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JungeLenz
Anmeldungsdatum: 05.07.2020
Beiträge: 31
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 JungeLenz Verfasst am: 01. Jun 2021 12:47 Titel: Poisson-Gleichung dimensionslos |
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Meine Frage:
Hallo,
ich betrachte ein Teilchen mit Ladung -q, das sich im Zentrum einer Kugel mit Radius R befindet.
=\frac{q}{\varepsilon_{0}} \delta(\mathbf{r})$)
Auf dem Rand gilt  = 0) ,  ist die elektr. Feldkonstante.
Ich würde diese Gleichung gerne mit dimensionslosen Größen aufschreiben aber ich komme nicht darauf.
Meine Ideen:
) müsste doch die Einheit 1/m haben, oder?
Ich sehe jetzt aber nicht wie ich eine Konstante mit Einheit m reinbekomme, der Laplaceoperator ergibt doch etwas mit Einheit m^2 wenn ich die Ortsvariable neu skaliere? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Jun 2021 14:46 Titel: |
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Welche Größen sollen denn dimensionslos werden?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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JungeLenz
Anmeldungsdatum: 05.07.2020
Beiträge: 31
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| JungeLenz Verfasst am: 01. Jun 2021 14:51 Titel: Dimensionslose Größen |
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Also wenn ich die Koordinaten x,y,z betrachte die ja Dimension m haben, dann möchte ich mit dimensionslosen x,y,z weiterrechnen. Also da möchte ich durch eine Länge teilen.
Und das Potential hat ja Dimension V.
Bei hätte ich ja schon Dimension 1/m, das müsste ich noch wegbekommen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Jun 2021 15:01 Titel: |
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Verstehe ich nicht.
x,y,z haben die SI-Einheit [Länge] = Meter, oder - in geeigneten Einheiten - [Länge] = [Masse]^-1 = 1/ kg.
Mit welchen Einheiten möchtest du starten? SI, cgm, ...?
Und was meinst du mit "Dimension V".
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JungeLenz
Anmeldungsdatum: 05.07.2020
Beiträge: 31
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| JungeLenz Verfasst am: 01. Jun 2021 15:09 Titel: Einheitenlose Größen |
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Also ich möchte die Gleichung mit einem Programm lösen und dazu soll ich die Größen einheitenlos machen.
In z. B. einer Dimension möchte ich nicht mit x arbeiten sondern mit
sagen wir x/x0 wo x0 die charakteristische Länge ist. x/x0 ist ja dann einheitenlos.
Und das elektrostatische Potential hat hier doch die Einheit Volt, oder? Ich würde aber gerne mit einem Potential arbeiten das keine Einheit hat. Also das Potential mit Konstanten multiplizieren sodass das Ergebnis einheitenlos ist.
Und dann würde ich wohl mit SI-Einheiten anfangen und ich möchte ohne SI-Einheiten im Programm arbeiten.
Ich hoffe es ist verständlich. |
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 01. Jun 2021 15:15 Titel: Re: Poisson-Gleichung dimensionslos |
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| JungeLenz hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo,
ich betrachte ein Teilchen mit Ladung -q, das sich im Zentrum einer Kugel mit Radius R befindet.
=\frac{q}{\varepsilon_{0}} \delta(\mathbf{r})$)
Auf dem Rand gilt , ist die elektr. Feldkonstante.
Ich würde diese Gleichung gerne mit dimensionslosen Größen aufschreiben aber ich komme nicht darauf.
Meine Ideen:
müsste doch die Einheit 1/m haben, oder?
Ich sehe jetzt aber nicht wie ich eine Konstante mit Einheit m reinbekomme, der Laplaceoperator ergibt doch etwas mit Einheit m^2 wenn ich die Ortsvariable neu skaliere? |
Ist nicht
=\frac{\delta(r)}{\epsilon_{0}} )
korrekter, sofern
)
die Raumladungsdichte und
 )
das Potentialfeld ist?
Auf der Innenfläche der Kugelschale sollte
=0 )
gelten, wobei
Um die Gleichung zur besseren mathematischen Analyse zu Entdimensionalisieren wird folgendes veranstaltet.
Aus
wird
Somit:
=\frac{\delta(k)}{\epsilon_{0}} )
Hieraus wird ein dimensionsloser skalarer Faktor. |
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JungeLenz
Anmeldungsdatum: 05.07.2020
Beiträge: 31
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| JungeLenz Verfasst am: 01. Jun 2021 15:28 Titel: Dimensionslose Größen |
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Danke für deine Antwort.
Also ich meinte ja  also könnte man wohl
 schreiben.
) ist die Dirac-Funktion, also ergibt das dann mit q die Raumladungsdichte für eine Punktladung.
Am Ende hat das Potential doch noch immer die SI-Einheit Volt oder?
Und die elektr. Feldkonstante hat noch die Einheit C/Vm, das müsste ich auch noch wegbekommen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Jun 2021 15:46 Titel: |
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Ich würde zunächst mit der Gleichung
in SI-Einheiten starten. Dabei sind die Einheiten klar.
Die Einheit der delta-Funktion folgt aus der Eigenschaft
 \, \delta(\vec{r} - \vec{a}) = f(\vec{a}))
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 01. Jun 2021 15:47 Titel: |
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Das mit der Dirac Funktion ist O.K. Der Verzicht auf die Dimensionen kann doch nur dem Zweck dienen die mathematischen Eigenschaften zu untersuchen. Hier kann man die Konstante auf jeden beliebigen Wert also z.B. auch auf 1 setzen. Die Dimensionen bzw. Einheiten sind für diese Betrachtung nicht mehr relevant. Jedenfalls wenn ich das so richtig verstanden habe. Vielleicht gibt es ja zu diesem Thema auch Veröffentlichungen, wie man am geschicktesten aus Dgls. die Dimensionen entfernt. |
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JungeLenz
Anmeldungsdatum: 05.07.2020
Beiträge: 31
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| JungeLenz Verfasst am: 01. Jun 2021 15:50 Titel: Dimensionslose Größen |
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Also ich würde es jetzt in einer Dimension betrachten, dann gilt ja
Dann reskaliere ich mein x.
Dann folgt
=\frac{q}{\varepsilon_{0}} \delta(x))
=\frac{q}{\varepsilon_{0}} \delta(\hat{x}))
Und ) hat ja SI-Einheit C/m^3 was ich übersehen hatte.
 \varepsilon_{0}}{R^{2} q \delta(\hat{x})}= 1)
Damit erhalte ich ja ein einheitenloses Potential
 \varepsilon_{0}}{R^{2} q \delta(\hat{x})})
Einverstanden? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Jun 2021 16:03 Titel: |
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Du kannst dich nicht durch die delta-Funktion dividieren.
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JungeLenz
Anmeldungsdatum: 05.07.2020
Beiträge: 31
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| JungeLenz Verfasst am: 01. Jun 2021 16:21 Titel: Einheitenlose Größen |
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Oh stimmt.
Vielleicht funktioniert ja dann
 \varepsilon_{0} R}{q}= R^{3} \delta(\hat{x})) |
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