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Nachricht |
12345
Gast
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 12345 Verfasst am: 08. Aug 2013 15:48 Titel: Quantenmechanischer harmonischer Oszillator Energieshift |
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Meine Frage:
Hi ich hab ne Frage zum QM harmonischen Oszillator.
Sind die Energieeigenwerte unabhängig vom Potentialnullpunkt? Normal sollten die ja die Gesamtenergie darstellen. Dementsprechend sollte sich die Phase der Eigenzustände schneller ändern, wenn ich den Potentialnullpunkt auf einen Wert  verschiebe, oder nicht?
Danke schonmal!
Meine Ideen:
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 08. Aug 2013 18:09 Titel: |
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Wenn  ein Eigenvektor des Hamiltonoperators H zum Eigenwert E ist, dann gilt für eine Konstante 
\,|\psi\rangle = (E+V_0)\,|\psi\rangle
<br />
)
Somit hängen die Energieeigenwerte von der Konstanten ab, allerdings in sehr einfacher und übersichtlicher Weise.
Gruß von Bruce |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 08. Aug 2013 18:14 Titel: |
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Hallo.
Das betrifft ja nicht nur den harmonischen Oszillator sondern beliebige Systeme und beliebige Zustände.
Eine Verschiebung der Grundzustandsenergie
führt zu einer Phase in der Zeitentwicklung
Allerdings kann diese Phase für zeitunabhängiges H nicht beobachtet werden. Zeitunabhängige Observablen (hermitesche Operatoren) vertauschen mit der Phase, d.h. Eigenwerte und Matrixelemente sind invariant
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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12345
Gast
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| 12345 Verfasst am: 09. Aug 2013 09:43 Titel: |
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Dankeschön für die Antworten!
Also "rotiert" die Phase um den Faktor  schneller im Vergleich zum ungeshifteten Potential, wenn ich das richtig verstehe.
Im Prinzip geht es um zwei Potentiale (sagen wir der Einfachheit halber harmonische Potentiale von denen ein Potentialminimum bei 0 liegt) die energetisch verschoben sind.
Ausgangspunkt: Wellenfunktion im Grundzustand des unteren Potentials, keine Wellenfunktion im oberen Potential.
Vom unteren Potential soll jetzt mit einem Puls ein Teil der WF in das obere Potential gebracht werden. Nach einer bestimten Zeit wird dann ein weiterer Teil aus dem unteren Potential angeregt. Abhängig vom Überlapp werden beide Teile der Wellenfunktion dann ja (aufgrund der unterschiedlichen Phasen) anfangen miteinander zu Interferieren.
Dementsprechend würde ich ein Interferenzmuster, dass vom Energieshift zwischen den Potential abhängt erwarten (Also sehr schnelle Oszillationen im Interferenzmuster für einen großen Energieshift und langsame Oszillation im Interferenzmuster für einen kleinen Energieshift)
Gruß |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 09. Aug 2013 09:57 Titel: |
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| 12345 hat Folgendes geschrieben: | | Also "rotiert" die Phase um den Faktor schneller im Vergleich zum ungeshifteten Potential |
Richtig.
| 12345 hat Folgendes geschrieben: | Im Prinzip geht es um zwei Potentiale (sagen wir der Einfachheit halber harmonische Potentiale von denen ein Potentialminimum bei 0 liegt) die energetisch verschoben sind.
Ausgangspunkt: Wellenfunktion im Grundzustand des unteren Potentials, keine Wellenfunktion im oberen Potential.
Vom unteren Potential soll jetzt mit einem Puls ein Teil der WF in das obere Potential gebracht werden. |
Das verstehe ich nicht. Hast du nun zwei verschiedene Potentiale (zwei verschiedene Hamiltonoperatoren), oder zwei verschiedene Energieeigenzustände zum selben Potential. Wenn du vom Grundzustand in einen höheren Zustand anregst, dann hast du einen andern Zustand zum selben Potential. Und ein anderer Zustand meint natürlich einne völlig anderen Zustand, nicht nur eine relative Phase. Wir haben aber vorher den selben Zustand in unterschiedlichen Potentialen diskutiert.
Außerdem weiß ich nicht, was du damit meinst, einen Teil der Wellenfunktion anzuregen. Man kann einen Zustand nur als ganzes anregen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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12345
Gast
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| 12345 Verfasst am: 09. Aug 2013 10:22 Titel: |
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Hi TomS.
Das war ein bisschen unglücklich ausgedrückt, da es mir ja eigentlich nur um die Frage nach der "Geschwindigkeit", mit der sich die Phase ändert, ging.
(Die wurde ja beantwortet)
Aber mal Ausführlich. Zwei unterschiedliche Potentiale, energetisch verschoben und auch in den Koordinaten verschoben.
Mit einem Puls wird dann ein Teil der Grundzustands-WF in das obere Potential angeregt (und zwar so, dass die Grundzustands-WF durch den Puls näherungsweise nicht beeinflusst wird).
Die, in das obere Potential, angeregt WF ist dann natürlich eine Superposition aus vielen Eigenzuständen des oberen Potentials und fängt an im oberen Potential zu "schwingen".
Mit einem zweiten (identischen) Puls wird ein weiterer Teil der Grundzustands-WF ins obere Potential angeregt und der Delay zwischen den beiden Pulsen variiert.
Entspricht der Delay einer Periodendauer ist die (durch den ersten Puls angeregte) WF natürlich dann genau wieder an dem Punkt, an dem auch die zweite WF ins Potential angeregt wird, aber die Phasen unterscheiden sich natürlich, wodurch dann Interferenz zu beobachten ist.
Und dieses Interferenzmuster sollte nun ja auch vom Energieshift abhängig sein (siehe mein Beitrag vorher).
Aber ich würde die Frage, wie gesagt, als beantwortet bezeichnen.
Danke euch  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 09. Aug 2013 11:13 Titel: |
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Ich habe trotzdem den Eindruck, dass da einiges durcheinander geht
| 12345 hat Folgendes geschrieben: | | Zwei unterschiedliche Potentiale, energetisch verschoben und auch in den Koordinaten verschoben. |
Wenn du es so formulierts, dann haben die beiden Hamiltonoperatoren entweder NICHTS miteinander zutun, oder du hast einen zeitabhängigen Hamiltonoperator wie z.B.
 = \frac{p^2}{2m} + \frac{m}{2}\omega^2(x-\Delta x(t))^2 + \Delta E(t))
| 12345 hat Folgendes geschrieben: | | Mit einem Puls wird dann ein Teil der Grundzustands-WF in das obere Potential angeregt ... |
Dann brauchst du aber auch keinen Puls mehr, das wird schon irgendwie durch die Zeitabhängigkeit passieren
| 12345 hat Folgendes geschrieben: |
(und zwar so, dass die Grundzustands-WF durch den Puls näherungsweise nicht beeinflusst wird). |
Das ist jetzt wiederum die sogenannte adiabatische Näherung. Dabei gehst du davon aus, dass die Zeitabhängigkeit so gering (langsam) ist, dass die Wellenfunktion näherungsweise jeweils durch die ungestörte Wellenfunktion zum Zustand n, jedoch mit zeitabhängigen Parametern beschreiben werden kann, d.h.
 = e^{-i(E + \Delta E(t))\cdot t} \; u_n(x-\Delta x(t)))
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12345
Gast
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| 12345 Verfasst am: 09. Aug 2013 11:32 Titel: |
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Sry, mein Fehler!
Die Hamiltonoperatorn sind natürlich über ein Dipolübergangselement miteinander gekoppelt. Sprich der Hamiltonoperator des Sytems ist von der Form
 \\ -\mu_{ba}E(t)^* & H_b \end{pmatrix} ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 09. Aug 2013 12:23 Titel: |
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Und die beiden Diagonalelemente sind dann zwei verschiedene harmonische Oszillatoren?
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12345
Gast
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| 12345 Verfasst am: 09. Aug 2013 12:46 Titel: |
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