Fehlerfortpflanzung

Anita · Gast

Summe und Differenz von Messfehlern

Schreibe die Formel für die Fehlerfortpflanzung für die Addition
/Subtraktion von Größen mit Messfehlern.

Ein Objektträger habe die Dicke von 1mm ± 0,02 mm.
Wir legen 22 Objektträger übereinander.
Berechne die Höhe des Stapels von Objektträgern und gibt die
Messunsicherheit an.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Normalerweise ist das hier nicht so, dass man einfach nur eine Aufgabe reinstellt, etwas wartet und dann irgendwann das Ergebnis abholt. Wir können Dir nur helfen Dinge zu verstehen, wenn Du uns konkret sagst, was Du nicht verstehst oder wo Du noch bestimmte Fragen hast.
Aber zu dieser Aufgabe kann ich Dir schon mal so eine Regel sagen, mit der Du das alles lösen kannst:
Bei einer Summe/Differenz werden die einzelnen absoluten Messfehler quadratisch addiert und danach die Wurzel gezogen. Wenn also der Wert A über Summen und Differenzen von Meßwerten a_0 bis a_n berechnet wird, dann ist der Fehler:

Das ist so eine spezielle Regel für Summe/Differenz. Bei Multiplikation/Division geht das mit den relativen Fehlern etc. Allgemein kann man das über Ableitungen machen, aber ich schätze, das habt Ihr noch nicht gehabt, oder?

Gruß
Marco

Anita · Gast

Versteh ich nicht.

Muß ich jetzt 22 x dem Meßvehler rechnen, dass ich die Gesamthöhe bekomm???

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Die Gesamthöhe hat erstmal nichts mit dem Fehler zu tun. Das rechnest Du ganz normal mit: 22 mal 1mm
Aber für den Fehler bekommst Du ja:

Gruß
Marco

Anita · Gast

d.h die Messunsicherheit ist

4,6904 x 1mm+-0,02mm ???

ich kenn mich nicht aus[/list][/quote]

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mit der Messunsicherheit einer Einzelmessung

bezeichnet Marco das, was hier die 0,02 mm sind.

Also sollte bei dir für die Gesamtmessunsicherheit stehen:

4,69 x 0,02 mm

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Nein, der Fehler je Messung ist ja 0,02mm für jeden einzelnen Objektträger. Der Gesamtfehler ist jetzt Wurzel(22) mal 0,02mm.
Das Ergebnis ist also:

Verstehst Du warum? Wenn nicht kann ich versuchen, das nochmal genauer/anders zu erklären.

Gruß
Marco

Anita · Gast

Ich schlaf mal drüber, meld mich morgen Abend wieder.
Werd mir das Bsp. noch mal in Ruhe anschauen.

Danke auf jedenfall.
Bis morgen

Gast

Ich hab es aber noch nicht so ganz verstanden. Wie kommst du denn auf so eine Formel:

Hier steht nämlich:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hallo Anita,

dein Ergebnis ist das richtige Ergebnis für den Größtfehler bei der Fehlerfortpflanzung. Also der "schlimmstmögliche" Fall, der sich ergeben kann, wenn jede einzelne Messung maximal und in derselben Richtung danebenliegt.

Das, was Marco angegeben hat, ergibt sich aus der Fehlerstatistik, wenn man davon ausgeht, dass die Abweichungen jeder Messung zufällig sind und es deshalb sehr unwahrscheinlich wäre, dass alle ausgerechnet gleichzeitig maximal in derselben Richtung danebenliegen. Und dass es deshalb sinnvoller ist, einen kleineren, aber typischeren Fehler, nämlich die Wurzel aus den Quadraten der Fehler anzugeben. Das nennt sich dann Fehlerfortpflanzung nach Gauß.

Bei so einem Stapel Objektträger würde ich es sogar in der Tat vorziehen, deinen Größtfehler zu nehmen, denn da kann es auch passieren, dass die Abweichungen nicht zufällig verteilt sind:

Wenn zum Beispiel der Hersteller garantiert, dass die Objektträger eine Dicke von 1 mm +- 0,02 mm haben, und du erwischst eine Charge, in der alle maximal zu dick geraten sind, weil die Herstellungsmaschine eben so eingestellt war, dann kann dir so ein Größtfehler mit deutlich größerer Wahrscheinlichkeit tatsächlich mal unterkommen.

Gruß, Markus

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Weil das Zitat falsch ist vielleicht?

Aber im Ernst: Das, was ich Dir beschrieben habe, ist die Gauss'che Fehlerfortpflanzung. Dass man die Fehler quadratisch addiert und nicht einfach direkt, hat etwas kompliziertere statistische Hintergründe.
Das Beispiel mit den Objektträgern kann man dafür ganz gut nehmen, denke ich: Du hast für jede Dicke jedes einzelnen Objektträgers eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Man spricht da von einer Gaussförmigen Verteilung, die so einer Klocke ähnelt. Leider haben wir ja nicht mehr die gute alte D-Mark, denn auf dem 10DM-Schein, bei dem es um Gauß geht, ist eine solche abgebildet gewesen. So muß halt mal wieder wikipedia helfen, denn dort gibt es einen Artikel über die Glockenkurve.
Die Höhe dieser Kurve gibt die Wahrscheinlichkeit (naja, eigentlich das Integral über die Kurve in einem bestimmten Bereich) an, welcher Wert gemessen werden könnte, wenn man einen Meßwert mit einer Standardabweichung angibt. Wenn man also sehr oft die selbe Messung macht, dann sollten die Messwerte eine solche Verteilung um den wirklich Wert herum haben. Wenn man bei allen Messwerten eine solche Verteilung annimmt und die Ergebnisse "statistisch addiert", dann kommt man für das Ergebnis wieder auf eine Gauß-Kurve. Die Standardabweichung dieser Gausskurve kann man eben mit den Methoden der Gauß'chen Fehlerfortplanzung beschreiben (unter ein paar Einschränkungen, die sollen uns jetzt aber nicht weiter interessieren...).
Man kann sich das so vorstellen: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Objektträger wirklich am Maximum sind, also alle in Wirklichkeit 1,02mm dick sind, ist sehr gering. Viel wahrscheinlicher ist, dass sich die Fehler etwas ausgleichen. Dadurch wird in der Tat der relative Fehler kleiner, je mehr Objektträger ich aufeinander schichte. Das Prinzip macht man sich in der Physik oft zu Nutze: Wenn man ein und die selbe Messung sehr oft wiederholt, werden die Fehler kleiner, so lange man systematische Fehler nicht berücksichtigt, aber das ist wieder ein anderes Thema.
Der ganze Fehler liegt aber glaube ich schon in der Vorstellung dessen, was ein Messfehler überhaupt ist: Die Angabe 1mm+/-0,02mm ist nicht so gemeint, dass alle Ergebnisse von 0,98mm bis 1,02mm gleich wahrscheinlich sind und alle Ergebnisse außerhalb dieses Bereichs nicht möglich sind. Sondern 1mm ist der Wert des Maximums der Gauß-Kurve und 0,02mm ist die Standardabweichung Sigma, die man direkt in die Formel für die Gaußkurve einsetzen kann. Theoretisch könnte der Messwert jeder beliebige Wert sein, aber die Wahrscheinlichkeit dafür wird doch sehr gering, allerdings auch nie Null!
In der Physik verwendet man das oft so: Eine Theorie sagt beispielsweise irgendein Messergebnis für einen bestimmten Versuch voraus. Man führt den Versuch durch und bekommt einen bestimmten Wert heraus mit einer bestimmten Standardabweichung. Man sagt dann: Der Wert ist mit dem theoretischen noch vereinbar (könnte also übereinstimmen), wenn die Abweichung höchstens 3mal der Standardabweichung entspricht. Wenn sie größer ist, dann hat man einen ersten Hinweis darauf, dass irgendetwas entweder mit der Messung oder der Theorie nicht stimmen kann. Das wird dann natürlich in neuen Versuchen dann genauer untersucht.

Allerdings ist das, was in Deinem Link beschrieben wird schon auch eine Methode, die wohl manchmal angewendet wird. Ich habe so etwas schon mal gesehen... aber laß Dich dadurch nicht verwirren. Das ist so zu sagen nur eine Vereinfachung, die aber nur in wenigen Fällen überhaupt irgendwie sinnvoll ist. Richtig ist auf jeden Fall das nach Gauß!

Gruß
Marco

Edit: Das, was dermarkus sagt, ist natürlich schon richtig mit dem Größtfehler. Bei der Gauß-Methode sagt man auch, dass die einzelnen Fehler voneinander unabhängig sein müssen. Das Beispiel, das dermarkus beschreibt, wäre gerade dann der Fall, dass die Fehler nicht unabhängig sind, sondern immer in die selbe Richtung oder so. Ich würde die Aufgabe aber auf jeden Fall nicht so interpretieren...

Blub · Gast

Also das mit dem Gaußfehler versteh ich ja jetzt schonmal.
Hab jetzt auch gefunden, das der Größtfehler eine Abschätzung sein soll.
Allerdings hab ich jetzt so den Eindruck, als könne man den Fehler nicht so einfach angeben.
Der Gaußfehler ist wohl der am Meist verwendete, da sich Fehler aufgrund der statistischen Unabhängigkeit ausgleichen können. Allerdings muss sich der Fehler doch an die Fragestellung anpassen.

Wenn man bei BMW Motorteile produziert, und ein Zylinder würde zB aus mehreren Bauteilen mit Fehlern bestehen, kann ich mir nicht denken, dass die auf einen statistischen Ausgleich rechnen. Da würde man wohl eher den Größtfehler nehmen, sonst bleibt der Zylinder stecken. Hat zwar nur einen leichten Fehler, aber das reicht ja schon aus.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich weiß nicht, wie die das bei BMW machen, aber wenn ich mir so die Rückrufaktionen anschaue...
Wenn man wirklich von Gaußverteilten Fehlern ausgeht, dann kann der Fehler ja theoretisch beliebig groß sein, egal was ich als Sigma angebe. Theoretisch müßte ich dann als größten Möglichen Fehler also immer "unendlich" haben. Damit läßt sich dann aber gar nichts mehr aussagen...
Die Sache ist halt einfach die: Wenn ich mathematisch davon ausgehe, dass die Fehler wirklich unabhängig sind (da wäre dann auch die Vorraussetzung, dass solche Objektträger nicht aus der selben Maschine kommen, streng genommen...) und wenn ich dann noch annehme, dass die Fehler wirklich Gaußverteilt sind und dann noch, dass die Funktion, mit denen ich die Fehler verwurschtle, in dem Fehlerbereich hinreichend linear ist... Wenn ich diese Vorraussetzungen alle erfülle, dann ist es mathematisch richtig, das neue Sigma mit der Gauß'chen Fehlerfortpflanzung zu berechnen, das ist alles! Für diese vereinfachte Berechnung gibt es keine sinnvolle mathematische Grundlage. Das einzige ist, dass der Fehler damit halt immer größer berechnet wird, als mit Gauß.
Wenn man wirklich auf der sichereren Seite sein will, wie vielleicht bei BMW, dann ist es besser mit Gauß zu rechnen und dann aber strengere Vorgaben für das Ergebnis zu machen. Man könnte dann sagen, dass das Sigma, das ich rausbekomme, nur vielleicht ein fünftel der Maximaltolleranz sein darf oder so... Das ist immer noch besser, als mit dem einfachen Verfahren zu rechnen und dann zu sagen, naja mein wirklicher Fehler ist ja so wie so etwas kleiner wegen statistischem Ausgleich etc.... Das Problem ist nämlich, dass so einige Fehler überbewertet werden und andere im Verhältnis dazu unterbewertet (durch das quadratische Addieren werden kleiner Fehler im Verhältnis zu größeren eher unterdrückt und erhalten so quasi eine andere Gewichtung, wie es aber statistisch richtig ist). Das mit Gauß ist ein mathematisches Verfahren, was aus einer korrekten statistischen Betrachtung folgt. Was man im Endeffekt damit macht (also wie Physiker sagen: 3 mal Sigma ist bei uns noch gleich, alles andere nicht mehr), das hängt dann wieder davon ab und ist jedem selbst überlassen. Bei 3xSigma ist auf jeden Fall die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert noch innerhalb der Grenzen liegt 99,7% und 0,3% kann er doch noch außerhalb liegen. Wenn ich noch größere Grenzen nehme, dann wird die Wahrscheinlichkeit für "außerhalb" noch geringer, aber eben nie =0.
Ich hatte gestern auch mal kurz im Internet geschaut und gefunden, dass die Gauß'che Fehlerfortpflanzung auch in der Qualitätskontrolle verwendet wird. Ich weiß zwar nicht genau wie und ob immer, aber es ist halt einfach das richtigere und deshalb auch das Standardverfahren. In der Physik wird eigentlich nichts andere verwendet, außer wenn Fehler so groß werden, dass die Funktion nicht mehr ausreichend linear ist in dem Fehlerbereich.

Zusammenfassend: Du hast Recht! Man darf diese Fehlerrechnung nicht blind verwenden! Es gab da schon sehr falsche Aussagen bei Ergebnissen von Experimenten etc., die auf eine falsche Anwendung der Fehlerfortpflanzung zurück zu führen waren. Man muß im Einzelnen genau überprüfen, ob die Fehler wirklich statistisch unabhängig sind, ob sie wirklich eine Gaußverteilte Form haben, ob sie noch klein genug sind für die Funktion, in die ich sie einsetze, etc. Und was man gar nicht vergessen darf: Damit sind die wirklichen systematischen Fehler noch lange nicht drin! Im Allgemeinen funktioniert das aber trotzdem sehr gut mit Gauß und ist die einzige Möglichkeit wirklich quantitative Aussagen zu machen. Deshalb solltest Du das auch in den meisten Fällen anwenden!
Dein Beispiel mit den Objektträgern ist also so eine Sache... streng genommen kann man da dann überhaupt nicht wirklich etwas rechnen. Das Gaußverfahren scheidet eigentlich aus, weil der Herstellungsprozess nicht garantiert, dass die Fehler wirklich unabhängig voneinander sind. Das andere Verfahren ist mathematisch nicht wirklich korrekt und kann nur eine Abschätzung sein, die vielleicht bei der Aufgabe irgendwie schon noch zu rechtfertigen ist, aber mir stellen sich dabei trotzdem die Nackenhaare. Eigentlich sollte man die Dicke nachträglich nochmal unabhängig messen und dabei dann eine eigene statistische Verteilung feststellen, mit der man dann weiter rechnet. Aber wenn Du einfach nur die Aufgabe lösen willst, bist Du sicher gut beraten, einfach die Gauß-Fehlerrechnung zu verwenden und fertig. Ich denke nicht, dass bei der Aufgabe etwas anderes erwartet wurde!

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg