Mittelwert u. Stabw. bei Messreihen mit fehlerbeh. Größen

cll · Anmeldungsdatum: 10.09.2015 Beiträge: 6

Hallo allerseits,

Ich suche eine Antwort darauf, wie ich den Mittelwert aus Größen mit Unsicherheiten ausrechnen kann.

Mal ein bisschen mehr zu meinen Problemen:
1)
Ich arbeite mit mechanischen Pipetten und sollte deren Genauigkeit abschätzen.
Dazu habe ich Wasser eines bestimmen Volumens in einen Behälter getropft und dessen Gewicht auf einer Laborwaage gemessen, deren Standardabweichung ich kenne. Das habe ich 10 mal wiederholt.
Das heißt ich habe eine Messreihe mit 10 Größen und deren Unsicherheiten:

2)
Ich sollte auch abschätzen, wie genau sich eine TXRF-Anlage zur chemischen Analyse unter Wiederholbedingungen verhält. Also, wie stark die Werte streuen, wenn ich eine Messung mehrmals wiederhole.
Dazu habe ich eine Probe mit einer bekannten Menge eines Elements hergenommen und anschließend 10 mal gemessen.
Die gemessenen Konzentrationen lauten:

Aus diesen Messreihen möchte ich den Mittelwert und dessen Unsicherheit ausrechnen, nur bin ich nicht sicher wie ich das mache.
Ich schwanke entweder zwischen herkömmlichen Formel des arithmetischen Mittelwerts, einer Fehlerfortpflanzung der Mittelwertsformel und einer Ausgleichsrechnung (also einem gewichteten Mittelwert).

Beim arithmetischen Mittelwert würde ich die Unsicherheiten der Waage bzw. Unsicherheiten der Messwerte der Anlage vernachlässigen.

Die Ausgleichsrechnung wird im Allgemeinen zum Finden eines wahrscheinlichsten Wertes bei unterschiedlich genauen Messergebnissen benutzt (wenn ich das bei meinen Recherchen richtig interpretiert habe), was bei der Wiederholung derselben Messung unter gleichen Bedingungen nicht zutrifft.

Mittlerweile erscheint mit die Fehlerfortpflanzung der Formel des arithmetischen Mittelwertes am richtigsten, doch bin ich mir nicht sicher.

Mitterweile drehen sich meine Gedanken schon ziemlich im Kreis. Vielen Dank im Vorraus für eure Hilfe.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Also:
1) Ausrechnen des Mittelwertes aus deinen Wiederholungsmessungen.
2) Statistischer Fehler = Berechnung des Standartfehlers des Mittelwertes (Standardabweichung geteilt durch die Wurzel der Wiederholungen)
3) Addition der Fehler unter (Fehlerfortpflanzungsgesetz)

Es macht nur Sinn einen Gemittelten Mittelwert zu suchen, wenn die Messunsicherheiten der Wiederholungsmessungen unterschiedlich sind. Du machst aber mehrfach genau das gleiche am gleichen Aufbau, da kannst du annehmen dass die Messunsicherheit konstant ist.

cll · Anmeldungsdatum: 10.09.2015 Beiträge: 6

Danke für die Antwort!

Stimmt also folgende Berechnung (am Beispiel der Pipetten)?

Messreihe mit 10 Messungen und deren Unsicherheiten:

Mittelwert:

Standardabweichung des Mittelwerts:

Fehlerfortpflanzung:

Addition der Standardabweichung des Mittelwertes und der erhaltenen Standardabweichung aus der Fehlerfortpflanzung liefert:

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Das könnte man so angehen.
Allerdings frage ich mich, warum deine systematischen Fehler _{mi} nicht identisch wären?

cll · Anmeldungsdatum: 10.09.2015 Beiträge: 6

Sehr gut das hilft mir schon sehr weiter, danke für deine Hilfe.

Im Fall der Pipetten sind die

wirklich ident, die Standardabweichung der Laborwaage ist mit +/- 0,2 mg angegeben.
Würde in diesem Fall dann die Fehlerfortpflanzung entfallen und nur die Standardabweichung des Mittelwerts gelten?

Im Fall der chemischen Messungen aus dem 2. Beispiel schwanken meine Standardabweichungen und sind nicht ident.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Dann addierst du einfach die Fehler quadratisch.
Wenn du mehrere Messwerte unterschiedlicher Fehler kombinierst ist ein gewichteter Mittelwert tendenziell exakter.

cll · Anmeldungsdatum: 10.09.2015 Beiträge: 6

Das heißt ich benötige im Fall der Pipetten die Fehlerfortpflanzung gar nicht?
Ich rechne einfach die Standardabweichung des Mittelwerts aus und addiere dazu quadratisch die Fehler der Einzelmessungen?

Im Fall der chemischen Analysen schwanken die Standardabweichungen, weil sie durch einen statistischen Prozess erhalten werden. Das heißt die Standardabweichungen sollten sehr ähnlich sein, aber eben nie gleich.
Ist das schon ein Fall für den gewichteten Mittelwert?
Sonst wäre ich so vorgegangen wie in meinem 2. Post beschrieben.

Mein Verständnisproblem ist einfach, dass ich mir mit den Messwerten einfach Mittelwert und Standardabweichung des Mittelwerts ausrechnen kann.
Nur werden dann die Fehler der Einzelmessungen vernachlässigt.
Wenn ich aber nur eine Fehlerfortpflanzung mache, sind die Fehler dann im Allgemeinen zu niedrig.
Mit meiner Literatur bin ich leider auch nicht zu einer Lösung gelangt.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Wenn die Fehler stark schwanken, ist ein gewichteter Mittelwert genauer.

Woher meinst du zu wissen, dass deine Messunsicherheit zu klein wäre?

cll · Anmeldungsdatum: 10.09.2015 Beiträge: 6

Mehr meinem Gefühl nach.
Wenn aus meinen

meinen Mittelwert

und die Standardabweichung des Mittelwerts

ausrechne, ist diese größer als die Standardabweichung

.
Deswegen hatte ich das Gefühl, dass da irgendwas nicht stimmen kann und nach einer Möglichkeit gesucht beide zu kombinieren und bin bei der Formel aus meinem 2. Post angelangt.

Ist der gewichtete Mittelwert auch anzuwenden, wenn die Messwerte und deren Fehler nur leicht unterschiedlich sind?
Anders formuliert:
Ich würde erwarten, dass die Messergebnisse aus der chemischen Analyse gleich genau sind nachdem ich dieselbe Probe mehrmals unter gleichen Bedingungen gemessen habe.
Die Fehler sind nur leicht unterschiedlich, da die Zählraten in den Spektren immer leicht schwanken.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

cll · Anmeldungsdatum: 10.09.2015 Beiträge: 6

Alles klar, ich werde mit das nochmal im Detail anschauen, gewichteten Mittewert bzw. Ausgleichsrechnung, sowie meine Formel aus Post 2 vergleichen und mich gegebenenfalls nochmal melden.

Danke für die Hilfe!