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Klassischer vs. quantenmechanischer harmonischer Oszillator
 
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hepimi



Anmeldungsdatum: 13.08.2015
Beiträge: 45

Beitrag hepimi Verfasst am: 29. Jan 2017 23:34    Titel: Klassischer vs. quantenmechanischer harmonischer Oszillator Antworten mit Zitat

Hallo! smile
Ich habe eine Aufgabe, bei der es um den Vergleich zw. dem klassischen und quantenmechanischer harmonischer Oszillator geht und ich habe leider ein bisschen Mühe.
Folgendes ist gegeben: Ein quantenmechanisches Teilchen, dass sich in einem eindimensionalen harmonischen Potential mit bewegt.

Nun soll ich:
a) Die maximale Auslenkung eines klassischen harmonischen Oszillators berechnen, der die gleiche Energie wie ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator im Zustand mit der Quantenzahl habe. Dazu soll ich sagen, welche Werte von somit nach den Gesetzen der klassichen Physik erlaubt wären.

b) Für den Grundzustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillator die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für der Bereich der -Werte, die für das Teilchen nach den Gesetzen der klassischen Physik erlaubt bzw. verboten wären angeben.

Nun meine Überlegungen:
Bei a) hätte ich jetzt einfach die Energie von einem klassischen Oszillator mit der Energie vom quantenmechanischen gleichgesetzt und nach aufgelöst. Das wäre dann also:


und somit:


Nun wie weiss ich denn jetzt, welche x- Werte erlaubt sind? Klar, n muss eine ganze Zahl sein und nicht negativ.

zu b)
Grundzustand wäre: und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den Grundzustand wäre ja bei . Nun habe ich leider wieder Mühe bei der Formulierung der Lösung. Erlaubt sind ja die Werte, die innerhalb von meiner maximalen Auslenkung sind. Alles was ausserhalb ist, ist nur noch quantenmechanisch möglich. Wie kann ich das alles in eine Rechnung packen?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Jan 2017 23:42    Titel: Re: Klassischer vs. quantenmechanischer harmonischer Oszilla Antworten mit Zitat

hepimi hat Folgendes geschrieben:

Nun wie weiss ich denn jetzt, welche x- Werte erlaubt sind?

Indem Du dir überlegst was du da gerade eigentlich ausgerechnet hast.
Zitat:
...und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den Grundzustand wäre ja bei .

Dieser Satz ist ziemlich sinnbefreit. Denk nochmal darüber nach was du hier sagen wolltest.
hepimi



Anmeldungsdatum: 13.08.2015
Beiträge: 45

Beitrag hepimi Verfasst am: 29. Jan 2017 23:54    Titel: Antworten mit Zitat

Hm ich steh grad wirklich auf dem Schlauch. Ich habe ja jetzt eine Formel für meine Auslenkung x gefunden. Aber ich habe ja keine sonstigen Angaben für diese Auslenkung. Wie weiss ich denn welche Werte erlaubt sind?

zu b) Also was ich sagen wollte ist, dass die grösste Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Teilchen bei x=0 liegt. Also in der Mitte.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Jan 2017 06:58    Titel: Re: Klassischer vs. quantenmechanischer harmonischer Oszilla Antworten mit Zitat

hepimi hat Folgendes geschrieben:
b) Für den Grundzustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillator die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für der Bereich der -Werte, die für das Teilchen nach den Gesetzen der klassischen Physik erlaubt bzw. verboten wären angeben.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit p(B) innerhalb eines Bereiches B ist gegeben durch das Integral des Absolutquadrats der Wellenfunktion über diesen Bereich.

Du kennst den Bereich aus (a). Da solltest du die maximale Auslenkung des klassischen Oszillators berechnen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
hepimi



Anmeldungsdatum: 13.08.2015
Beiträge: 45

Beitrag hepimi Verfasst am: 30. Jan 2017 07:52    Titel: Antworten mit Zitat

Also das heisst, dass ich für Aufgabenteil b) das folgende Integral lösen müsste?



und mein x für die Grenze wäre das von Aufgabenteil a)

Dann hätte ich mein Gebiet für die erlaubten x-Werte?
Und alles andere wäre dann demnach verboten?

Stimmen meine Überlegungen denn zu Aufgabenteil a) überhaupt?
Bzw. die Zusatzfrage welche x erlaubt sind bereitet mir immer noch ein bisschen Schwierigkeiten!
hepimi



Anmeldungsdatum: 13.08.2015
Beiträge: 45

Beitrag hepimi Verfasst am: 30. Jan 2017 17:33    Titel: Antworten mit Zitat

Kann mir denn niemand weiterhelfen? unglücklich
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 30. Jan 2017 17:53    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, es stimmt alles. Das obige Integral (bei dem die Grenze natürlich nicht x ist, sondern der Wert aus a) für n=0) ergibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das klassisch erlaubte x-Intervall. Die Gegenwahrscheinlichkeit (also 1 minus das Integral) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im nach der klassischen Physik nicht zugänglichen x-Bereich.
hepimi



Anmeldungsdatum: 13.08.2015
Beiträge: 45

Beitrag hepimi Verfasst am: 30. Jan 2017 18:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ok vielen Dank!

Und die Zusatzfrage bei a), welche Werte demnach für x erlaubt sind? Es ist ja eine Formel für das x. Also kann ich alles einsetzen und es gibt mir einfach eine neues x?!
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 30. Jan 2017 18:56    Titel: Antworten mit Zitat

Die Gleichung ergibt für jedes n eine maximale Auslenkung . Wahrscheinlich ist die Frage nach dem erlaubten Bereich einfach so gemeint, dass nach der klassischen Physik x im Intervall sein muss.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2017 22:07    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Wahrscheinlich ist die Frage nach dem erlaubten Bereich einfach so gemeint, dass nach der klassischen Physik x im Intervall sein muss.

Wieso wahrscheinlich? Da steht doch ganz genau was gemeint ist... Man könnte höchstens "der die gleiche Energie" ergänzen zu "der die gleiche Gesamtenergie". Aber viel deutlicher geht es doch nicht.
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