schiefer Wurf - Wurfweite maximal

katro · Anmeldungsdatum: 05.04.2008 Beiträge: 17

Hallo,
Wir haben letzte Physikstunde eine Aufgabe gestellt bekommen die wir wenn ich es richtig verstanden hab lösen sollen.

Die Aufgabe ist folgende:
In welchem Winkel muss ich eine Kugel werfen damit sie möglichst weit fliegt?

Naja da wir im Unterricht so gut wie nichts machen, hab ich auch nicht besonders viel Ahnung von dem Thema.

Ich hab mir aus der Formelsammlung mal die Formel für die Wurfweite rausgeschrieben.

(mit a mein ich alpha)

für g kann ich 9,81m/s² einsetzen.
Kann ich v0² vielleicht weglassen? da hab ich ja nichts gegeben.

Naja weiter weiß ich bisjetzt nicht wirklich. Hab mir überlegt ob ich vielleicht mit einer Ableitung was machen muss. Hab aber keine Ahnung wie, wenn das stimmen würde.

Kann mir jemand vielleicht eine Idee geben wie ich das lösen kann?
Wäre echt nett. Vielen Dank schonmal für die Hilfe.

Zepto · Anmeldungsdatum: 03.10.2007 Beiträge: 323

Hallo and

du bist schon ganz nah dran.
Das ist eine einfache Extremwertaufgabe, also kannst du hier mit ableitungen arbeiten, falls ihr das in der Schule schon hattet.
Ich geb mal ein paar Tipps:

1. Du suchst ein Maximum deiner Funktion. Das ist bei der Ableitung eine Nullstelle.
2. Von welcher Variablen ist deine Funktion in deinem Fall abhängig? Nach welcher musst du also ableiten und welche bleiben konstant und lassen sich nacher einfach "rausteilen" (ich glaube das entspricht deinem "weglassen")?
3. Falls du noch nichts vom Ableiten trigonometrischer Funktionen und von der Kettenregel weißt, kannst du dir das ganze auch mal qualitativ überlegen, indem du mal nachdenkst, welche Werte der

annehmen kann und bei welchem Wert für

die Weite dann wohl am größten wird.

Hilft das schon ein bisschen weiter?

Gruß
Zepto

katro · Anmeldungsdatum: 05.04.2008 Beiträge: 17

Also erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ableiten hatten wir schon und haben auch Extremwertaufgaben gemacht. Daher hatte ich auch die Idee mit der Ableitung. Aber Kettenregel usw. hatten wir noch nicht. Ich habe keine Ahnung wie ich diese Funktion ableiten soll.
Zu 2.) Die Funktion ist in dem Fall wohl von a abhängig. Aber wie leite ich danach ab?
Könntest du vielleicht noch einmal näher erklären was du bei 3.) meinst?
Vielen Dank
katro

Zepto · Anmeldungsdatum: 03.10.2007 Beiträge: 323

OK also:

Die Funktion ist:

Ableiten nach

und gleich 0 setzen, da wir die Nullstelle suchen:

Der konstante Faktor

bleibt ja erhalten. Die 2 kommt daher, dass in dem Sinus eine andere Funktion (

steht, die man zuerst ableiten ( y' = 2) und dann mit der Ableitung der Sinusfunktion ( = Cosinus) multiplizieren muss.( Kettenregel)

In dem Fall ändert das am Ergebnis nichts, wäre aber trotzdem falsch. Kannst du die Gleichung jetzt auflösen? Dann fehlt noch das Überprüfen bei der 2ten ableitung, ob es sich wirklich um ein Maximum handelt. Wir wollen ja mathematisch korrekt bleiben. Big Laugh

Bei 3 meinte ich das so:
der Sinus ist eine periodische Funktion und nimmt die Werte zwischen 1 und -1 an. Weil er der einzige Faktor in der Gleichung ist, der sich verändert und der rest konstant ist, kann man sich denken:
"Konstante mal Wert zwischen -1 und " soll maximal werden, also muss der Wert zwischen -1 und 1 auch maximal werden. Was ist jetzt der maximale Wert zwischen -1 und 1? Big Laugh

Dann kannst du das mit

gleichsetzen und auflösen.

Natürlich gilt das alles nur, wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar ist.

Gruß
Zepto

katro · Anmeldungsdatum: 05.04.2008 Beiträge: 17

Ok,
also wenn ich alles außer das

auf die andere Seite bringe habe ich nur noch dastehen

und dann mach ich das cos durch

weg
und hab dann noch

und damit

ist das bis dahin so richtig?
Naja und dann die zweite Ableitung.
Mein Vorschlag wäre, wenn ich mir die erste Ableitung anschau und noch einen Blick in meine Formelsammlung werfe

ist das richtig?
In diesem Fall würde egal bei welcher Anfangsgeschwindigkeit und bei welchem Winkel denk ich mal eine Negative Zahl also ein Maximum herauskommen, da der Teil

aufjedenfall negativ ist und alle anderen Teile positiv sind.
Dann könnte man also sagen, dass man die Kugel in einem Winkel von 50° werfen muss, um eine Maximale Weite zu erreichen.

Dieses Ergebnis habe ich auch bei der anderen Variante. Der Maximale Wert zwischen -1 und 1 ist wohl 1.

Also, ich glaube das habe ich jetzt ziemlich verstanden, wenn das richtig ist. Wird nur schwer sein, dass meiner Klasse zu erklären, da wir die Kettenregel und Ableitung von Funktionen mit sinus und so noch nicht hatten. Aber man lernt halt dazu.

Also vielen vielen Dank für die Hilfe. Die Erklärung hat mir echt weitergeholfen.
Gruß
katro

Zepto · Anmeldungsdatum: 03.10.2007 Beiträge: 323

Naja fast richtig Augenzwinkern

Der Arcuscosinus von 0 ist wohl eher 90°, als 100° und genauso der Arcussinus.
Also ergibt sich für

?
Die 2te Ableitung ist noch nicht ganz korrekt, da man noch einmal die Kettenregel anwenden muss. Es steht ja noch

in dem Cosinus. Also kommt für die 2te raus:

ich denke, den 2ten Weg ohne Ableitung wird deine Klasse auf jeden Fall verstehen.

Gruß
Zepto

katro · Anmeldungsdatum: 05.04.2008 Beiträge: 17

Ok, dann kommt für

natprlich 45° raus.
Mein Taschenrechner hatte eine falsche Einstellung drin, daher kam bei mir 100 als Ergebnis. Danke für die Korrektur.

Ok dann noch zur Ableitung.
Ich hab gedacht die eine 2 würde durch das Ableiten wegfallen. Ist das dann auch so etwas wie der konstante Faktor

?

Gruß
katro

Zepto · Anmeldungsdatum: 03.10.2007 Beiträge: 323