Fehlerrechnung: gewichteter Mittelwert

Theodor · Gast

Hi,
hab eine Frage zur Fehlerrechnung. Wann benutzt man den gewichteten Mittelwert um Messergebnisse und ihre Ungenauigkeiten "zusammen zu rechnen" ? Wie sind die statistischen Grundlagen des gew. Mittelwertes? Warum verwendet man nicht einfach die "normale", in der Fehlerrechnung gebräuchliche, statistische Methode (Vertrauensbereich, Standardabweichung,...); bzw. wie unterscheiden sich theoretisch die beiden Methoden?

Grüße

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8399

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Sagen wir, du hast die Messergebnisse

, deren Unsicherheiten stark abweichen. Dann wäre es ja dumm, die schlechten Ergebnisse genauso stark wie die guten zu wichten. Du kannst dann stattdessen einen gewichteten Mittelwert

berechnen. Sagen wir,

(Nebenbedingung). Dann ist

Die Frage ist, wie die

gewählt werden, damit

minimal wird. Das ist eine klassische Aufgabe für die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Man schreibt die Gradienten

auf und fordert, dass sie proportional sind:

.

Die beste Wichtung erhält man also für

Der Fehler des Mittelwerts ist dann

.