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Standardabweichung bei Fehlerrechnung
 
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DrGonzo



Anmeldungsdatum: 25.03.2006
Beiträge: 6

Beitrag DrGonzo Verfasst am: 01. Apr 2006 12:40    Titel: Standardabweichung bei Fehlerrechnung Antworten mit Zitat

Hallo an alle,
ich muss im physikpraktikum ein Protokoll schreiben bei dem eine Aufgabe lautet: Ermitteln sie mit Hilfe des Gaußschen Fortpflanzungsgesetzes die Standardabweichung der Zähigkeit/Viskosität.

Die Formel für die Standardabweichung hat doch aber garnichts mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgestzes zu tun? Suche schon seit 4 Tagen wie verrückt im Netz nach Antwort aber ich komm absolut nicht weiter. Werde es wohl anders außrechnen müssen oder weiß von euch jemand wie es gemeint ist?
Vielen Dank schonmal. MfG Richard
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 01. Apr 2006 12:45    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast recht, ich denke auch, dass du hier einfach nur die Standardabweichung ausrechnen sollst.

Die Formel für die Gaußsche Fehlerfortpflanzung ist von der Struktur her ziemlich ähnlich wie die Formel für die Standardabweichung. Es könnte sein, dass der Aufgabensteller das deshalb begrifflich nicht ganz klar auseinandergehalten hat, als er die Aufgabe formuliert hat.

//edit: Die Standardabweichung berechnet man immer dann, wenn man sehr viele Messwerte hat, und man daher den Messfehler statistisch berechnen kann.

Falls du aber nur relativ wenige Messwerte hast, dann ist es allerdings wahrscheinlicher, dass du den Messfehler des Mittelwertes dieser Werte nicht aus der puren Statistik, sondern durch Betrachtung der Fehlerfortpflanzung gewinnen sollst. Also berechnen, wie stark sich die Messunsicherheiten der direkt im Experiment gemessenen Werte auf den Fehler des Gesamtergebnisses auswirken. Und das würde man in der Tat mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnen; das Ergebnis ist dann also der Fehler des Gesamtergebnisses. (Und da dieser Fehler des Gesamtergebnisses mathematisch gesehen dann auch eine Standardabweichung ist, wäre die Formulierung der Aufgabenstellung auch so deutbar, und für den Fall, dass du nur relativ wenige Messpunkte zum Mitteln hattest, solltest du es dann sicher mit dem Gauß machen. )


Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 01. Apr 2006 12:59, insgesamt einmal bearbeitet
DrGonzo



Anmeldungsdatum: 25.03.2006
Beiträge: 6

Beitrag DrGonzo Verfasst am: 01. Apr 2006 12:57    Titel: Antworten mit Zitat

Und gibt es noch andere Formeln für die Standardabweichung als diese?

http://www.freehost.ag/richardgruhle/AAA.JPG
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 01. Apr 2006 13:03    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, das bestätigt meine zweite Vermutung von oben: Dann sollst du sicher das Gaußverfahren für die Fehlerrechnung nehmen.

Siehe z.B. unten auf folgender Seite bei Wikipedia:

http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerrechnung

Das ist so ähnlich wie eine worst-case-Abschätzung (= Absolutfehler), nur dass das Gaußverfahren die fortgepflanzten Fehler statistisch sinnvoller addiert.
DrGonzo



Anmeldungsdatum: 25.03.2006
Beiträge: 6

Beitrag DrGonzo Verfasst am: 01. Apr 2006 13:20    Titel: Antworten mit Zitat

Womit ich dann leider bei dem Problem bin das ich keine Differenzialrechnung kann und somit auch nicht in der Lage bin für die Gleichung
http://www.freehost.ag/richardgruhle/bbb.jpg

partielle Ableitungen für jeden Messwert zu machen. :-(
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 01. Apr 2006 13:23    Titel: Antworten mit Zitat

Uups, wie willst du denn dann eine Fehlerrechnung machen ?

Das spricht ganz heftig dafür, dass du jetzt ableiten lernen musst.
DrGonzo



Anmeldungsdatum: 25.03.2006
Beiträge: 6

Beitrag DrGonzo Verfasst am: 01. Apr 2006 13:32    Titel: Antworten mit Zitat

Das wird wohl eher nix...
Aber trotzdem vielen Dank.
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 01. Apr 2006 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

Na, so pessimistisch würd ich das nicht sehen. Das, was du hier ableiten können musst, ist nicht besonders kompliziert. Und ableiten lernen lohnt sich, das brauchst du später sicher noch öfter!

Zur Ermunterung ein Crashkurs:

http://www.uni-bonn.de/~usa00004/pdf/zusatz.pdf

Davon brauchst du hier nur den allerersten Anfang: Dir reicht hier die Potenzregel und z.B. die Übungsbeispiele 1 h), 1 i) und 2 c)
DrGonzo



Anmeldungsdatum: 25.03.2006
Beiträge: 6

Beitrag DrGonzo Verfasst am: 01. Apr 2006 14:01    Titel: Antworten mit Zitat

Habe noch folgende Formel gefunden aber weiß nicht wo sie her ist, ob sie stimmt und wie sie hergeleitet wurde. Werde sie wohl lieber nicht nehmen da sie nicht nachvollziehbar ist.

http://www.freehost.ag/richardgruhle/ccc.jpg
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 01. Apr 2006 14:03    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, das scheint mir was ganz anderes zu sein. Da ist ableiten lernen doch leichter!
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 02. Apr 2006 15:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ein Fehler hat ja immer etwas mit einer Standardabweichung zu tun. Wenn man die Standardabweichungen der unabhängigen Variablen kennt, so kann man aus dem Gausschen Fehlerfortpflanzungsgesetz auf die Standardabweichung der abhängigen Variablen (den Fehler) schliessen. Mehr ist glaube ich nicht damit gemeint.

Die Angabe eines Fehlers hat immer nur in Zusammenhang mit einer Standardabweichung oder einer Quantillenangabe Sinn.

_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
DrGonzo



Anmeldungsdatum: 25.03.2006
Beiträge: 6

Beitrag DrGonzo Verfasst am: 03. Apr 2006 08:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ein Fehler hat nicht immer was mit der Standardabweichung zu tun finde ich. Worst Case Fehler zum Beispiel haben doch nichts mit der Standardabweichung zu tun. Und das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz ist eigentlich doch nur für die Fehlerberrechnung unter heranziehung der Statistischen wharscheinlichkeitsregeln während die Standardabweichung Daten einer Meßreihe auswertet.
Aber wenn es eine Möglichkeit gibt die beiden Formeln zu verknüpfen dann wüßte ich gern wie. Eine Formel für die Standardabweichung der Zähigkeit in abhängigkeit von den gemessenen Parametern Radius, Zeit, Dichte, Masse und Weg.
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Beitrag as_string Verfasst am: 03. Apr 2006 13:30    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Also, wenn ich mir die ursprüngliche Aufgabe so anschaue, dann muß ich mich schnudl anschliessen.
Vielleicht nochmal um die Begrifflichkeiten etwas klarer zu machen: Jeder Meßwert ist fehlerbehaftet. Man nimmt an, dass im Allgemeinen die Meßwerte eine Gaußverteilung mit Maximum und Standardabweichung Sigma um den wirklichen Wert herum aufweisen. D. h. aber auch, dass wenn Du einen Meßwert mit z. B. t=5 +/- 0,1s angibst, dass Du von einem Sigma von 0,1s bei einem Maximum bei 5s ausgehst. Das bedeutet normalerweise nicht, dass die Meßwerte mehr oder weniger gleichmäßig zwischen 4,9s und 5,1s verteilt sind und außerhalb dieses Bereichs sicher kein Wert gemessen wird (oder, wenn man einmal mißt, dass man annimmt, dass die wirklichen Werte so verteilt sind). Das ist das Problem bei der Worst-Case oder Maximalfehler Abschätzung. Wenn ich eine Messung mache und einen Wert von 5s rausbekomme, kann ich eben nie sagen, was der genaue Wert jetzt wirklich ist, sondern eben nur sagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 2/3 der Wert innerhalb von einem Sigma liegt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7% innerhalb von 3 Sigma etc. eben entsprechnend einer Gaußkurve.
Wenn ich jetzt mehrere Meßwerte habe, die ich in einer Formel irgendwie zusammenrechne um meinen endgültigen Wert zu erhalten (hier die Viskosität), dann erwarte ich, dass das Ergebnis schon wieder eine Gaußverteilung haben wird. Um davon wieder Sigma und Mittelwert bestimmen zu können, muß man eben das Gauß'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz mit den Ableitungen und dem quadratischen Addieren benutzen, das ist alles.
Richtig ist natürlich, dass man um eine Standardabweichung statistisch bestimmen zu können eigentlich eine ganze Meßreihe benötigt und aus den vielen Meßwerten dann eben mit den entsprechenden Formeln ein Sigma bestimmen kann. Ich denke aber, dass, wie schon schnudl schreibt, Deine Aufgabe ist, mit den Meßwerten und einem dafür jeweils "angenommenem" Sigma die Fehlerrechnung durch zu führen, um auf ein Sigma für den Endgültigen Wert zu kommen.

Gruß
Marco
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5791
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Beitrag as_string Verfasst am: 03. Apr 2006 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo nochmal!

Ich schreibe Dir einfach mal die Ableitungen nach den Meßwerten auf. Dann kannst Du ja mal ausprobieren, ob Du damit die Fehlerrechnung machen kannst. Aber Ableiten lernen mußt Du so wie so! In welcher Klasse bist Du denn eigentlich? Normalerweise lernt man das mit dem Ableiten doch schon recht früh, oder?





Gruß
Marco

Edit: Außer Du studierst vielleicht gerade Medizin, dann solltest Du Dir vielleicht zuerst diesen Thread anschauen! Haue / Kloppe / Schläge
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 03. Apr 2006 16:54    Titel: Antworten mit Zitat

Naja, auch wenn man das mit dem Größtfehler macht, dann muss man immer noch ableiten dabei. Auch wenn man Mediziner ist.

Ich gebe schnudl und as_string recht, ein Fehler hat immer etwas mit einer Standardabweichung zu tun.

Wenn du dir die Formel für die Standardabweichung S ansiehst, die du oben angegeben hast, dann siehst du, dass das die Standardabweichung für die Mittelung von Messwerten ist.

Und wenn du dir die Formel für das Gaußverfahren ansiehst, dann siehst du, dass es sich dabei um die Standardabweichung für die Summe von Fehlern des Endergebnisses (die durch Fehlerfortpflanzung aus den jeweiligen Messfehlern der einzelnen Messgrößen berechnet werden) handelt.

Selbst wenn du mit Größtfehlern arbeitest, hat das immer noch etwas entweder mit der (normal üblichen) Standardabweichung oder mit (allgemeineren) Quantilenangaben zu tun. Denn in dem Moment, wo du den Messfehler deiner direkt gemessenen Größe abschätzt, liegen alle statistisch möglichen Fehler nicht zu 100% innerhalb dieses abgeschätzten Fehlerbereiches, sondern höchstens zu fast 100%.
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5791
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 03. Apr 2006 17:07    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

@dermarkus: Wenn man mit dem Größtfehler arbeiten würde, dann könnte man sich vielleicht noch vorstellen, die Maxima und Minima der gemessenen Werte in jeder möglichen Kombination in die Formel ein zu setzen und dann zu sehen, was als maximales und minimales Ergebnis dabei raus kommt. Wenn die Formel "hinreichend gutmütig" ist, also z. B. jeweils monoton für die einzelnen Meßwerte im Bereich ihres Fehlers, dann sollte dabei sogar noch was Brauchbares raus kommen.
Aber in der Aufgabenstellung war das Gauß-Verfahren ja explizit erwähnt, deshalb braucht man sich diesmal um den "Größtfehler" so wie so keine Gedanken machen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Aufgabe/Arbeitsanweisung so gedacht war, dass man sich Fehler für die Meßgrößen überlegen soll, also vielleicht bei der Streckenmessung so im Bereich von Millimeter (je nachdem, wie ihr gemessen habt. Wenn nur grob mit Maßband, dann sind's schon einige Millimeter. Mit genaueren Methoden könnte man das noch deutlich verfeinern, aber da stellt sich die Frage, ob das überhaupt mit der restlichen Vorgehensweise vereinbar ist. Die fallenden Kügelchen werden ja erst noch beschleunigt und dann ist noch die Frage: sind die beim Anfang der Messung schon komplett eingetaucht? Wie wird die Zeit gemessen?)
Naja, als Fehler für die Zeit wäre man da vielleicht im Bereich von 0,1 bis 0,5 Sekunden. Radius der Kugel dürfte vielleicht etwas genauer meßbar sein oder sogar irgendwie gegeben.
Wenn Du Dir Fehler für diese 3 Werte überlegt hast (was ist eigentlich mit den Dichten? Waren die schon gegeben?), dann kannst Du die Ableitungen von oben verwenden (hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet!) und die Fehlerrechnung durchführen.

Gruß
Marco
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 03. Apr 2006 18:17    Titel: Antworten mit Zitat

as_string hat Folgendes geschrieben:

@dermarkus: Wenn man mit dem Größtfehler arbeiten würde, dann könnte man sich vielleicht noch vorstellen, die Maxima und Minima der gemessenen Werte in jeder möglichen Kombination in die Formel ein zu setzen und dann zu sehen, was als maximales und minimales Ergebnis dabei raus kommt. Wenn die Formel "hinreichend gutmütig" ist, also z. B. jeweils monoton für die einzelnen Meßwerte im Bereich ihres Fehlers, dann sollte dabei sogar noch was Brauchbares raus kommen.
Aber in der Aufgabenstellung war das Gauß-Verfahren ja explizit erwähnt, deshalb braucht man sich diesmal um den "Größtfehler" so wie so keine Gedanken machen.


Stimmt, einverstanden. Den Größtfehler habe ich hier nur erwähnt, um für Dr.Gonzo auch für diesen Fall die Verbindung zu Standardabweichung bzw. Quantilen herzustellen.

Sicher könnte man sich beim Größtfehler vorstellen, die Abschätzung des Messfehlers durch statistische Rechnerei zu stützen. Ich denke allerdings, dass man dann die Messfehler in der Praxis einfach nur direkt abschätzt, besonders wenn man schon dabei ist, nur die vereinfachte Methode "Größtfehler" zu verwenden.
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