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Asterix
Anmeldungsdatum: 30.06.2008
Beiträge: 37
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 Asterix Verfasst am: 05. Feb 2012 20:25 Titel: Fragen zur Fehlerfortpflanzung |
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Versuche nach vielen Jahrzehnten wieder eine Fehlerfortpflanzung zu berechnen. Wäre dankbar, wenn jemand überprüfen könnte, ob ich dies richtig mache (Schreibweise jeweils nach Gauss):
1. Gewichteter Mittelwert:
Habe verschiedene Werte der gleichen Messung  die mit dem geschätzten Fehler  gewichtet werden.
^2]}{[p]^2-[p^2]} } )
Hier irritiert mich, dass  teilweise kleiner wird als die 
2. Extrapolierter Wert einer linearen Regression:
Habe Messwerte y=a+bx für x>0 bei denen angenommen wird, dass  ist. Den Fehler bei x=0 habe ich folgendermassen mit  berechnet:
Gemäss Lehrbuch ist
Die Berechnung der mittleren Fehler  und  erfolgt mit
^2]}{n-2}})
Soweit also, wenn dies richtig übernommen wurde; jetzt aber für die Extrapolation nach x=0:
}=\sqrt{(\delta a)^2 + (<x>\cdot \delta b)^2} )
Liege ich da richtig? Wenn nicht, was muss ich korrigieren? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 05. Feb 2012 22:11 Titel: Re: Fragen zur Fehlerfortpflanzung |
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| Asterix hat Folgendes geschrieben: | [...]
1. Gewichteter Mittelwert:
Habe verschiedene Werte der gleichen Messung die mit dem geschätzten Fehler gewichtet werden.
Hier irritiert mich, dass teilweise kleiner wird als die
[...] |
Wie ich das kenne nimmt man zur Gewichtung die Varianz, also würdest du dann schreiben, wobei N die Anzahl der Messwerte ist und jeweils über i=1..N summiert wird:
<x>=1/N sum(p²x)/sum(p²)
Für den Gesamtfehler von <x> gilt dann:
dx=squareroot[sum(p^(-2))/(N²-N)]
Es ist dabei klar, dass dx für einige Werte kleiner als p^-1 sein MUSS. Denn Fehler können sich gegenseitig herausheben und wegen der Mittelung erhöht sich die Genauigkeit um N^-0.5 (Gesetz großer Zahlen). |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 05. Feb 2012 22:25 Titel: Re: Fragen zur Fehlerfortpflanzung |
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| Asterix hat Folgendes geschrieben: | [...] 2. Extrapolierter Wert einer linearen Regression:
Habe Messwerte y=a+bx für x>0 bei denen angenommen wird, dass ist. [...] |
Chi² bestimmen, dann berechnet man
d/da Chi²=0 und
d/db Chi²=0 für die Parameter.
Die Fehler für a, b sind dann
da=squareroot([0.5 d²/da² Chi²]^-1)
db= squareroot([0.5 d²/db² Chi²]^-1)
Bei Korrelation gibt es auch noch eine Mischung:
dab²=(0.5d²/dbda Chi²)^-1
Der Gesamtfehler setzt sich dann zusammen zu:
dy=squareroot( [da]² +[x db]² + 2*[ 1*x]² dab² ) |
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Asterix
Anmeldungsdatum: 30.06.2008
Beiträge: 37
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| Asterix Verfasst am: 05. Feb 2012 23:10 Titel: |
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Danke, Chillosaurus, für die Erläuterungen. Muss mich noch korrigieren. Gewichtung erfolgte mit p=ABS(1/dx) bzw. =ABS(1/dy). Hatte diese Gewichtung gewählt weil ich sie an vorangehender Stelle schon für "Least Square Fits" brauchte; dort kann man ja nicht mit der Varianz gewichten.
Danke auch für den Hinweis betreffennd Mischterm. Hatte bei diesen Werten den Eindruck, dass sie möglicherweise zu klein wären. |
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Asterix
Anmeldungsdatum: 30.06.2008
Beiträge: 37
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| Asterix Verfasst am: 06. Feb 2012 10:10 Titel: |
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Bin mir nicht mehr sicher, ob ich dies mit dem Mischterm richtig verstanden habe. Dachte die und seien gleich zu berechnen wie oben schon angegeben und dann der Mischterm mit dem Korrelationskoeffizienten  von einem Text hoffentlich richtig "sinngemäss übertragen" als  . Bin mir da aber nicht sicher:
| Zitat: | d/da Chi²=0 und
d/db Chi²=0 |
Sind die Kreterien zur Berechnung der Parameter a und b der Regressionsgeraden. Dann müssten
| Zitat: | da=squareroot([0.5 d²/da² Chi²]^-1)
db= squareroot([0.5 d²/db² Chi²]^-1) |
mit und für eine gewichtete Regression übereinstimmen.
Stimmt dieser Mischterm | Zitat: | | dab²=(0.5d²/dbda Chi²)^-1 |
mit dem "sinngemäss übertragenen" überein? Oder, wie sieht dieser für eine gewichtete Regression denn aus? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 06. Feb 2012 10:24 Titel: |
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| Asterix hat Folgendes geschrieben: | [...] Stimmt dieser Mischterm | Zitat: | | dab²=(0.5d²/dbda Chi²)^-1 |
mit dem "sinngemäss übertragenen" überein? Oder, wie sieht dieser für eine gewichtete Regression denn aus? |
Ich habe die Definition des Korrelationskoeffizienten nicht vor Augen, aber der Faktor 2 dürfte der sein, der unter der Wurzel zur Gesamtfehlerabschätzung auftaucht. Für den Rest wäre die Äquivalenz mit Hilfe der Definition zu prüfen, wobei ich denke, dass diese erfüllt sein könnte. |
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Asterix
Anmeldungsdatum: 30.06.2008
Beiträge: 37
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| Asterix Verfasst am: 06. Feb 2012 11:31 Titel: |
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Damit dies mit dem Korrelationskoeffizienten Sinn macht müsste Rho=1/r² sein, wobei r² der Korrelationskoeffizient ist und nicht Rho. Bei schlechter Korrelation (r²<1) muss der Fehler ja grösser werden. Aber das mit Rho=1/r² scheint nicht so zu sein. Den Text mit dem "sinngemäss übertragen" habe ich von hier
http://en.wikipedia.org/wiki/Propagation_of_uncertainty
mit dem Link für Rho nach hier
http://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient
Es erstaunt mich, dass so etwas Grundlegendes wie die Fehlerrechnung einer gewichteten linearen Regression (inklusive Mischterm) bisher nicht explizit in einem Wiki-Beitrag beschrieben wurde. Oder hat ihn Google für mich nicht finden können? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 06. Feb 2012 13:16 Titel: |
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| Asterix hat Folgendes geschrieben: | [...] Bei schlechter Korrelation (r²<1) muss der Fehler ja grösser werden.[...]
Es erstaunt mich, dass so etwas Grundlegendes wie die Fehlerrechnung einer gewichteten linearen Regression (inklusive Mischterm) bisher nicht explizit in einem Wiki-Beitrag beschrieben wurde. [...] |
Wenn r der Korrelationskoeff. ist, dann gilt stets: 0<=r<=1, also keine, teilweise oder vollständige Korellation. Für r=0 sind die beiden Unsicherheiten statistisch unabhängig, sodass der Mischterm entfällt und der Fehler dementsprechend nur von den Fehlern der einzelnen Koeffizienten abhängt. Ob der Fehler bei nicht verschwindender Korrelation größer oder kleiner wird hängt von den Vorzeichen der Ableitungen der Chi²-Funktion berüglich a und b ab.
Du hast nicht ungenau gesucht, gerade zum Thema korrelierte Fehler gibt es allgemein viel zu wenig im Netz oder aber auch in der Literatur. |
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Asterix
Anmeldungsdatum: 30.06.2008
Beiträge: 37
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| Asterix Verfasst am: 06. Feb 2012 17:46 Titel: |
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Das Problem lässt mich noch nicht los.
Bin mir am überlegen wie ich die Korrelation von a und b, r(a,b) berechnen könnte. Derzeit habe ich ja nur das Resultat aus der linearen Regression, also nur je einen Wert. Gemäss dem zweiten Link müsste diese Korrelation mit
}\cdot \frac{b_i-<b>}{\sigma(b) }) berechnet werden.
Überlege mir, ob es sinnvoll ist für jeden Datensatz (x,y) die Werte von a und b nur von den jeweils restlichen Datensätzen zu berechnen, also a_1, b_1 mit den Datensätzen x_2/y_2 bis x_n/y_n und dann a_2, b_2 mit x_1/y_1 bis x_n/y_n OHNE x_2/y_2 etc. Dies liefert einen Datensatz a_1/b_1 bis a_n/b_n sowie zugehörige Schätzungen der Standardabweichungen mit denen dann obige Summe berechnet werden kann. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 06. Feb 2012 19:19 Titel: |
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| Asterix hat Folgendes geschrieben: | | [...] Überlege mir, ob es sinnvoll ist für jeden Datensatz (x,y) die Werte von a und b nur von den jeweils restlichen Datensätzen zu berechnen[...] |
Die Formel, die du angegeben hast, bezieht sich meiner Einschätzung nach eher auf die Frage, ob zwei Messreihen a und b mit {ai} und {bi} korreliert sind.
Klar könntest du jetzt jeden Punkt nehmen und mit einem beliebigen Nachbarn eine Steigung und einen Achsenabschnitt bestimmen und so eine solche Messreihe "erstellen". Ich würde aber eher über die Ableitungen der Chi²-Fkt. gehen, da so Rechenarbeit gespart würde. Wobei ich dich nicht davon abhalten möchte beide Möglichkeiten auszutesten und zu vergleichen! |
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