Integration im Komplexen

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich brauche für eine Fouriertransformation im Bereich der digitalen Signalverarbeitung den Ausdruck

Die Integration verläuft also auf einer Geraden im (endlichen) Abstand

zur rellen Achse.

Um das Integral auf die reelle Achse zu transferieren, könnte ich eine Kontur C wie folgt wählen (die Funktion ist ja in C analytisch):

Ich neige nun zu der Aussage, dass im Limes

die vertikalen Integrationen wegfallen, da

und der Integrand Null wird. Genauso müsste das für das zweite vertikale Integral zutreffen, was heißt, dass man die Integration auf die reelle Achse bringen kann. Sind diese Überlegungen richtig? Ich bin mir nämlich wegen des Grenzübergangs nicht 100% sicher und das Ergebnis erscheint mir auch als zu "billig". Vielleicht kann sich jemand anschauen ob ich hier einem Fehlschluss aufsetze - solche Integrale sind ja in der theoretischen Physik durchaus üblich (deshalb hier und nicht im Mathe-Board, wo ich die Antworten mit meiner Ingenieursmathematik sowieso nicht verstehen würde...)

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Was Du machst ist korrekt.

PS: Schön zu sehen, dass jemand diese Fouriertransformation mal korrekt macht und nicht falsch smile

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Danke für die Antwort - leider sehe ich, dass ich einen Fehler gemacht habe.

Es handelt sich um ein Integral der Art

wobei a und b (endliche) komplexe Faktoren sind (ich habe bereits eine quadratische Ergänzung gemacht...)

Mit der Substitution

bzw.

komme ich dann auf

was ich zwar wie gestern vorgeschlagen mittels Cauchy auf

bringen kann, jedoch ist das a immer noch komplex und ich kann das Gauss-Integral daher nicht anwenden. Gestern hatte ich den Faktor a komplett übersehen...

Wie mache ich hier weiter?

Vielen Dank !

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Sollte ich nur ein Brett vor dem Kopf haben, bitte ich um einen dezenten Hinweis Hammer

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Guck Dir mal an wie man das für den Fall a=i macht. Das sollte sich relativ einfach für alle a verallgemeinern lassen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral#Evaluation

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

danke

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Wenn ich die Argumentation richtig verstanden habe wäre dann , wenn ich als Kontur mit komplexem

setze

das Integral über

entlang dieser Kontur

und dieses somit gleich dem Integral entlang der x Achse

Letzteres ist das halbe Gauss-Integral; die Gleichsetzung und Verdopplung ergibt

Das wäre dann auch das Ergebnis mit "naiver " Substitution - ist das nicht komisch? Es hieße, dass man den Vorfaktor im Gauss-Integral ruhig als komplex annehmen darf.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Die Kontour ist nicht richtig bei Dir. Um e^{-a*z^2} zu integrieren, nimmst Du die reale Achse (startend bei 0) einen Kreisbogen zum schliessen (ich hab nicht gecheckt ob der verschwindet, aber sollte er wohl) und eine gerade Linie z=b*t, und was so dass: a*b^2 >0. D.h. b ist die Wurzel aus dem Komplexkonjugierten von a.

(Diese gerade Linie ist dann ein helles Gauchos Integral, welches Dir den Wert liefert.)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Hm, ich verstehe nun eigentlich nicht:

wenn ich entlang der blauen Kontur integriere, habe ich

und das rechte ist ja bis auf den Faktor

genau mein gesuchtes Integral...Ich verstehe nicht was du meinst.
Ich werde einmal darüber schlafen, da ich schon betriebsblind zu sein scheine...

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Richtig, also mit dem Faktor

Und jetzt wählst du

so dass

reell und positiv ist, dann kannst Du das rechte Integral ganz normal im reellen lösen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Ich bin mir im Moment allerdings nicht so sicher, dass der Kreisbogen wirklich verschwindet (zumindest nicht für beliebiges a.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Ok. Hab mir das nochmal genauer angeguckt. Der von mir oben beschriebene Weg funktioniert (ausser, dass das was ich da b nenne nur die Phase, der Wurzel des Komplexkonjugierten von a ist).

Es gilt

Fuer alle komplexen a mit Re(a)>=0.

1. Die Bedingung ist nicht so überraschend, da der Integrand für Re(a)<0 exponentiell wächst.
2. Es kommt genau das raus, was man aus der realen Formel erhält, wenn man einfach einen komplexen Parameter einsetzt. Der Grund ist, dass dies Integral analytisch in dem Parameter a ist und dass analytische Fortsetzungen eindeutig sind (Darüber könnte man dem Integral dann sogar einen Wert zuschreiben für Re(a)<0, wenn man wollte).