Effektives Potential bei Zentralkraft.

Gast

Hallo,

ich steh gerade leider auf dem Schlauch und bräuchte mal ne kurze Erklärung.

Wenn man eine Zentralkraft hat, dann kann man doch die Energie in Polarkoordinaten ausdrücken.
Dann ist doch:

Jetzt kann man den Drehimpuls nutzen zu:

Wenn man aber jetzt zB das Potential der Gravitation einsetzt, soll sich doch so eine Funktion ergeben, die zunächst abfällt, dann aber wieder steigt.
Wenn man in der letzten darstellung alle Werte außer r, gleich 1 setzt ergibt sich ja auch so eine Kurve.
Das Problem, was ich habe ist, dass der Drehimpuls doch auch von r abhängig ist.
Mein Problem ist nämlich, dass ich die Kurve des effektiven Potentials für ein Teilchen im Gravitationspotential plotten soll. Ich habe alle Massenangaben und eine Winkelgeschwindigkeit gegeben.
Wie gehe ich denn mit dem Drehimpuls um? Ist der irgendwie konstant?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Ja, bei einem Zentralpotential ist der Drehimpuls immer konstant. D. h., dass sich eben passend phi-punkt ändern muß. wenn sich r ändert. Zum effektiven Potential hatten wir mal einen Thread:
http://www.physikerboard.de/topic,4625,-bahn-einer-sonde-%28horizontaler-undquot%3Bwurfundquot%3B-um-planeten%29.html

Gruß
Marco

Gast

Ich hab mir das mal angeguckt, aber richtig geholfen hat das irgendwie nicht.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Das kann nicht sein. Wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, dann ist auch r konstant und Du hast eine Kreisbahn.
In meinem Kuypers steht z. B. :

Gast

Gut, dann ist das also nichts.

Es geht eigentlich um ein 2-Körperproblem, das sich ja auf ein 1-Körperproblem durch eine entsprechende Wahl der Koordinaten verändert. Wenn ich jetzt zB den Abstand mit der minimalsten Energie betrachten will, dann klappt das aber irgendwie nicht. (m ist die reduzierte Masse).
Ich habe:

Also:

Jetzt muss ich ja den Drehimpuls wieder einsetzen zu:

Da kommt aber was seltsames raus und die Einheiten stimmen doch auch nicht. Versteh das nicht traurig

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Setze L nicht gleich wieder ein. Der Witz ist ja gerade, dass man das ganze so betrachtet, als ob L einfach eine Konstante sei und von r unabhängig (ist sie ja auch in gewissem Sinne, weil sich Omega ja gerade immer so anpassen muß, dass L wieder konstant ist).
Du mußt das ganze wirklich wie ein eindimensionales Problem betrachten, halt mit einigen Konstanten, wie z. B. L und Gamma und den Massen und so. Du hast aber immernoch ein eindimensionales Problem mit einem Potential der Form:

mit irgendwelchen Konstanten a und b. Du solltest dabei nicht zu sehr an irgendwelche Bahnen denken oder so. Wenn Du das ableitest hast Du also:

und dann mit r³ multipliziert:

Jetzt kannst Du die Konstanten einsetzen!

Gruß
Marco

Gast

Damit würde ich auf folgenden Ausdruck kommen:

Was ich aber gegeben habe ist:

und

Wie komm ich jetzt zum Ergebnis?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

OK, jetzt verstehe ich Dein Problem auch endlich! Prost

Allerdings ist das wirklich ein großes Problem. Die Aufgabe macht so nämlich überhaupt gar keinen Sinn! Wenn ich eine feste Winkelgeschwindigkeit hätte, dann wird sowohl die kinetische Energie als auch die potentielle Energie immer größer (monoton steigend, wie der Mathematiker wohl sagen würde), je größer r wird. Also wäre die Antwort auf r für die kleinste Energie einfach: |r|=0!
Wie ist denn genau die Frage formuliert? Gibt es vielleicht irgendein Hinweis auf einen Anfangsradius zusätzlich zu der (Anfangs-)Winkelgeschwindigkeit, mit der man einen Drehimpuls bestimmen könnte? Anders macht es wirklich keinen Sinn.

Gruß
Marco

Gast

Ich habe 2 Körper (2-Körper Problem) und soll nun die Energie ausdrücken.
Hab dann das ganze auf ein 1-Körperproblem reduziert (Schwerpunkt, reduzierte Masse) und hab das effektive Potential mit dem Drehimpuls eingeführt. Dann hab ich das ja abgeleitet um den Radiusvektor zu finden an dem die Energie minimal ist.
Nun kommt als Beispiel die Sonne und die Erde. 2 gegebene Massen und eine bekannte Umlaufdauer von

.
Mehr ist nicht gegeben.