Potential einer Kugel, Vorzeichenfehler

Lalilukp · Gast

Meine Frage:
Hallo,
ich soll das Potential im Inneren einer homogen geladenen Vollkugel mit Radius R berechnen.

Meine Ideen:
Das Feld außerhalb der Kugel ist

; das Feld im Inneren

.

Das Potential außerhalb ist

.

Das Potential innerhalb ist

.

Für die Oberfläche der Kugel gilt

.

Es kommt genau das Negative vom richtigen Ergebnis raus ...
Ich finde den Fehler jedoch einfach nicht. Wenn die beiden Vorzeichen der Integrale positiv wären, würde es perfekt passen, aber die sind doch in jedem Fall negativ, weil das Potential so definiert ist!?
Es wundert mich auch, dass es außerhalb negativ ist, aber ich hab's echt 100mal nachgerechnet ...
-_-

Würde mich über Hilfe freuen Big Laugh

.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Deine Integralgrenzen sind falschrum. Das Integral sollte von unendlich bis r gehen, nicht umgekehrt.

Lalilukp · Gast

Warum? :/
Klingt jetzt vielleicht primitiv, aber die höhere Grenze ist doch immer die obere!?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Weil

Mehr dazu z.B. hier:
http://pi.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/pnf2_ss02/chapter18_html/node2_mn.html

PS: Die höhere Grenze ist nicht immer die obere. Es wird nur oft so geschrieben. Welche wo ist spielt keine Rolle (solange man richtig rechnet), da

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Zur Vermeidung von Vorzeichenfehlern löst man sinnvollerweise zunächst das unbestimmte Integral der allgemeinen Definition des Potentials und bestimmt die Integrationskonstante mit der Randbedingung

.

Randbedingung

Für das Potential im Inneren dann entsprechend.

Es fällt auf, dass das eine typische Aufgabe von einem Physiker und vermutlich nicht von einem Elektriker ist. Einem Elektriker würde sofort auffallen, dass die Kugel aus einem dielektrischen (nicht leitenden) Material bestehen muss, da ansonsten die Ladung nicht ortsfest gespeichert werden kann. Laut Aufgabenstellung ist die Kugel aber homogen geladen. Nun gibt es keinen Isolierstoff, dessen Permittivitätszahl 1 ist. Im Inneren der Kugel ist die Feldstärke deshalb

Die Feldstärke macht also an der Kugeloberfläche einen Sprung. Sie ist im Innenbereich um den Faktor

kleiner als im Außenbereich. Entsprechend ändert sich natürlich auch das Potential: