Integral über Produkt von Mayer-f-Funktionen

clueless_noob · Gast

Meine Frage:
Hallo!

Ich möchte ein Integral über das Produkt zweier Mayer-f-Funktionen für harte Kugeln ausführen:

Dabei ist

der Verbindungsvektor zwischen zwei Kugeln gleicher Art mit Durchmesser

und

verbindet eine Kugel vom Typ 2 mit einer Kugel anderer Art (

).

Die Integration über die f-Funktion, die nur von

abhängt ist kein Problem. Aber ich weiß nicht, wie ich mit der anderen Funktion, welche die Subtraktion enthält, umgehen soll.

Meine Ideen:
Die Funktion hängt ja eigentlich nur vom Betrag des Verbindungsvektors ab.
Daher wollte ich diesen durch die beiden Vektoren parametrisieren.

Aber ich hab leider noch keinen sinnvollen Ansatz dafür gefunden....

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7232

Es ist zwar nicht mein Fachgebiet, aber wenn Du Dir die beiden zu multiplizierenden Funktionen skizzierst, siehst Du, dass das Produkt für

im Bereich

Eins ist, sonst Null.

Wenn Du nun

erhöhst, wird dieser Bereich zunächst kleiner, geht auf Null, um dann wieder größer zu werden. So kannst Du das Integral in Abhängigkeit von

angeben.

Viele Grüße
Steffen

clueless_noob · Gast

clueless_noob · Gast

Ich hatte jetzt noch eine andere Idee:
Wenn ich jetzt den Verbindungsvektor der beiden gleichartigen Kugeln entlang der z-Achse annehme, dann entspricht der Winkel zwischen

und

ja dem Azimutwinkel in Kugelkoordinaten.[/quote]

OK, das bringt mich wohl leider auch nicht weiter....

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7232

Was ich meine, siehst Du unten in den zwei Diagrammen. Das obere zeigt die Funktion

, das untere die Funktion

. Das ganze ist jeweils über der

-Achse aufgetragen, denn darüber wird ja integriert. Dann ist

eine Konstante, die ich für das Beispiel auf Null gesetzt habe. Und

ist fest auf 0,5 gesetzt.

Dann ergibt die Multiplikation beider Funktionen eine Produktfunktion, die von -0,5 bis +0,5 den Wert 1 hat und ansonsten Null ist. Das Integral (die Fläche) hat somit ebenfalls den Wert 1.

Das ist nun der Integralwert für

, andere Werte kann man entsprechend berechnen.

Ich bin zwar nach wie vor nicht sicher, ob dieser rein mathematische, von keinerlei weiterer Kenntnis getrübter Ansatz Dich weiterbringt, aber wer weiß...

clueless_noob · Gast

Erstmal vielen vielen Dank, dass du dir so viel Mühe machst.

Was ich nicht verstehe ist folgendes:
Wenn

dann macht das für mich alles Sinn.

Aber

ist nur ein Skalar, was die Bedingung für den Betrag der Vektoren gibt.
Wenn

spielt die Orientierung der beiden Vektoren zueinander auch eine Rolle.

Ich gehe mal vom Betrag aus:

Ich weiß, dass der Betrag kleiner

sein muss. Ich habe durch das Produkt mit f(r') auch eine Bedingung für r'. Aber ich kenne den eingeschlossenen Winkel

nicht und habe keine dafür gegeben.

Wenn

ist das ja kein Problem.

clueless_noob · Gast

Mir ist noch was aufgefallen:

Wieso ist die Mayerfunktion f(r'-r) gleich -1 für

es gilt doch folgendes:

So sollte sich die Funktion doch verhalten wenn

clueless_noob · Gast

Gast002 · Gast

Hallo,

Spezialist auf dem Gebiet bin ich auch nicht. Aber ich denke, der Vektorcharakter von

muß eine Rolle spielen.

Mit der Schreibweise, wie

definiert wurde, komme ich nicht richtig klar. Daher hier eine andere Schreibweise, so wie ich es verstanden habe:

Ist das richtig so?

Wenn es richtig ist, schlage ich folgenden Weg zur Berechnung des Integrals vor:
- Das Koordinatensystem wird so gelegt, daß der bei der Integration konstante Vektor

in Richtung der z-Achse zeigt. Dann ist das ganze Problem rotationssymmetrisch zur z-Achse.
- Die Integration wird in Kugelkoordinaten (für den Vektor

) ausgeführt
- Für die Berechnung der Funktion

braucht man den Betrag

. Der kann über den Kosinussatz aus den Beträgen beider Vektoren und dem Winkel zwischen ihnen bestimmt werden.

Damit könnte die Berechnung des Integrals machbar sein.

clueless_noob · Gast

Ja die Definition von f(r) ist richtig so, wie du sie geschrieben hast. Ich wusste nur nicht, wie ich im latex die geschweifte Klammer so machen kann Big Laugh

Die Idee hatte ich auch, aber ich hab damit keinen Erfolg gehabt. Für heute mach ich schluss und versuch es dann morgen wieder.

Gast002 · Gast

Hallo,

falls es Dich interessiert, hier ist der Latexausdruck für die Funktionsdefinition:

f(\vec{r}) = \Big\{ {{-1 \quad wenn \quad r < \sigma} \atop { 0 \quad wenn \quad r \geq \sigma}}

Schreib, wo Du bei der Lösung des Integrals hängenbleibst.