Welche Größen sind Erhaltungsgrößen?

Hundmachtwuff · Gast

Meine Frage:
Ein Massepunkt m bewege sich im kartesischen Raum r=(x,y,z) und hat die potentielle Energie V(x,y,z)=S*ln(sqrt(x^2+y^2)/R),

dabei sind S und R Konstanten größer 0.

Gesucht sind drei Erhaltungsgrößen und man sollte zeigen, warum diese Größen erhalten sind

Meine Ideen:
Noether Theorem oder über zyklische Koordinaten

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Welche zyklischen Koordinaten erkennst Du denn? Es hilft, die Lagrange-Funktion auch in Zylinderkoordinaten auszudrücken. Die Gesamtenergie ist erhalten, wenn die Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt.

Hundmachtwuff · Gast

So auf den ersten Blick erkenne ich nur, dass z erhalten ist. Wie würde die Lagrangefunktion in Zylinderkoorduinaten aussehen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Ich befürchte, du hast das Prinzip noch nicht ganz verstanden.

Zum einen sind Erhaltungsgrößen aufgrund zyklischer Koordinaten nur ein Spezialfall des Noether-Theorems. Das Noether-Theorem besagt, dass zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines System eine zugehörige Erhaltungsgröße existiert. Wenn nun eine Koordinate zyklisch ist, d.h. in der Lagrange-Funktion nicht vorkommt, dann ist letztere trivialweise invariant bzgl. Translationen in dieser Koordinate.

Letztlich kannst du die Erhaltungsgrößen ablesen.

Betrachte die Zeit, die z-Koordinate, die Rotation in der xy-Ebene.

Hundmachtwuff · Gast

Ok danke, kann ich auch das Noether Theorem verwenden, um die Erhaltungsgröße direkt zu bestimmen, ich vermute mal auf Impulserhaltung oder Drehimpulserhaltung. Es liegt ja keine Transformation vor.

Hundmachtwuff · Gast

Oder wenn die Größe nicht explizit berechenbar ist, kann man dann begründen, wieso z.B. Impulserhaltung gilt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Was meinst du mit "es liegt keine Transformation vor"? Und was meinst du mit "wenn die Größe nicht explizit berechenbar ist"? Welche Größe?

Das Noether-Theorem funktioniert wie folgt:
1) gegeben ist eine Lagrange-Funktion
2) es liegt eine Symmetrie vor
3) daraus folgt die Erhaltungsgröße

Den Schritt (2) leistet das Noether-Theorem nicht; die Symmetrie muss man selbst finden, im vorliegenden Fall kann man bekannte Transformationen prüfen, inwieweit sie eine Symmetrie darstellen. Wenn eine Symmetrie vorliegt, dann liefert das Noether-Theorem die zugehörige Erhaltungsgröße.

Die üblichen Verdächtigen sind: Translation in der Zeit, Translation in einer Raumkoordinate, Rotation im Raum = in einer Ebene. Diese Transformationen musst du auf die la Lagrange-Funktion anwenden und prüfen, ob sie eine Symmetrie darstellen, d.h. ob die Lagrange-Funktion invariant ist. Das ist Schritt (2).

Für jede Symmetrie folgt dann Schritt (3).

Im vorliegenden Fall sind Schritt (2) und (3) jedoch einfach Lösen durch genaues Hinschauen. Die explizite Durchführung der vier Transformationen habt ihr vermutlich in der Vorlesung durchgesprochen, oder sie stehen im Skript.

Hundmachtwuff · Gast

Wie ist es lösbar nur durch Hinschauen, ich würde dies gern verstehen, kann das Aufstellen einer Translation dann weggelassen werden, kannst du das genauer ausführen, wie man dies allein durch Hinschauen sieht und dies damit begründen kann

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Ok

Zeittranslation

L hängt nicht explizit von der Zeit ab und ist damit invariant bzgl. Zeittranslation.

Also folgt eine Erhaltungsgröße, die Energie E. Rechnerisch gibt es zwei Wege das explizit zu zeigen (r bezeichnet im folgenden immer den Ortsvektor im 3-dim. Raum, nicht die Radialkoordinate)

a) Anwendung des Noether-Theorems (aus Vorlesung oder Skript)
b) Betrachtung der Euler-Lagrange-Gleichungen

Multiplikation mit der Geschwindigkeit liefert

Die Summe ist Null, die so definierte Energie also erhalten.

z-Translation

L hängt nicht von z ab, also folgt eine Erhaltungsgröße, der z-Impuls.

Rotation in der xy-Ebene

Die Rotation um die z-Achse wird beschrieben durch eine 3*3 Drehmatrix R mit

(die Indizes bezeichnen jetzt die Koordinaten)

L ist also invariant bzgl. Rotationen um die z-Achse, z tritt nicht auf, und z wird unter Rotation um die z-Achse auch nicht eingeführt, also folgt eine Erhaltungsgröße, der Drehimpuls in z-Richtung. Diese Invarianz liegt für andere Rotationachsen nicht vor,

Hundmachtwuff · Gast

Also erstmal vielen Dank, dies macht es mir verständlicher, d.h. es reicht so bereits aus, zu begründen, welche Größen erhalten sind? Kannst du vielleicht noch erklären, wozu dann so eine komplizierte und explizite Form der potentiellen Energie gegeben war?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Irgendeine Lagrange-Funktion muss ja gegeben sein, sonst hängt die gesamte Diskussion in der Luft.

Die spezielle Form ist hier ziemlich irrelevant; man erkennt jedoch, dass eine große Klasse auch sehr komplizierter Potentiale für die bekannten Symmetrien auf immer wieder die selben Erhaltungsgrößen führt.

Hundmachtwuff · Gast

D.h. die geführten Beweise sind bereits völlig ausreichend zur Begründung von Erhaltungsgrößen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

1. Teil: Zunächst liefert die Argumentation mit Translationsinvarianz in t und z sowie Rotationsinvarianz bzgl. der z-Achse die gesuchten Erhaltungsgrößen Energie sowie den entspr. Impuls und Drehimpuls.

2. Teil: Was genau die Erwartungshaltung bzgl. "man soll zeigen" ist, kann ich nicht beurteilen. Ich denke aber schon, dass eine kurze Rechnung gewünscht ist. Auch da gibt es zwei Möglichkeiten: man konstruiert die Größen mittels Noether-Theorem (ersetzt 1.) und zeigt damit gleichzeitig die Erhaltung, oder man schreibt sie direkt hin und beweist die Erhaltung mittels der Bewegungsgleichungen (vgl. oben Energie). Nix rechnen ist wohl nicht ausreichend.