Eigenfunktion harmonischer Oszillator

The_Nati · Anmeldungsdatum: 29.10.2012 Beiträge: 34

Ich sitze grad bei der Prüfungsvorbereitung und hab bei dieser Aufgabe, die eigentlich realtiv einfach sein sollte, Probleme...

ich soll zeigen, dass die Funktion:

Eine Eigenfunktion des Harmonischen Oszillators ist.

Dazu nutzt man den Hamilton operator in Orstdarstellung:

So also erstmal die Ableitungen bilden:

Zweite Ableitung:

l ist definiert als

Somit ergibt sich :

So eigentlich sollte die Funktion aber eine Eigenfunktion zu dem eigenwert

sein...

Nur irgendwie klappt das nicht grübelnd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8412

Dein Hamiltonoperator hat doch noch einen zweiten Term. Die Rechnung wird übrigens sehr viel übersichtlicher, wenn man statt x mit y=x/l rechnet.

The_Nati · Anmeldungsdatum: 29.10.2012 Beiträge: 34

Äther · Anmeldungsdatum: 22.12.2011 Beiträge: 387

Robertus · Anmeldungsdatum: 13.06.2013 Beiträge: 12

Ich bearbeite die gleiche Aufgabe und komme beim besten Willen nicht auf die Lösung, obwohl ich die Ableitungen absolut korrekt habe (sogar mit Mathematica überprüft). Was danach bleibt ist ja prinzipiell nur umstellen und Terme kürzen, aber beim besten Willen. Ich komme niemals auf

.

Die SGL lautet:

Die 2. Ableitung ist:

Ich habe also folgende Gleichung:

Sinn und Zweck ist ja jetzt lediglich den Term

auszuklammern, der Faktor wäre dann der Eigenwert. Dann habe ich also:

Das was in eckigen Klammern steht müsste sich jetzt also eigentlich zu meinem gesuchten Eigenwert zusammenkürzen. Tut es aber nicht. Selbst mit Mathematica nicht. Ich sehe da aber absolut nichts Falsches.

Nati, wie sieht das denn bei dir aus? Siehst du hier irgendwo einen Fehler bei mir? grübelnd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8412

Klammer nur

aus, dann siehst Du schnell dass das Polynom das übrig bleibt genau das ist was Du möchtest.

Robertus · Anmeldungsdatum: 13.06.2013 Beiträge: 12

Ändert sich für mich nicht so viel:

Immer noch unübersichtlich wie Sau. Hammer

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8412

im zweiten Teil ist ein alpha und eine e-Funktion zuviel. Im ersten ein 1/l^2 aus klammern und Definition von l benutzen... Dann steht's schon so gut wie da: die beiden x^4 Terme heben sich weg und aus der -11 wird eine -10.

Robertus · Anmeldungsdatum: 13.06.2013 Beiträge: 12

Keine Chance, ich krieg's nicht aufgelöst. Kann machen was ich will, da kürzt sich nichts Sinnvolles weg. Hab's jetzt sicher 20 mal aufgeschrieben. Kannst ja gerne die Schritte aufschreiben, wenn du möchtest, ansonsten gebe ich die Aufgabe auf. Das nervt mich jetzt nämlich auch so langsam aber sicher.

Die

-Terme kürzen sich bei mir z. B. schon deshalb nicht weg, weil ich sowas stehen habe:

Zur Übersicht nochmal:

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8412

Ist

Das ist

und das ist

Und fertig:

.... solche Umformungen sollten sitzen...

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8412

Es waere allerdings viel einfacher gewesen von vorneherein y=x/l zu benutzen. Dann ist

und

.

Robertus · Anmeldungsdatum: 13.06.2013 Beiträge: 12

Man, das ganze Problem an der Aufgabe war, dass auf dem Zettel angegeben ist:

Obwohl es eigentlich sein müsste:

Ist ja super nervig. Ich zweifle schon die ganze Zeit, ob ich keine stinknormalen Terme mehr umformen kann.

Danke nochmal für deine Mühe, jh8979.