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McClane
Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63
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 McClane Verfasst am: 21. Sep 2012 21:11 Titel: Dreidimensionaler Oszillator |
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Hallo,
ich habe das Potential  = \alpha r^2) gegeben und soll die Bewegungsgleichung eines Teilchen in dem Potential aufstellen bzw. lösen.
Anfangsbedingungen lauten:
=(1,0,0)
<br />
<br />
\vec{v}_0=(0,1,1))
Meine Bewegungsgleichung lautet:
In der Aufgabenstellung steht auch, dass eine spezielle Lösung angegeben werden soll. Meiner Meinung nach, handelt es sich um eine homogene DGL, welche keine spezielle Lösung liefert.
Wo ist mein Fehler? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2012 21:34 Titel: |
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Wie leitest du die Bewegungsgleichung ab? Der Potentialterm ist falsch
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Sep 2012 21:37 Titel: |
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Heiß es wirklich \alpha r^2 ? |
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McClane
Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63
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| McClane Verfasst am: 21. Sep 2012 21:49 Titel: |
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In der Aufgabe steht
Mit  komme ich auf die Kraft und damit auch auf meine Bewegungsgleichung. |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 21. Sep 2012 23:00 Titel: |
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Er will wohl die Kugelkoordinaten nutzen. Dann aber auch  in Kugelkoordinaten umrechnen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 22. Sep 2012 08:56 Titel: |
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Aber bei einem 3-dim. harmonischen Oszillator haben wir keine zu 1/r proportionale Kraft!
Was ist denn
Rechne das doch mal in lartesischen Koordinaten!!
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 22. Sep 2012 14:36 Titel: |
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Das stimmt natürlich, das ist Unsinn.
Mhh ok, ich glaube ich sehe, was da passiert ist. Das scheint so eine Mischung aus
und
zu sein, nämlich
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Sep 2012 14:45 Titel: |
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Wie wäre es mit der Lagrange-Gleichung (bei konstantem Drehimpuls)? |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 22. Sep 2012 15:07 Titel: |
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Für mich sieht es aufgrund der Anfangsbedingungen so aus, als solle man die Aufgabe in kartesischen Koordinaten lösen.
Aus dem Potential erhält man 3 ungekoppelte homogene DGL 2. Ordnung und die Anfangsbedingung r0 und v0 liefern jeweils 2 Bedingungen pro DGL.
Dh. man muss die DGLs eigentlich nur in kartesischen Koordinaten aufstellen, lösen und die Anfangsbedingungen einsetzen und man ist fertig. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Sep 2012 16:02 Titel: |
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Diese unabhängigen DGL würde ich gerne mal sehen.
Ansonsten bleibe ich bei dem Vorschlag: Drehimpulserhalt bei Zentralfeldern, also ebene Bewegung, also Polarkoordinaten & Lagrange 2. |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 22. Sep 2012 17:26 Titel: |
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Jetzt hast du mich aber auch kurz verunsichert 
Aber bitte sehr:
 = \alpha r^2 = \alpha (x^2 + y^2 + z^2))
 = - 2 \alpha \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = -2 \alpha r = m \ddot{r} )
daraus folgt dann die Vektorwertige DGL mit drei unabhängigen Komponenten:
Dh. jede Komponente ist ein harmonischer Oszillator, mit den Anfangsbedingungen erhält man dann auch die spezielle Lösung. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Sep 2012 19:17 Titel: |
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Danke für Berechnung! Ich war zusehr auf die allgemeinen Probleme der Bewegung in Zentralkraftfeldern fokussiert (Bahngleichungen, finite Bahnen u.ä.) und hatte diesen Spezialfall dabei überschätzt. Vielleicht läßt sich trotzdem noch was zur Bahnform des räumlichen Oszillators sagen? |
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McClane
Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63
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| McClane Verfasst am: 22. Sep 2012 22:15 Titel: |
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Vielen Dank für die Hilfe 
Aber wieso wird überhaupt eine spezielle Lösung benötigt, wenn es sich doch um eine homogene DGL handelt? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 23. Sep 2012 07:38 Titel: |
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Das "speziell" ist wohl nicht im Sinne inhomogener DGL, sondern physikalisch gemeint als ein konkretes Beispiel: Lineare Bewegung oder kreisförmige oder elliptische in der x-y-Ebene zum Beispiel. |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 23. Sep 2012 12:02 Titel: |
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| Zitat: | | Vielleicht läßt sich trotzdem noch was zur Bahnform des räumlichen Oszillators sagen? |
Das wäre interessant. Welche Möglichkeiten gibt es denn die Bahn zu untersuchen? Hauptachsentransformation zur Ellipsengleichung? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 23. Sep 2012 12:10 Titel: |
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Zunächst löst man die Bahngleichung in kartesischen Koordinaten über einen Ansatz mit sin und cos, anschließend muss man auf eine geeignete Weise zeigen, dass es sich dabei um eine Ellipsengleichung handelt (Darstellung über Koordinaten mit Ursprung im Mittelpunkt o. Brennpunkt)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 23. Sep 2012 14:06 Titel: |
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Oder man nimmt Polarkoordinaten (Drehimpuls z) und erhält eine zusammengesetzte Schwingung (Ellipse) gleicher Frequenz für x und y. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 23. Sep 2012 15:25 Titel: |
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Man muss aber immer zeigen, dass die Lösung im mathematischen Sinn eine Ellipse ist
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 23. Sep 2012 18:29 Titel: |
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Das stimmt zwar, meine Lust ist jedoch = 0. |
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McClane
Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63
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| McClane Verfasst am: 25. Sep 2012 23:03 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Das "speziell" ist wohl nicht im Sinne inhomogener DGL, sondern physikalisch gemeint als ein konkretes Beispiel: Lineare Bewegung oder kreisförmige oder elliptische in der x-y-Ebene zum Beispiel. |
Entschuldigung das ich erst jetzt antworte franz. Deine Antwort hat mir sehr geholfen. Vielen Dank! |
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