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Gaußsches Gesetz, Kugel mit Kugelausschnitt Bestimmung von E
 
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St3fan



Anmeldungsdatum: 25.05.2015
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Beitrag St3fan Verfasst am: 30. Okt 2015 22:50    Titel: Gaußsches Gesetz, Kugel mit Kugelausschnitt Bestimmung von E Antworten mit Zitat

Hallo,
wir haben seit diesem Semester Elektrostatik als Thema. Ein sehr interessantes Thema und trotzdem hab ich Probleme damit grübelnd

Unzwar mit folgender Aufgabe:
Aus einer homogenen positiv geladenen Kugel (Ladungsdichte , Radius ) sei um den Punkt im Abstand vom Mittelpunkt eine Kugel mit Radius herausgeschnitten (siehe Skizze). Geben Sie das Elektrische Feld in diesem Hohlraum an.

Als Tipp von unseren Professor haben wir bekommen, dass die Ladungsdichte in diesem Hohlraum ist.

Ich schätze mal, da es sich um verschiedene Felder handelt, muss hier das Superpositionsprinzip angewendet werden.
und mit Hilfe des Gauß'schen Satzes:


Muss ich das jetzt für die Vollkugel (mit und ) ausrechnen und getrennt für die ausgeschnittene Kugel (mit und ) und die beiden Ergebnisse dann addieren?
Wie kann ich denn jetzt zeigen, dass es sich um den Bereich der ausgeschnittenen Kugel handelt?
Mir fehlt das Verständnis der Anwendung des Gauß'schen Satzes und der verwendeten Mathematik. Ich hoffe Ihr könnt mir ein paar Tipps dazu geben.
Schönen Gruß
Stefan



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isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 09:47    Titel: Antworten mit Zitat

In der Vollkugel (Radius r) hätten wir die Ladung Q = V*ρ = 4/3 r³pi ρ
Eine Ldung Q hat bekanntlich das Feld E = Q / (4pi ε0 r²) = 3,76E10 m/F * r * ρ (r als Vektor).
Die gleiche Formel für die ausgeschnittenen Kugel mit dem Mittelpunkt vek{a} und negativem ρ.
Wird mathematisch etwas mühselig, oder?

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GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 31. Okt 2015 15:33    Titel: Antworten mit Zitat

isi1 hat Folgendes geschrieben:
Wird mathematisch etwas mühselig, oder?


Möglicherweise lautet die Aufgabenstellung ja ein bisschen anders, als vom Fragesteller hier wiedergegeben. Man sollte ihn deshalb erstmal nach dem originalen Wortlaut der Aufgabenstellung fragen. Sollte das aber die originale Aufgabenstellung sein, wird es in der Tat etwas mühsam.
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2015 18:19    Titel: Re: Gaußsches Gesetz, Kugel mit Kugelausschnitt Bestimmung v Antworten mit Zitat

St3fan hat Folgendes geschrieben:

Muss ich das jetzt für die Vollkugel (mit und ) ausrechnen und getrennt für die ausgeschnittene Kugel (mit und ) und die beiden Ergebnisse dann addieren?

Ja das ist richtig.

Ich weiss auch nicht wieso die beiden anderen meinen, dass dies mathematisch mühselig wäre. Ich glaub das ist sogar ziemlich trivial, aber vllt ueberseh ich ja was.
isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 18:39    Titel: Re: Gaußsches Gesetz, Kugel mit Kugelausschnitt Bestimmung v Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Ich weiss auch nicht wieso die beiden anderen meinen, dass dies mathematisch mühselig wäre. Ich glaub das ist sogar ziemlich trivial, aber vllt ueberseh ich ja was.
Wenn Du das behauptest, wissen wir aus Erfahrung, dass Du fast immer recht hast, JH.
Magst Du uns mal bitte zeigen, wie's einfach geht?

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jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2015 18:47    Titel: Re: Gaußsches Gesetz, Kugel mit Kugelausschnitt Bestimmung v Antworten mit Zitat

Genau so:
St3fan hat Folgendes geschrieben:

Muss ich das jetzt für die Vollkugel (mit und ) ausrechnen und getrennt für die ausgeschnittene Kugel (mit und ) und die beiden Ergebnisse dann addieren?

Das Einzige was man wissen muss, ist wie das Feld im Inneren einer homogen geladenen Kugel aussieht. Der Rest der Rechnung ist ein Zweizeiler. Die Tatsache dass man nur das Feld im Hohlraum will, macht das Ergebnis besonders einfach.

PS: Das ist im Übrigen eine Standardaufgabe in der Elektrostatik, um die Macht des Superpositionsprinzips zu zeigen.
St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

Also das ist der originale Wortlaut der Aufgabe und der Titel ist der Gleiche wie von der Aufgabe auch.
Wir sollen die Aufgabe mit dem Gauß'schen Satz lösen.
Ich hab es jetzt mal versucht und komme auf das gleiche Ergebnis wie isi1

Ich habe das Feld der Ganzen Kugel genannt und das Feld der kleinen in der großen genannt:



Und für die kleine Kugel enthalte ich dementsprechend:


Nach dem Superpositionsprinzip muss ich doch jetzt

machen.
Aber woran erkenne ich denn das Feld nur in dem kleinen Hohlraum?


Zuletzt bearbeitet von St3fan am 31. Okt 2015 19:18, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2015 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

St3fan hat Folgendes geschrieben:

Nach dem Superpositionsprinzip muss ich doch jetzt

machen.

Dann mach doch.
Zitat:

Aber woran erkenne ich denn das Feld nur in dem kleine Hohlraum?

Ich versteh die Frage nicht.
isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 19:22    Titel: Antworten mit Zitat

Vielleicht E(x,y,z) = k * ( (1/ε_r)*√(x²+y²+z²) - √((x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²) ?
Scheint mir nicht gerade simpel.

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jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2015 19:24    Titel: Antworten mit Zitat

isi1 hat Folgendes geschrieben:
Vielleicht E(x,y,z) = k * ( (1/ε_r)*√(x²+y²+z²) - √((x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²) ?
Scheint mir nicht gerade simpel.

Man kann die einzelnen Komponenten Ex, Ey und Ez auch noch getrennt aufschreiben, um es möglichst kompliziert zu machen...
isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 19:26    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Gleichung stimmt ohnehin nicht, da ich die Vektoreigenschaft nicht berücksichtigt habe.
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St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 19:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab jetzt raus:


Nur weiß ich ehrlich gesagt nicht was für ein Feld ich damit angebe...
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2015 19:43    Titel: Antworten mit Zitat

R1 und R2 hängen zusammen, das vereinfacht das Ergebnis nochmal etwas.
isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 19:57    Titel: Antworten mit Zitat

Aha
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Zuletzt bearbeitet von isi1 am 23. Jan 2016 18:57, insgesamt einmal bearbeitet
St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 20:14    Titel: Antworten mit Zitat

Die hängen zusammen?
Mir würde jetzt nur einfallen, dass sie mit einem Vektor zusammenhängen, so dass:

und somit:


Aber das vereinfacht nichts und nun ist da noch ein unbekannter Vektor drin...
St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 20:18    Titel: Antworten mit Zitat

Zu Isi1: der r_2, zeigt der auf einen bestimmten Punkt oder auf den Rand der großen Kugel?
isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 20:19    Titel: Antworten mit Zitat

St3fan hat Folgendes geschrieben:
Zu Isi1: der r_2, zeigt der auf einen bestimmten Punkt oder auf den Rand der Kugel?
Der kann auf irgend einen (Mess-)Punkt P innerhalb der kleinen Kugel zeigen (siehe meine Zeichnung oben).
Es hat mich schon immer gewundert, dass in der dielektrischen Kugel im konstanten Feld die Feldlinien genau gerade und parallel verlaufen (also E konstant ist), während sie außerhalb natürlich ordentlich verformt werden.
In Deinem Fall scheint demnach E im ganzen Hohlraum konstant und gleich dem Feld im Mittelpunkt der kleinen Kugel zu sein.

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St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 20:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ich guck die ganze Zeit auf dein Bild und deinen Text aber ich kann deinen Ahhaa Moment nich nachvollziehen grübelnd

Wie hängen denn dadurch die Vektoren R_1 und R_2 zusammen?
isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 20:44    Titel: Antworten mit Zitat


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Zuletzt bearbeitet von isi1 am 23. Jan 2016 18:59, insgesamt einmal bearbeitet
St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 20:54    Titel: Antworten mit Zitat

Das versteh ich nicht, Zeigt der nicht immer zum Rand der großen Kugel mit der länge ?
Oder zeigt der in den gesamten Raum in der großen Kugel?
Oder wurde die Kugel jetzt einfach so gewählt das es mit passt?
St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 22:26    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, ich habe jetzt im Großen und ganzen das Problem verstanden. Das einzige was mich noch verwirrt, ist der Tipp von unseren Professor.
Warum kann ich annehmen, dass die Ladingsdichte der kleinen Kugel ist?
isi1



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Beitrag isi1 Verfasst am: 31. Okt 2015 22:36    Titel: Antworten mit Zitat

St3fan hat Folgendes geschrieben:
Warum kann ich annehmen, dass die Ladingsdichte der kleinen Kugel ist?
Wenn wir die große Kugel ganz mit Ladung füllen, haben wir zuviel Ladung, nämlich den Raum der kleinen Kugel. Also nehmen wir die kleine Kugel mit minus rho an, dann hebt sich in der kleinen Kugel dieses Minus mit dem Plus der großen Kugel auf, sodass wir in diesem Bereich weisungsgemäß die Ladung Null haben.
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St3fan



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Beitrag St3fan Verfasst am: 31. Okt 2015 22:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ahh Ok, jetzt versteh ich es. Vielen Dank für die tolle Hilfe und der Geduld mit mir.
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