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jvc96
Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113
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 jvc96 Verfasst am: 30. Okt 2016 10:01 Titel: harmonischer Oszillator, Erhaltungsgrößen nachweisen |
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Hallo zusammen,
Ich habe das Aufgabenblatt als Datei angehängt.
Ich komme leider bei den Aufgaben 1a und c nicht weiter.
Meine Probelme:
Welche Größen sollen l und I bei der a darstellen? E wird logischerweise die Energie sein, und l könnte die Länge darstellen, aber bei I habe ich keine Idee.
Des weiteren weiß ich einfach nicht, wie ich die Aufgabenstellung der a verstehen, bzw. umsetzen soll.
Bei der c werde ich wohl die Gleichungen umstellen und einsetzen müssen, habe da aber leider keinen Ansatz.
Hoffe Ihr habt da ein paar Tipps die mir helfen könnten.
| Beschreibung: |
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Download |
| Dateiname: |
Erhaltungsgrößen.png |
| Dateigröße: |
110.85 KB |
| Heruntergeladen: |
251 mal |
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thx2
Gast
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| thx2 Verfasst am: 30. Okt 2016 10:42 Titel: |
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spezifischer Drehimpuls
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 30. Okt 2016 10:51 Titel: |
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Aus den Bewegungsgleichungen in x- und y-Richtung ergeben sich für x und y harmonische Schwingungen mit unterschiedlicher Amplitude und beliebiger Phasendifferenz, aber gleicher Frequenz. Du kannst also z.B. ansetzen
)
etc. und den Aufgabenteil a) durchrechnen.
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jvc96
Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113
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| jvc96 Verfasst am: 30. Okt 2016 11:16 Titel: |
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ok, ich setze also beispielsweise  ) und  ) und deren Ableitunge ein und löse auf ?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 30. Okt 2016 11:24 Titel: |
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Ja, einfach einsetzen und zeigen, dass die Ausdrücke unabhängig von t sind.
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jvc96
Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113
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| jvc96 Verfasst am: 30. Okt 2016 11:26 Titel: |
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ok, vielen Dank 
Ich verstehe allerdings noch nicht die zweite Frage bei der a und die Aufgabenstellung der c) 
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thx2
Gast
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| thx2 Verfasst am: 30. Okt 2016 12:44 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
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Hier ist die komplexe Rechnung einfacher
| jvc96 hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe allerdings noch nicht die zweite Frage bei der a |
lz hatte ich ja schon geschrieben
und wie hängt das mit Ex und Ey zusammen?
| jvc96 hat Folgendes geschrieben: |
und die Aufgabenstellung der c |
Irgendwas mit dem Zentrifugalpotential
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jvc96
Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113
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| jvc96 Verfasst am: 30. Okt 2016 20:46 Titel: |
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Also ich sehe da leider noch keinen Zusammenhang 
Habe mir jetzt das Zentralpotential angeschaut und weiß auch nicht genau was ich damit anfangen soll
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 30. Okt 2016 21:17 Titel: |
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Die Fragen erinnern mich schwach an Poisson-Klammern und kanonischen Gleichungen für Erhaltungsgrößen F (H Hamilton):
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jvc96
Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113
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| jvc96 Verfasst am: 30. Okt 2016 21:21 Titel: |
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So etwas hatten wir leider noch nicht in der Vorlesung, damit kann ich also noch nichts anfangen 
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thx2
Gast
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| thx2 Verfasst am: 30. Okt 2016 22:27 Titel: |
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Einsetzen ergibt
 +\frac{1}{2}m\omega^2 (x^{2}+y^{2}))
zu c
die Idee mit dem Zentrifugalpotential ist nicht die beste
Einfacher ist wohl
nach  auflösen
und in Iz oder I einsetzen
usw
| franz hat Folgendes geschrieben: | Die Fragen erinnern mich schwach an Poisson-Klammern und kanonischen Gleichungen für Erhaltungsgrößen F (H Hamilton):
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das müsste reichen
bitte nachrechnen
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jvc96
Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113
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| jvc96 Verfasst am: 31. Okt 2016 09:58 Titel: |
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Also ich habe jetz bei der c umgeformt und eingesetzt, aber ich bekomme einfach keine Gleichung hin, die die Vorraussetzungen erfüllt.
Ich lande immer bei 
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thx2
Gast
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| thx2 Verfasst am: 31. Okt 2016 22:36 Titel: |
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| jvc96 hat Folgendes geschrieben: |
Ich lande immer bei  |
Das ist schon eine Lösung
lz,Ex,Ey steht ja in der Aufgabe
mit I ist es aber besser
Könnte eine Ellipse sein.Oder?
Jetzt zB
 )
 )
einsetzen und man bekommt die Bahnkuve
I,lz,Ex,Ey muss man natürlich auch ausrechnen
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jvc96
Anmeldungsdatum: 24.10.2016
Beiträge: 113
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| jvc96 Verfasst am: 31. Okt 2016 23:36 Titel: |
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Danke, so in die Richtung hatte ich auch überlegt, aber in der Aufgabe steht ja, dass man nur l, Ez und Ey verwenden soll. Leider eben nicht I
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 01. Nov 2016 13:49 Titel: |
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Die Aufgabe ist ziemlich sinnlos, wenn nicht diskutiert wird, was so besonders an diesen Erhaltunsggrößen ist.
Zunächst mal erwartet man, dass aufgrund der Rotationsinvarianz SO(3) die Drehimpulskomponenten erhalten sind. Natürlich ist die Energie erhalten. Außerdem ist (Spezialfall!) noch die "Energie je Richtung x,y,z" erhalten.
Ursache dafür ist, dass der harmonische Oszillator in N Dimensionen eine wesentlich größere Symmetriegruppe U(N) = U(1) * SU(N) hat. Man definiert zunächst
)
_{ik}\,a_k)
mit den N*N Matrizen der u(N); für a = 0 liegt die Einheitsmatrix vor; für su(2) sind außerdem die Pauli-Matrizen enthalten, die auf den Drehimpuls in 3 Dimensionen führen.
Diese Größen sind erhalten, d.h.
Man kann das auf verschiedene Weisen zeigen: explizites Verwenden der Lösungen der Bewegungsgleichungen, explizites Berechnen und Verwenden der Bewegungsgleichungen, Konstruktion als erhaltene Ladungen gemäß Noether-Theorem, wie oben angedeutet eine einzige Berechnung mittels Poissonklammern und Verwenden der u(N) - Algebra:
Insgesamt ist das eine sehr schöne Aufgabe, aber nur, wenn man diese o.g. Symmetrieüberlegungen gezeigt oder erklärt bekommt. Sonst ist das einfach nur doofe Rechnerei ohne Mehrwert.
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thx2
Gast
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| thx2 Verfasst am: 01. Nov 2016 17:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Zunächst mal erwartet man, dass aufgrund der Rotationsinvarianz SO(3) die Drehimpulskomponenten erhalten sind. Natürlich ist die Energie erhalten. Außerdem ist (Spezialfall!) noch die "Energie je Richtung x,y,z" erhalten.
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Interessant
Dazu vielleicht 2 Zusatzfragen
1 .Es gibt hier noch eine weitere Erhaltungsgröße
Welche Bedeutung hat diese für die Bewegung?
2.Wo findet man das noch,dass die Teilenergien in x,y und z Richtung erhalten bleiben?
Oder ist das hier ein Spezialfall?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 01. Nov 2016 23:26 Titel: |
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Es gibt einige wenige Spezialfälle, bei denen sozusagen "mehr" Erhaltungsgrößen vorliegen, als man geometrisch offensichtlich erwarten kann. Ich kenne die SO(4) Symmetrie des 1/r Potentials, sowie eben die SU(N) Symmetrie des N-dim. harmonischen Oszillators.
Ein wesentlicher Aspekt dieser Erhaltungsgrößen ist, dass die Bewegung integrabel ist. In der Quantenmechanik kann man das Spektrum berechnen, ohne die Schrödingergleichung lösen zu müssen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 01. Nov 2016 23:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Aufgabe ist ziemlich sinnlos, wenn nicht diskutiert wird, was so besonders an diesen Erhaltunsggrößen ist. |
Na ja, ich glaub nicht, dass das der Sinn der Aufgabe ist  Auch wenn das die eigentlich interessante Frage (für Theoretiker) ist. Da geb ich Dir recht. 
Der Sinn der Aufgabe ist es (ziemlich sicher) einfach Übung mit Ableitungen und Bewegungsgleichungen zu bekommen, was vom Niveau her deutlich unter Toms Antwort ist, aber doch deutlich über den bisherigen Ansätzen 
Man muss die Ausdrücke für die erhaltenen Größen (welche ja ganz allgemein gegeben sind) einfach nach der Zeit ableiten und dann nur die Bewegungsgleichung benutzen, um zu sehen, dass die zeitliche Ableitung Null ist (=> ... ?? ). Dafür ist es nicht notwendig, die Bewegungsgleichungen zu lösen und die Lösungen einzusetzen. (Was hier auch nicht gemacht wurde. Hier wurd einfach behauptet man hätte eine Lösung...)
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