16:32    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hatte jetzt noch eine andere Idee:
Wenn ich jetzt den Verbindungsvektor der beiden gleichartigen Kugeln entlang der z-Achse annehme, dann entspricht der Winkel zwischen und ja dem Azimutwinkel in Kugelkoordinaten.[/quote]

OK, das bringt mich wohl leider auch nicht weiter....
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 6238

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 27. Apr 2020 17:04    Titel: Antworten mit Zitat

Was ich meine, siehst Du unten in den zwei Diagrammen. Das obere zeigt die Funktion , das untere die Funktion . Das ganze ist jeweils über der -Achse aufgetragen, denn darüber wird ja integriert. Dann ist eine Konstante, die ich für das Beispiel auf Null gesetzt habe. Und ist fest auf 0,5 gesetzt.

Dann ergibt die Multiplikation beider Funktionen eine Produktfunktion, die von -0,5 bis +0,5 den Wert 1 hat und ansonsten Null ist. Das Integral (die Fläche) hat somit ebenfalls den Wert 1.

Das ist nun der Integralwert für , andere Werte kann man entsprechend berechnen.

Ich bin zwar nach wie vor nicht sicher, ob dieser rein mathematische, von keinerlei weiterer Kenntnis getrübter Ansatz Dich weiterbringt, aber wer weiß...



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clueless_noob
Gast





Beitrag clueless_noob Verfasst am: 27. Apr 2020 17:30    Titel: Antworten mit Zitat

Erstmal vielen vielen Dank, dass du dir so viel Mühe machst.

Was ich nicht verstehe ist folgendes:
Wenn dann macht das für mich alles Sinn.

Aber ist nur ein Skalar, was die Bedingung für den Betrag der Vektoren gibt.
Wenn spielt die Orientierung der beiden Vektoren zueinander auch eine Rolle.

Ich gehe mal vom Betrag aus:



Ich weiß, dass der Betrag kleiner sein muss. Ich habe durch das Produkt mit f(r') auch eine Bedingung für r'. Aber ich kenne den eingeschlossenen Winkel nicht und habe keine dafür gegeben.

Wenn ist das ja kein Problem.
clueless_noob
Gast





Beitrag clueless_noob Verfasst am: 27. Apr 2020 17:48    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist noch was aufgefallen:

Wieso ist die Mayerfunktion f(r'-r) gleich -1 für es gilt doch folgendes:



So sollte sich die Funktion doch verhalten wenn
clueless_noob
Gast





Beitrag clueless_noob Verfasst am: 27. Apr 2020 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

clueless_noob hat Folgendes geschrieben:
Mir ist noch was aufgefallen:

Wieso ist die Mayerfunktion f(r'-r) gleich -1 für es gilt doch folgendes:



So sollte sich die Funktion doch verhalten wenn


Ok vergiss das, ich hab den einen Abschnitt von dir nur nicht richtig gelesen
Gast002
Gast





Beitrag Gast002 Verfasst am: 27. Apr 2020 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

Spezialist auf dem Gebiet bin ich auch nicht. Aber ich denke, der Vektorcharakter von muß eine Rolle spielen.

Mit der Schreibweise, wie definiert wurde, komme ich nicht richtig klar. Daher hier eine andere Schreibweise, so wie ich es verstanden habe:

Ist das richtig so?

Wenn es richtig ist, schlage ich folgenden Weg zur Berechnung des Integrals vor:
- Das Koordinatensystem wird so gelegt, daß der bei der Integration konstante Vektor in Richtung der z-Achse zeigt. Dann ist das ganze Problem rotationssymmetrisch zur z-Achse.
- Die Integration wird in Kugelkoordinaten (für den Vektor ) ausgeführt
- Für die Berechnung der Funktion braucht man den Betrag . Der kann über den Kosinussatz aus den Beträgen beider Vektoren und dem Winkel zwischen ihnen bestimmt werden.

Damit könnte die Berechnung des Integrals machbar sein.
clueless_noob
Gast





Beitrag clueless_noob Verfasst am: 27. Apr 2020 22:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ja die Definition von f(r) ist richtig so, wie du sie geschrieben hast. Ich wusste nur nicht, wie ich im latex die geschweifte Klammer so machen kann Big Laugh

Die Idee hatte ich auch, aber ich hab damit keinen Erfolg gehabt. Für heute mach ich schluss und versuch es dann morgen wieder.
Gast002
Gast





Beitrag Gast002 Verfasst am: 28. Apr 2020 20:10    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

falls es Dich interessiert, hier ist der Latexausdruck für die Funktionsdefinition:

f(\vec{r}) = \Big\{ {{-1 \quad wenn \quad r < \sigma} \atop { 0 \quad wenn \quad r \geq \sigma}}

Schreib, wo Du bei der Lösung des Integrals hängenbleibst.
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