Bahn einer Sonde (horizontaler "Wurf" um Planeten)

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Hallo,

folgendes Problem zu dem mir momentan noch etwas der Ansatz fehlt: eine Sonde umkreist einen Planeten der Masse M mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. In sehr kurzer Zeit wird ihre (tangentiale) Geschwindigkeit aber auf v-Δv abgebremst, so dass sie beginnt sich dem Planeten zu nähern. Wie groß ist der Abstand r' vom Planetenzentrum und die Geschwindigkeit v' der Sonde, wenn sie einmal halb um den Planeten "herumgefallen" ist?

Mein Ansatz ging jetzt in Richtung Erhaltungssätze - Energie und Drehimpuls:

Stimmt das erstmal so weit? Aber irgendwie fehlt ja noch was - die Angabe dass gerade um den halben Planeten gefallen wurde muss sich doch noch irgendwie verwerten lassen.

Na ja, ich bin schonmal auf die Ideen gespannt. smile

para

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das würde ich ganz ohne Rechnerei lösen.
v' = v - \Delta v
und r' = r.

Denn das Problem ist ja symmetrisch. Der Anfangspunkt und der Punkt "nach einmal halb herumfallen" sind die beiden Punkte der ellipsenförmigen Flugbahn, die am weitesten von dem umkreisten Planeten entfernt sind.

Einzige Einschränkung: Delta v darf nicht zu groß sein, sonst knallt der Körper auf den Planeten oder gerät in dessen Atmosphäre und wird abgebremst.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Wenn er Abbremsvorgang schlagartig erfolgt, so muss die neue Bahn eigentlich eine gültige "Planetenbahn" sein. Es kommt eigentlich nur eine Ellipse in Frage.
Die Sonde befindet sich dann zum Anfangszeitpunkt am Aphel der Ellipse, wenn Sie den Perihel erreicht, hat sie Die Erde halb umrundet. Im Brennpunkt dieses (näheren) Scheitels steht die Erde.

Die Exzentrizität ist mit der gesamt-Energie T+V verknüpft durch (hab ich aus Formelsammlung):

wobei a die grosse Halbachse der Kepler Elipse ist.

Aus dem bekannten E kann man a und damit auch den Perihel ausrechnen. Die Geschwindigkeit folgt dann aus Energieerhaltung. Ich nehme an sie ist grösser als die urprüngliche, da man sich ja näher beim Planeten befindet.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich glaube auch eher, dass nach einer halben Umdrehung der Planeten-nächste Punkt auf der ellipstischen Bahn der Sonde erreicht ist.
Wie rechnet man das aber dann? Da muß ich auch mal überlegen...

Gruß
Marco

Edit: Nach kurzem Überlegen ist mir eingefallen: War da nicht mal was mit effektivem Potential? Man kann die Bewegung doch als eine eindimensionale in einem Effektiven Pot. betrachten. Beim Abbremsen befindet sich die Sonde ganz außen in dem Potential und nach einer halben Umdrehung ganz innen. Ich weiß aber jetzt gerade nicht mehr, wie das genau funktioniert hat...

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich habe das mit dem Veff mal geplottet. Damit solltest Du die Aufgabe lösen können, denke ich smile

Gruß
Marco

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Für Kreisbahn gilt der Virialsatz (bekannt auch vom Bohrschen Modell des Wasserstoffs)

Nach der Reduktion hat man ganz am Anfang da W(pot) unverändert

Daraus lässt sich a und damit auch der Perihel trivial ausrechnen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hallo nochmal,

entschuldigt meinen Schnellschuss, das oben von mir war falsch.
Wie schnudl richtig sagt, gilt:

(1. Keplersches Gesetz:)
Die Bahn ist eine Ellipsenbahn mit dem Planeten in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse.

Damit ist die Sonde nach einmal halb herumfallen auf ihrem planetennächsten Punkt angelangt und dort am schnellsten.

para, dein Ansatz ist sehr spannend. Denn deine Gleichung für den Drehimpulserhaltungssatz ist falsch, aber dein System zweier Gleichungen liefert meiner Meinung nach (neben der trivialen Lösung v'=v- \Delta v und r'=r für den Anfangspunkt der Bahn) genau die richtige Lösung.

Denn erstens müsste im richtigen Drehimpulserhaltungssatz (2. Keplersches Gesetz) statt der Bahngeschwindigkeit die Komponente der Bahngeschwindigkeit senkrecht zum Verbindungsvektor Planet-Sonde stehen.

Und zweitens sind genau die zwei Punkte der Bahn, um die es in dieser Aufgabe geht, diejenigen, bei denen die Bahngeschwindigkeit auf der Ellipse eben doch genau senkrecht zu diesem Verbindungsvektor steht.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Damit das Gleichungssystem und das Resultat auch wirklich zum richtigen Ergebnis führen (wie eben beschrieben), muss zusätzlich im Energieerhaltungssatz ein Vorzeichenfehler korrigiert werden: So wie sie hier steht, benötigt die potentielle Energie in beiden Fällen ein negatives Vorzeichen (denn die potentielle Energie bei r ist ja größer als die bei r'):

Damit erhalte ich für v':

und für r':

mit den folgenden Bezeichnungen für die Größen direkt nach dem anfänglichen Abbremsen:

Radius

Geschwindigkeit

,

kinetische Energie

und potentielle Energie im Gravitationsfeld

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ergänzt man in schnudls Gleichungen die Faktoren 2 (wegen a = Halbachse) und m:

so kommt man mit seinem Weg zum selben Ergebnis.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Danke erstmal für die vielen hilfreichen Antworten. :)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Okay, klar. Ich war etwas verwirrt, weil du den Zwischenschritt weggelassen hattest. Aber so ist alles klar. Natürlich lässt sich das Verhältnis leicht nachweisen, aber dass das nützlich sein könnte muss einem in der Situation erstmal einfallen. ^^

Danke nochmal. :)

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Die -1,5 war einfach nur so ein exemplarischer Wert für die Energie in diesem Potential. Die ganzen Zahlenwerte habe ich einfach mal so eingesetzt, um eine Kurve zu plotten. Die sind nicht berechnet und haben keinen Bezug zu Deiner Aufgabe.
Ich kann Dir aber mal schreiben, wie das mit dem effektiven Potential so ist (hoffentlich bekomme ich das noch richtig zusammen...) Eigentlich sollte das aber in Büchern über theoretische Mechanik alles drin stehen.
effektives Potential
Wenn man die Bewegung eines Körpers in einem Zentralpotential betrachtet, tut man das ja sinnigerweise gerne in Kugelkoordinaten. Dabei ist die Energie dann:

Wobei ich bei der Gravitation jetzt mal die Konstanten mit Alpha zusammengefasst habe.
Der (Betrag des) Drehimpuls in Kugelkoordinaten ist:

Und dieser Wert ist eine Erhaltungsgröße.
Deshalb kann man die Energie auch so schreiben:

Mit dem effektiven Potential:

Das heißt, dass man quasi einen Teil der kinetischen Energie zu dem Potential dazurechnen kann und dann nur noch ein eindimensionales Problem hat. Nur die Geschwindigkeit in radialer Richtung trägt dann noch zu der "neuen kinetischen Energie" bei und der Rest ist mit dem effektiven Potential erledigt. Wenn man jetzt so ne Kepplerellipse nimmt un nur den Radius in Abhängigkeit der Zeit aufmalt, dann entspricht das einer Bewegung eines Körpers genau in einem solchen effektiven Potential. Der Radius pendelt also dann immer hin und her. Zufällig beim Kepler-Potential und bei einem harmonischen-oszi-Potential mit der selben Frequenz wie die Umlaufzeit, so dass statische Bahnen entstehen. Bei anderen Potentialen ist das normalerweise nicht so, aber das ist für uns hier nicht wichtig.
Wenn man jetzt das maximale r kennt, dann kann man die Energie und den Drehimpuls ausrechnen und nach einem kleineren r suchen, bei dem dieses Potential den selben Wert hat. An der Energie siehst Du ja, dass dann der Term mit der Zeitableitung von r im Quadrat, also unsere neue kinetische Energie, dabei = 0 sein muß, weil ja die Gesamtenergie nach wie vor erhalten ist. Das heißt die beiden Extrempunkte für den Radius haben dann logischerweise auch eine 0 in der Ableitung des Radius nach der Zeit. So passt dann wieder alles wunderbar zusammen.
Du kannst jetzt also den Drehimpuls aus dem gegebenen v und r ausrechnen. Aus den Massen und r bekommst Du dann einen Wert für das effektive Potential. Wenn Du jetzt nach einem anderen r suchst, das bei identischem L auf das selbe effektive Potential kommt, dann hast Du den minimalen Radius gefunden und das ist der, den Du in der Aufgabe suchst. Allerdings weiß ich nicht, ob das nicht unnötig viel Aufwand ist. Das von schnudl und dermarkus erscheint etwas einfach zu rechnen zu sein, oder?

Gruß
Marco

Edit: Man nennt den Teil aus tangentialen Drehung, also das mit Drehimpuls und so, das Zentrifugalpotential, also das Potential, nur wenn Du das vielleicht nochmal irgendwo suchen willst...

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

@as_string:

Das ist ja eine tolle Sache mit dem effektiven Potential ! Ich kenne das komischerweise aus der Quantenmechanik und der Streutheorie, aber mir war nie bewusst, dass dies (natürlich) auch klassisch gilt...

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo schnudl!

Naja, um ehrlich zu sein wußte ich das auch nicht mehr, als ich die QM gehört habe, bis der Prof sagte, dass das ja genau so wie in der KM sei... Da hab' ich's dann nochmal nachgelesen, sonst wüßte ich das inzwischen sicher nicht mehr. Meine KM Vorlesung ist schon ziemlich lange her (so ungefähr 10 Jahre oder so...)

Gruß
Marco

Edit: Vielleicht nochmal kurz zu meinem Plot: Ich habe die Gerade da nur exemplarisch ein gezeichnet, um die konstante Energie an zu deuten. Die Differenz zwischen der Geraden und dem Potential ist dann das, was in "radialer kinetischer Energie" übrig bleibt, die an den Schnittpunkten gerade = 0 wird. Das ganze hat aber glaube ich mehr den Zweck, um solche Zentralpotentialbewegungen nochmal aus einem anderen Blickwinkel etwas anschaulicher zu machen. So sieht man schnell, dass für gebundene Zustände eben eine art Pendelbewegung im Radius zu erwarten ist, die unabhängig vom wirklichen Potential immer zu beobachten ist. Der Körper wird sich also auch bei anderen Potentialen innerhalb eines Ringes um das Zentrum bewegen. Auch für ungebundene Zustände (Streuzustände) kann man da ein paar Sachen aus dem eff. Potential lernen.
Im Allgemeinen finde ich das aber immer etwas gefährlich mit effektiven Potentialen und effektiven Massen und so weiter zu rechnen. Wenn man nicht genau weiß, was man tut, kommt man da schnell durcheinander finde ich. Man definiert ja auch in der Atomphysik für die äußeren Elektronen ein effektives Potential, das die Abschirmung der inneren Elektronen mit einbezieht. Das hat aber gar nichts mit diesem effektiven Potential hier zu tun, also bitte nicht verwechseln. Das hier ist ja eigentlich nur ein Einkörper Problem, das sich mit einer "reduzierten Masse" noch leicht auf ein Zweikörperproblem erweitern läßt. Das effektive Potential bei der Atomphysik ist aber dafür da, um ein Vielkörperproblem irgendwie in den Griff zu bekommen. Da fängt also die Verwirrung dann schon an...
Dass ich gerade auf ein effektives Potential zu sprechen komme, wundert mich selber irgendwie, weil ich das eben immer für etwas künstlich und gefährlich halte. Aber hier ist das denke ich wirklich recht anschaulich und auch zweckmäßig.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Danke dass du das mit dem Potential nochmal versucht hast mir näherzubringen. Ich glaube bis ich das so ganz verstanden habe wird es wohl noch ein bisschen dauern. ;)
Aber schön zu sehen dass es mal wieder mehr als einen Weg zum Ziel gibt. :)

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo para!

Eigentlich ist das nicht sooo schwer. Nur die Schreibweise ist wahrscheinlich etwas ungewohnt für Dich. Wenn Du möchtest, kann ich schon versuchen Dir das so zu erklären, dass Du es verstehst. Wenn Du mir sagst, an welchen Punkten Du mir nicht folgen konntest dann würden wir das sicher zusammen hin bekommen. Allerdings ist halt die Frage, ob Dir das zur Zeit überhaupt weiter hilft. Wenn es Dich aber trotzdem interessiert und Du ein wenig Zeit übrig hast, dann wäre ich froh, wenn ich Dir das erklären könnte.
Es liegt also bei Dir! Wink

Gruß
Marco

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Aber wir erklären doch gerne, besonders wenn wir ein interessiertes "Opfer" gefunden haben Prost

Ja, da war ich etwas ungenau beim Drehimpuls. So, wie das dermarkus geschrieben hat, ist das schon mal viel besser!

Aber sonst hast Du doch so ziemlich alles kapiert, so weit. Das ist doch schon mal sehr gut! Vielleicht noch mal etwas als Hintergrund, den Du wahrscheinlich noch nicht wissen kannst: In der Quantenmechanik spielt ja immer der Hamilton-Operator eine wichtige Rolle. Mit diesem Operator kann man auch die Energie eines Systems berechnen. Es gibt auch in der klassischen Mechanik einen Hamiltonsches Prinzip. In der QM ist es zumindest so, dass wenn man den Hamilton-Operator eines Systems kennt, die gesamte Dynamik etc. dieses Systems ausrechnen kann (zumindest bei Einteilchen-Systemen und bei nicht explizit zeitabhängigen Potentialen... genau weiß ich's jetzt nicht mehr...). So weit ich mich dunkel erinnern kann, ist das in der KM dann auch so. Muß ja auch so sein, weil die QM in großen Bereichen in die KM übergeht. Leider müßte ich jetzt selber das nochmal lesen, um Dir das genauer beschreiben zu können.
Aber warum macht man das mit diesem Potential jetzt aber? Erstmal ist das wirklich nur ein mathematischer Trick. Aber man sucht ja nach Möglichkeiten Bewegungen in einem Zentralpotential berechnen zu können, weil das ja recht häufig auftritt, nicht nur beim Keppler-Potential. Und mit dem effektiven Potential hat man die Möglichkeit, die zweidimensionale Bewegung "rein mathematisch" auf eine eindimensionale zu reduzieren. Man muß also nur noch die Bewegungsgleichungen für eine Bewegung im effektiven (eindimensionalen) Potential berechnen und nicht mehr mit den komplizierten Elipsen, die ja bei anderen Zentralpotentialen nicht mehr unbedingt Elipsen sein müssen.
Wie kommt man aber überhaupt auf diese Aufteilung? Allgemein kannst Du ja eine Energie immer als Summe von potentieller Energie und kinetischer Energie berechnen. Was genau ist aber potentielle und kinetische Energie? Nunja, potentielle Energie ist alles das, was nur vom Ort abhängt und kinetische das, was von der Geschwindigkeit abhängt, also von der zeitlichen Ableitung (der Änderung) des Ortes. Wenn man jetzt weiß, dass der Drehimpuls erhalten ist, kommt man recht schnell auf die Idee, dass man ja den tangentialen Anteil der kinetischen Energie auch mit dem Drehimpuls ausdrücken kann, was ich ja auch gemacht habe. Wenn man das macht, hat man immer noch erstmal 3 Terme, bei denen aber nur noch einer von einer zeitlichen Ableitung einer Koordinate abhängt und die anderen beiden nur noch von der Koordinate direkt. Noch besser: Es bleibt nur noch eine Koordinate übrig! Nämlich r und Phi ist "weg". Deshalb liegt es dann eben nahe, die Energie neu aufzuteilen, in eine neue potentielle Energie (daraus das effektive Potential) und eine neue kinetische Energie. Damit kann man dann sogar Bewegungsgleichungen lösen! Man hat ja die selbe Formel (für die Energie) wie für eine eindimensionale Bewegung in genau einem solchen Potential. Du kannst Dir das vielleicht als Hügellandschaft vorstellen, aber das wäre eigentlich genau genommen schon wieder ein mehrdimensionales Problem. Jedenfalls könnte man sich ja leicht eine solche gebogene Bahn vorstellen, wie ich sie geplottet, habe und reibungsfrei einen Körper darauf hin und her pendeln lassen. Nur muß das ganze möglichst flach sein, damit man das näherungsweise noch als 1-dim. Problem auffassen kann...
Bei einer solchen Bewegung ist aber klar, dass der Körper sich immer innerhalb der Grenzen bewegen muß, bei denen das Potential noch kleiner oder gleich der Gesamtenergie des Körper ist. So sieht man dann schon mal leicht, dass er sich auf einem Ring um das Zentrum aufhalten muß, weil der Radius immer in einem bestimmten Bereich liegen muß. Außerdem sieht man, dass selbst bei einem ungebundenen Zustand, also bei dem die Gesamtenergie >0 ist, nicht an das Zentrum zu nahe ran kommt, weil das Zentrifugalpotential sonst zu groß wird. Allerdings eben nur, wenn der Drehimpuls nicht gegen 0 geht. Meine Idee war jetzt, dass man das Potential aus den gegebenen Werten ja berechnen kann und die Gesamtenergie auch gegeben hat. So kann man dann auch die beiden Wendepunkte in diesem Potential ausrechnen, die dann dem maximalen und minimalen Radius entsprechen.
Willst Du das vielleicht mal probieren? Dabei lernst Du wahrscheinlich schon ein wenig was... Ich war bis jetzt zu faul, aber will das bei Gelegenheit auch nochmal rechnen.

Gruß
Marco

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden