Mittlere Geschwindigkeiteines Zuges mit integralem Mittelwer

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Meine Frage:
Hey,

ich habe folgende Aufgabe in Theoretischer Physik bekommen:
Ein Zug fährt die erste Hälfte des Weges mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h und die zweite Hälfte mit 60 km/h. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Zuges während der gesamten Fahrt. Verwenden Sie bei der Berechnung die Definition des integralen Mittelwertes. Begründen Sie das Resultat!

Meine Ideen:
Also ich kenne die Definition des integralen Mittelwertes:

Doch weiß ich bei dieser Aufgabe leider nicht was hier a und b sein soll.
Außerdem kann man doch in diesem Fall einfach (40+60)/2 rechnen oder?

Ich wäre euch sehr dankbar für eine Antwort, ich stehe leider total auf dem Schlauch.

Liebe Grüße
Stephi

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Zunächst stellt sich die Frage welchen Mittelwert du berechnen willst/sollst? Den über die Zeit gemittelten oder den über den Weg gemittelten?

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Naja ich denke mal den der Geschwindigkeit und die hängt ja von dem Weg und der Zeit ab, weil v=s/t ist. Aber ich habe hier doch weder einen Weg noch eine Zeit, oder?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Mittelung über den Weg ist nicht sinnvoll:

Mittelung über die Zeit liefert eine sinnvolle Definition:

und das ist natürlich die übliche Definitoin der mittleren Geschwindigkeit über eine Gesamtstrecke S zurückgelegt in der Gesamtzeit T.

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Jetzt bin ich glaub ich ganz verwirrt. Ich habe doch gar keine Zeit und keinen Weg geben, oder?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Nimm einfach zwei Wegstücke s_1 und s_2 an, der hintereinander gelegt s = s_1 + s_2 die Gesamtstrecke ergeben. Das erste Stück wird mit v_1 in der Zeit t_1 gefahren, das zweite mit v_2 in der Zeit t_2. Gesamtzeit also t = t_1 + t_2
Jetzt t_1 und t_2 aufschreiben, summieren, v = s / t bilden und zu guter letzt noch konkretisieren s_1 = s_2 und die konkreten Geschwindigkeiten. fetisch.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Es gilt

Im letzten Schritt habe ich die Zeit mittels Weg und Geschwindigkeit ausgedrückt.

Jetzt verwendest du, dass beide Wegstücke gleich lang sind, nämlich S/2. Damit kürzt sich der unbekannte Weg S vollständoig aus der Formel heraus.

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Also wenn ich das so mache, habe ich:

t1=s1/v1 und t2=s2/v2

t=s1/v1 +s2/v2=(v2*s1+s2*v1)/v1*v2
und da s1=s2 ist
t=(s1(v2+v1))/(v1*v2)

ist das iwie richtig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Du muss einfach weiterrechnen:

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Ok dann komme ich auf 48 km/h. Aber ich soll das Resultat ja noch begründen. Habe ich es nicht schon mit der Rechnung begründet?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

ich bin der Meinung, dass das Ergebnis durch die beiden Rechnungen begründet ist

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

s . Graphik, die Zeiten kürzen sich.
Fett umrahmt sind die Stecken S1 und S2.
Diese beide Rechtecke sind so zu schneiden, dass ein einziges Rechteck mit Durschnittgeschwindigkeit V entstehen soll.
Die Entfernung vom orangenem Teil der Strecke S2 und die Positionierung als gelb bezeichnet, auf die Strecke S1 löst das Problem. V = 2*v2/(v2/v1 +1)

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Ich hab nochmal ne Frage zum Integral von toms: Das nach dem ersten Gleichheitszeichen ist mir noch klar, aber nach dem zweiten nicht. Erhält man das durch Substituieren? Und was ist mit v(s) gemeint? Ich kenne nur v(t).

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich denke, es geht um diese Umformung

Ich wechsle die Integrationsvariable von t nach s; dazu muss s eine monotone Funktion von t sein; das ist der Fall, solange man nicht umkehrt.

Der Wechsel der Integrationsvariablen erfolgt mittels Substitution, also

v(s) bedeutet dabei die Geschwindigkeit am Ort s; vor dem Wechsel der Integrationsvariablen war das die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t mit dem Zusammenhang s=s(t).

Stell dir vor, du fährst mit einem Begleiter im Auto eine bestimmte Strecke bekannter Länge S und du benötigst eine bestimmte Zeit T. Du schaust auf die Uhr, liest alle 10 Sekunden die Geschwindigkeit vom Tacho ab und notierst sie. Dein Begleiter schaut auf den Kilometerzähler und notiert alle 10 Meter die Geschwindigkeit. Ihr könnt beide das Integral berechnen, wobei du die erste, dein Begleiter die zweite Formel verwenden wird.

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Super danke dir:)