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Mittlere quadratische Geschwindigkeit eines idealen Gases
 
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Buzzer4246



Anmeldungsdatum: 29.06.2023
Beiträge: 1

Beitrag Buzzer4246 Verfasst am: 29. Jun 2023 12:31    Titel: Mittlere quadratische Geschwindigkeit eines idealen Gases Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo zusammen.
Ich soll für Helium (vereinfacht als ideales Gas angenommen) die mittlere Geschwindigkeit und die mittlere quadratische Geschwindigkeit errechnen.



Meine Ideen:
Bei der Aufgabe steht, dass folgendes für die mittlere Geschwindigkeit gilt:

mit der Maxwell Verteilung:
f(v)=
Mein Taschenrechner spuckt mir da was Sinnvolles aus, wenn ich ihm das gebe.
Die mittlere quadratische Geschwindigkeit ist laut Aufgabe:

Da spuckt mein Taschenrechner kein Ergebnis aus, sondern da bleibt irgendein Integral über v^4*e^v^2 dv mit noch irgendwelchen Faktoren im Exponenten von e stehen.
Zu dem Integral über v^4*e^v^2 habe ich im Bronstein nur etwas für gefunden nicht jedoch mit einem beliebigen Exponenten im Exponenten von e. Gibt es da irgendeine Lösung für?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18213

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Jun 2023 12:35    Titel: Antworten mit Zitat

Rechnest du in einer oder in drei Dimensionen?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2021

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2023 13:27    Titel: Antworten mit Zitat

Die beiden Integrale lassen sich elementar durch Schulmethoden lösen.

Beim ersten bietet sich die Integration durch Substitution an (mit g(v) = v²), bei beim zweiten die partielle Integration (der Integrand ist ja in der Form x*y'mit x = v und y' = v*exp(-v²)).

Viele Grüße,
Nils

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Buzer4246
Gast





Beitrag Buzer4246 Verfasst am: 29. Jun 2023 20:47    Titel: Antworten mit Zitat

Nochmal hallo zusammen,
beim zweiten Integral ist das steht ja v^2 * f(v).
Mit der gegebenen Formel von f(v) erhalte ich im Integral v^4 exp(-v^2). Der Lösungsvorschlag mit x*y' (x=v; y=v exp(-v^2)) wäre dann doch nur v^2 exp(-v^2) und nicht mit v^4.
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2021

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2023 21:21    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ja, du hast Recht, sorry den zusätzlichen Faktor v² hatte ich übersehen.

Aber die grundsätzliche Vorgehensweise ist die gleiche. Allgemein bei Integralen der Form



mit v>=2 spaltest du ein v ab und schreibst:



Dann verwendest du die partielle Integration mit





Am Ende erhälst du ein Integral der Form



Der Exponent von v hat sich also um 2 reduziert! Dies wiederholst du so oft es nötig ist und landest am Ende entweder bei:

(1)

falls n gerade war oder bei

(2)

falls n ungerade war.

Integral (1) löst du über einen Vergleich mit dem Gaußen Fehlerintegral, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerintegral

Integral (2) wie im ersten Posting vorgeschlagen durch die Substituion u = v².

Ja, ich weiß. Es ist eine etwas lästige Rechnerei, aber nicht wirklich schwierig.

Viele Grüße,
Nils

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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Jun 2023 21:50    Titel: Antworten mit Zitat

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:

Ja, ich weiß. Es ist eine etwas lästige Rechnerei, aber nicht wirklich schwierig.

Aber lehrreich Lehrer

(vllt verrat ich später auch mal die Wiki-Seite, auf der diese Integrale stehen Hammer Teufel )
Buzer4246
Gast





Beitrag Buzer4246 Verfasst am: 30. Jun 2023 12:02    Titel: Antworten mit Zitat

So also ich habe jetzt das erste also die durchschnittliche Geschindigkeit gelöst bekommen und komme auch auf den Wert den mein Taschenrechner auspuckt beim zweiten hingegen wo man am Ende ja ein Integral über e^-v ^2 stehen hat komme ich auf kein Ergebnis und ich weiß auch nicht wie mir die Fehlerfunktion helfen soll die ja irgendein Integral über e^tau^2 ist. Was ist dieses Tau?
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2021

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 30. Jun 2023 12:30    Titel: Antworten mit Zitat

Wie im Wikipedia-Artikel beschrieben ist das Gaußsche Fehlerintegral für z -> unendlich auf 1 normiert, d.h. es gilt:



Da die hier auftretende e-Funktion zudem achsensymmetrisch zur y-Achse ist, ergibt sich gerade die Häfte des Wertes, wenn das Integral bei Null startet:



Das sieht doch schon ziemlich nach dem aus, was du brauchst. Die Anpassung des Exponenten bekommst du durch eine lineare Substitution hin.

Viele Grüße,
Nils

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18213

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Jun 2023 13:35    Titel: Antworten mit Zitat

Ein Trick, bei dem man nur ein Integral kennen muss, sieht so aus:


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Buzer4246
Gast





Beitrag Buzer4246 Verfasst am: 30. Jun 2023 19:59    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe in einem Buch ("Physik mit Bleistift") als Randnotiz folgendes gefunden:

da muss ich doch nur für a meine Konstanten die da bei der Maxwell Verteilung im Exponenten rumfliegen einsetzen und noch durch 2 teilen (da wir nur von 0 bis Unendlich integrieren) und fertig oder?
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2021

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 30. Jun 2023 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, klar. Viele Wege führen nach Rom.

(auf der linken Seite fehlt im Exponent allerdings ein Minuszeichen)

- Nils

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