Harmonischer Oszillator mit Potential

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Hey zusammen, im Anhang befindet sich eine Aufgabe zum harm. Osz. mit Potential. Zu berechnen ist der Energieeigenwert und

.

(Mein h ist eigentlich das reduzierte plancksche Wirkungsquantum, aber ich habe keinen Befehl für dieses gefunden. Wie lautet der Befehl? Dann kann ich es anschließend editieren)

Es gilt die allg. Schrödingergleichung. Daraus ergibt sich für den harm. Osz. folgendes:

wobei nach dem Eigenwertproblem

mein Energieeigenwert ist.

Nach Einsetzen meiner vorgegebenen Lösung für

, komme ich auf folgendes:

Schließlich erhält man:

1. Also der obige Weg erscheint mir am logischten, weil ich sonst ja nichts anderes gegeben habe. Was sagt ihr dazu? Ist das so gemeint?

2 . Die verschiedenen Eigenenergiewerte haben wir in der VL mit

definiert, also wäre mein

. Ist damit das gemeint, oder habe ich mit der vorgegebenen Lösung auch andere Eigenenergiewerte? Denn diese angegebene Formel wurde mit der allgemeinen Lösung eines harm. Oszillators angegeben. (siehe Bild)

gruß
joe1

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Aus der Schrödinger-Gleichung mit dem Ansatz für

erhalte ich

(Achtung: in Deiner Schrödinger-Gleichung offenbar aus der Vorlesung ist ein Vorzeichenfehler, das Potential ist

)

Die obige Gleichung muss für alle x gelten. Die Frage ist also: für welches

heben sich die

-Terme auf? Damit ergibt sich der Wert von

und mit diesem auch der Eigenwert

.

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Ok, danke.

D.h. ich forme

auf

um und löse nach \apha auf:

und

Also so? Aber warum rechnet man das genau bei

aus?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Dann komme ich doch tatsächlich auf dieselben Werte wie auf meinem Bild aus der VL:

und

Also der Energieeigenwert

muss ortsunabhängig sein, weil

1. es sich um einen bestimmten Eigenwert des Hamiltonoperators handelt und das nur ein bestimmter konstanter Energiewert ist. (

ist ja in dem Fall eine bestimmte ortsabhängige Eigenfunktion des Hamiltonoperators mit dazugehörigen Energieeigenwert)

2. Die SG ist ja im Prinzip eine Eigenwertgleichung und wenn ich eine Matrix/Operator auf einen Eigenvektor/Eigenfunktion anwende, bekomme ich einen bestimmen konstanten Eigenwert multipliziert mit derjweiligen Eigenfunktion wieder. Jedoch ist der Eigenwert konstant, also in dem Fall eben ortsunabhängig, da wie hier ja auch zeitunabhängigkeit gefordert haben.

Sind Punkt 1 und 2 die Gründe für dieses Vorgehen?