Fehlerfortpflanzung Exponentialfunktion

Fenris · Anmeldungsdatum: 26.01.2011 Beiträge: 6

Meine Frage:
Ich würde gerne wissen, wie man die Fehlerfortpflanzung der Exponentialfunktion physikalisch deutet. Der Fehler von x in der Funktion y=exp(x) pflanzt sich für kleine x folgendermaßen fort:

delta(y)=delta(x)*exp(x)

Ich möchte aber den relativen Fehler in Prozent wissen. Dieser beträgt:

delta(y)/y=delta(x)

Das bedeutet also, dass der relative Fehler von y gleich dem absoluten Fehler von x ist.

Wie deute ich das? Wie kann ich einen prozentualen Fehler erhalten, wenn das Ergebnis eigentlich ein absoluter Wert ist.

Meine Ideen:
keine

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Formal richtig. Vielleicht mal als Beispiel: Aktivität eines instabilen Nuklids mit Ungenauigkeit bezüglich der Ausgangsmenge (oder, als Übungsaufgabe: d\lambda)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Fenris · Anmeldungsdatum: 26.01.2011 Beiträge: 6

@markus: Natürlich ist die Eigenschaft der e-Funktion sich selbst als Ableitung zu haben, die für dieses Ergebnis sorgt. Also f'(x)=f(x).

Es ist auch nicht die Mathematik, die mir Probleme bereitet. Problematisch finde ich eher, mir das sozusagen zu visualisieren. Was bedeutet es, dass im Ergebnis kein Prozentsatz mehr vorkommt, also delta(x)/x nicht mehr vorkommt.

delta(y)/y sollte ja einen Bruch ergeben, also in Prozent ausdrückbar sein. delta(x) ist das natürlich nicht mehr, sondern einfach ein absoluter, wenn auch dimensionsloser Wert.

Da ich aber gerne den Fehler von y in Prozent ausdrücken würde, wollte ich das ganze gerne korrekt machen.

Im übrigen geht im konkreten Fall, um den Diffusionskoeffizienten.

(Sorry, aber ich krieg den Formeleditor nicht geladen, bekomme ich Seitenladefehler)

D=Do*exp(-Q/kT)

delta(D)/D=delta(Do)/Do+delta(Q)/kT

Ist delta(Q) also 0,02 eV, wird in meinem T-Bereich

delta(D)/D=0,2

Darf ich nun also (näherungsweise) schreiben, dass sich ein Fehler in D von 20% ergibt?

[edit]0,02eV nicht 0,2eV

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Fenris · Anmeldungsdatum: 26.01.2011 Beiträge: 6

Ehrlich gesagt wäre mir der relative Fehler schon lieber als der absolute, da es einfach 'eleganter' aussieht, den Fehler in Prozent auszudrücken.

Ich denke aber, dass die vereinfachte Formel für Fehleraddition durchaus gültig ist, da der Fehler von Q immer noch klein im Vergleich zu dessen Wert ist. Naja, oder ich mache es doch gleich mit Taylorreihenentwicklung. Dann ist es wenigstens komplett.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Na, den relativen Fehler kannst du dir ja am Ende immer ganz leicht ausrechnen, wenn du den absoluten Fehler hast, das soll am Ende nicht das Problem sein.

Die Fertigformel für die Addition relativer Fehler würde ich hier lieber nicht anwenden, denn ob die vielleicht doch zufällig näherungsweise gut genug funktionert oder nicht, darauf würde ich mich nicht verlassen wollen.

Ich würde sagen, nimm lieber einfach die normale Formel für die Fehlerfortpflanzung des absoluten Fehlers

Taylorentwicklung: Da würde ich sagen: bloß nicht, das wäre hier wohl eher der Overkill. Das braucht man vielleicht mal zum anfänglichen Herleiten mancher Formeln dazu, aber nicht zum Verwenden der bereits damit hergeleiteten Formeln für die Fehlerfortpflanzung.

Fenris · Anmeldungsdatum: 26.01.2011 Beiträge: 6

Ah, ich glaube, ich hätte das genauer beschreiben sollen. Ich habe genau die Formel für den absoluten Fehler benutzt die du gepostet hast und nur durch auf beiden Seiten durch y geteilt um den relativen Fehler zu erhalten Augenzwinkern

Die "Fertigformel" für die Addition relativer Fehler wäre mir auf Anhieb auch gar nicht geläufig.

[edit]Mir geht es prinzipiell um die Diskussion im Theorieteil. Da keine absoluten Werte von D auftauchen sollten, kann auch der relative Fehler nicht direkt berechnet werden. Ich möchte lediglich schreiben "Aus einem Fehler von 1% in Q ergibt sich im Ungünstigsten Fall eine Abweichung des Diffusionskoeffizienten um 20%."

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Fenris · Anmeldungsdatum: 26.01.2011 Beiträge: 6

Klar, zeige gerne den Rechenweg auf:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Danke fürs Aufschreiben! Nun verstehe ich, was alles hinter der Formel steckte, die du oben aufgeschrieben hattest smile

(
Und gratuliere zum Fortschritt beim Schreiben der Formeln mit Latex! Kleine Tipps für Fortgeschrittene:
* "e hoch ..." kann man auch mit e^{...} schreiben

* Brüche werden in Latex am schönsten mit \frac{}{}

* der Schweinekringel für die partiellen Ableitungen schreibt sich in Latex als \partial , z.B.

)

Diesen Rechenweg habe ich nun auch so nachvollzogen und kann ihn bestätigen smile

Oft, wenn man zum Beispiel auch den absoluten Fehler braucht und angeben möchte, würde man diese Rechnung bis zur vierten Zeile machen, das

angeben, und das dann einfach durch das konkrete D teilen, falls man sich die letzten zwei Zeilen allgemeine Rechnung sparen möchte.

Dagegen, sich die Formel für den relativen Fehler komplett so herzuleiten und bereitzustellen, spricht aber natürlich nichts smile

Fenris · Anmeldungsdatum: 26.01.2011 Beiträge: 6

Hehe, jetzt weiß ich, wieso ich meine Arbeit in Word und nicht in Latex schreibe. Bin echt ne PC-Niete Augenzwinkern

Danke fürs Nachrechnen und die Bestätigung smile

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Gern geschehen smile

Das mit Latex hat weniger mit Können und nicht "PC" können, sondern einfach mit schon mal probiert haben und den Bedarf entdeckt haben. Sobald man mal anfängt, mit Word an die Grenzen zu stoßen, möchte man Latex bald nicht mehr missen smile

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OT Reklame: Innerhalb WORD schreibe ich gern mit MathType.