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neun
Gast
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 neun Verfasst am: 09. Apr 2015 21:03 Titel: Gauß'scher Integralsatz: Integral lösen |
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Guten Abend die Damen und Herren (:
Ich sitze gerade an einer Aufgabe zum besagtem Integralsatz, den wir noch nicht in der Vorlesung hatten.
Das Vektorfeld f lautet 
Jetzt sollen wir beide Integrale für den Quader mit den Vektoren 2ex, 3ey und 4ez lösen. ex, ey und ez sind die Einheitsvektoren. Ich hoffe das ist verständlich.
Das rechte Integral habe ich gelöst. Die Divergenz und das Mehrfachintegral ging ganz gut. Nur verstehe ich nicht wie man das auf der linken Seite lösen soll. Ich habe mir schon andere Aufgaben angeguckt, aber da ging es immer nur um Kreise/Kugeln. Ich verstehe das erhlich gesagt auch nicht mit dem Normalenvektoren.
Die wurden im Hinweis genannt. Also es wurde darauf aufmerksam gemacht, dass diese immer nach außen zeigen.
Ich hoffe mir kann jemand ein wenig helfen. Soweit ich das jetzt verstanden habe wird das Integral über die Oberfläche bestimmt? Sind hierbei alle sechs des Quaders gemeint?
LG |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3403
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| ML Verfasst am: 09. Apr 2015 21:29 Titel: Re: Gauß'scher Integralsatz: Integral lösen |
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Hallo,
| neun hat Folgendes geschrieben: | Guten Abend die Damen und Herren (:
Ich sitze gerade an einer Aufgabe zum besagtem Integralsatz, den wir noch nicht in der Vorlesung hatten.
Das Vektorfeld f lautet
Jetzt sollen wir beide Integrale für den Quader mit den Vektoren 2ex, 3ey und 4ez lösen. ex, ey und ez sind die Einheitsvektoren. Ich hoffe das ist verständlich.
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Nicht ganz. Die Größe des Quaders (2x3x4 Längeneinheiten) wird schon klar, aber nicht die genaue Lage.
| Zitat: |
Das rechte Integral habe ich gelöst. Die Divergenz und das Mehrfachintegral ging ganz gut. Nur verstehe ich nicht wie man das auf der linken Seite lösen soll.
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Im Prinzip hast Du es ja schon gelöst. Zwischen beiden Integralen steht ja ein Gleichheitszeichen ;-)
| Zitat: |
Ich habe mir schon andere Aufgaben angeguckt, aber da ging es immer nur um Kreise/Kugeln. Ich verstehe das erhlich gesagt auch nicht mit dem Normalenvektoren. Die wurden im Hinweis genannt. Also es wurde darauf aufmerksam gemacht, dass diese immer nach außen zeigen.
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Der Wortbestandteil "normal" bedeutet "senkrecht" (auf der zugehörigen Fläche).
Bei der Integration (linkes Integral) zerlegst Du Deine Fläche A in viele kleine Teilflächen. Jeder Teilfäche ordnest Du einen Vektor zu, den ich hier der Einfachheit halber mit  bezeichne; dieser Vektor kann aber an jedem Punkt der Oberfläche anders sein. Der Betrag des Vektors entspricht dem Flächeninhalt der Teilfläche, die Richtung steht senkrecht auf der Teilfläche. Für jede Teilfläche multiplizierst Du nun den jeweiligen Flächenvektor der Teilfläche mit dem vorgegebenen Wert des Vektorfelds  am Ort von durch eine Skalarmultiplikation und addierst alle so entstehenden Skalarprodukte. Du erhältst den Fluss des Vektorfeldes über die Oberfläche.
Da es bei der Fläche A um die komplette Oberfläche eines Volumens geht (Schreibweise:  ), kannst Du der Fläche A eine Orientierung zuweisen: nach außen zeigend oder nach innen zeigend.
Die Schreibweise mit dem  wird auch noch in der Form  verwendet. Hier ist nicht der Rand eines Volumens (eine Fläche), sondern der Rand einer Fläche (eine Linie) gemeint. heißt also in diesem Fall "Rand von".
| Zitat: |
Ich hoffe mir kann jemand ein wenig helfen. Soweit ich das jetzt verstanden habe wird das Integral über die Oberfläche bestimmt? Sind hierbei alle sechs des Quaders gemeint?
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Ja, auf jeden Fall sollst Du die Integration über alle 6 Randlfächen des Quaders durchführen.
Viele Grüße
Michael
PS: Wenn Du den Satz mit einem physikalischen Verständnis verknüpfen wilst, willst, schau Dir mal das Gauß'sche Gesetz für elektrische Felder an. Die Quellen des elektrischen  -Feldes (das heißt die Ausgangspunkte der Feldlinien) sind dort die elektrischen Ladungen, genauer: Die räumliche Ladungsdichte entspricht der Divergenz des D-Feldes  .
Der Satz von Gauß sagt nun aus, dass Du -- wenn Du die in einem Volumen vorhandene Ladung bestimmen willst -- entweder die Ladungsdichte über das Volumen integrieren musst oder gewissermaßen die Feldlinien zählen musst, die über die Oberfläche nach außen treten. |
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neun
Gast
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| neun Verfasst am: 10. Apr 2015 13:54 Titel: |
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Vielen, vielen Dank Michael! (:
Mehr stand in der Aufgabe nicht. Ich bin einfach davon ausgegangen, dass vom Koordinatenursprung ausgegangen wird. Also von 0 - 2, 0 -3 und 0 - 4
Ich weiß, aber in der Aufgabe steht, dass wir explizit beide Seiten der Gleichung rechnen sollen. Ist ja auch nicht falsch (;
Erst einmal danke für die Erklärung der Schreibweise und deren Bedeutung. Ich bin wirklich über mehrere gestolpert und habe nicht verstanden worin genau der Unterschied liegt. Werde ich mir auf jeden Fall für die Zukunft merken!
Jetzt stellt sich mir die Frage, wie ich einer Teilfläche einem Vektor zuordne. Normalerweise multipliziert man ja die Seiten um eine Fläche herauszubekommen.
Ich habe mir jetzt die Eckpunkte des Quaders aufgeschrieben und wenn man den Betrag dieser ausrechnet, hat man ja die Länge und könnte die passenden Seiten multiplizieren und somit den Flächeninhalt ausrechnen. Ich bezweifle aber, dass das damit gemeint ist 
Aber immerhin bin ich vom Verständnis schon einmal ein ganzes Stück weiter. Nochmals vielen Dank!
LG |
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neun
Gast
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| neun Verfasst am: 12. Apr 2015 18:08 Titel: |
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Ich bin aber euch blöd  Man sollte mal wirklich lesen und dann ergibt sich vieles. Ahje.
Okay mir bleibt eine letzte Frage. Über was Integriere ich das. Also welche Grenzen nehme ich?
LG |
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