Mittlere quadratische Geschwindigkeit eines idealen Gases

Buzzer4246 · Anmeldungsdatum: 29.06.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo zusammen.
Ich soll für Helium (vereinfacht als ideales Gas angenommen) die mittlere Geschwindigkeit und die mittlere quadratische Geschwindigkeit errechnen.

Meine Ideen:
Bei der Aufgabe steht, dass folgendes für die mittlere Geschwindigkeit gilt:

mit der Maxwell Verteilung:
f(v)=

Mein Taschenrechner spuckt mir da was Sinnvolles aus, wenn ich ihm das gebe.
Die mittlere quadratische Geschwindigkeit ist laut Aufgabe:

Da spuckt mein Taschenrechner kein Ergebnis aus, sondern da bleibt irgendein Integral über v^4*e^v^2 dv mit noch irgendwelchen Faktoren im Exponenten von e stehen.
Zu dem Integral über v^4*e^v^2 habe ich im Bronstein nur etwas für

gefunden nicht jedoch mit einem beliebigen Exponenten im Exponenten von e. Gibt es da irgendeine Lösung für?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Rechnest du in einer oder in drei Dimensionen?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Die beiden Integrale lassen sich elementar durch Schulmethoden lösen.

Beim ersten bietet sich die Integration durch Substitution an (mit g(v) = v²), bei beim zweiten die partielle Integration (der Integrand ist ja in der Form x*y'mit x = v und y' = v*exp(-v²)).

Viele Grüße,
Nils

Buzer4246 · Gast

Nochmal hallo zusammen,
beim zweiten Integral ist das steht ja v^2 * f(v).
Mit der gegebenen Formel von f(v) erhalte ich im Integral v^4 exp(-v^2). Der Lösungsvorschlag mit x*y' (x=v; y=v exp(-v^2)) wäre dann doch nur v^2 exp(-v^2) und nicht mit v^4.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Hallo,

ja, du hast Recht, sorry den zusätzlichen Faktor v² hatte ich übersehen.

Aber die grundsätzliche Vorgehensweise ist die gleiche. Allgemein bei Integralen der Form

mit v>=2 spaltest du ein v ab und schreibst:

Dann verwendest du die partielle Integration mit

Am Ende erhälst du ein Integral der Form

Der Exponent von v hat sich also um 2 reduziert! Dies wiederholst du so oft es nötig ist und landest am Ende entweder bei:

(1)

falls n gerade war oder bei

(2)

falls n ungerade war.

Integral (1) löst du über einen Vergleich mit dem Gaußen Fehlerintegral, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerintegral

Integral (2) wie im ersten Posting vorgeschlagen durch die Substituion u = v².

Ja, ich weiß. Es ist eine etwas lästige Rechnerei, aber nicht wirklich schwierig.

Viele Grüße,
Nils

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Buzer4246 · Gast

So also ich habe jetzt das erste also die durchschnittliche Geschindigkeit gelöst bekommen und komme auch auf den Wert den mein Taschenrechner auspuckt beim zweiten hingegen wo man am Ende ja ein Integral über e^-v ^2 stehen hat komme ich auf kein Ergebnis und ich weiß auch nicht wie mir die Fehlerfunktion helfen soll die ja irgendein Integral über e^tau^2 ist. Was ist dieses Tau?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Wie im Wikipedia-Artikel beschrieben ist das Gaußsche Fehlerintegral für z -> unendlich auf 1 normiert, d.h. es gilt:

Da die hier auftretende e-Funktion zudem achsensymmetrisch zur y-Achse ist, ergibt sich gerade die Häfte des Wertes, wenn das Integral bei Null startet:

Das sieht doch schon ziemlich nach dem aus, was du brauchst. Die Anpassung des Exponenten bekommst du durch eine lineare Substitution hin.

Viele Grüße,
Nils

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ein Trick, bei dem man nur ein Integral kennen muss, sieht so aus:

Buzer4246 · Gast

Ich habe in einem Buch ("Physik mit Bleistift") als Randnotiz folgendes gefunden:

da muss ich doch nur für a meine Konstanten die da bei der Maxwell Verteilung im Exponenten rumfliegen einsetzen und noch durch 2 teilen (da wir nur von 0 bis Unendlich integrieren) und fertig oder?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Ja, klar. Viele Wege führen nach Rom.

(auf der linken Seite fehlt im Exponent allerdings ein Minuszeichen)

- Nils