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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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 TruEnemy Verfasst am: 30. Mai 2012 00:54 Titel: Harmonischer Oszillator |
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Hallo,
Meine Frage:
Wir haben in der Vorlesung die normierten Energie-Eigenfunktion des HO hergeleitet:
^n \phi_{0}\;,\;n = 0, 1, 2, ... )
 = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) )
Zunächst sind 'nur' die Eigen-Funktionen ) und  ) explizit zu berechnen.
Mein Ansatz:
Für gilt  und somit ergibt sich zusammen mit oben der Gesamt-Ausdruck:
^1 \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right)
<br />
& = \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \hat{x} - \frac{i}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} \hat{p} \right) \left( \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) \right)
<br />
\end{split}
<br />
)
Im letzten Schritt verwendete ich die Definition von  : 
Wie ist denn nun weiter zu verfahren? Zunächst einfach mal ausmultiplizieren?  
Gruß.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Nerto
Anmeldungsdatum: 29.10.2009
Beiträge: 34
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| Nerto Verfasst am: 30. Mai 2012 01:24 Titel: |
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Ich würde mal die Orstdarstellung der Operatoren benutzen und dann ausrechnen. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 30. Mai 2012 10:10 Titel: |
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Stimmt, ich habe vergessen, die Operatoren einzusetzen. Somit folgt:
 \left( \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) \right) & = \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x - \frac{i}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} \left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \right) \right) \left( \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) \right)
<br />
& = \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x + \frac{\hbar}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} \frac{\partial}{\partial x} \right) \left( \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) \right)
<br />
& = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x\; \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) + \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 \hbar m \omega}} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right)
<br />
& = \left(\frac{m \omega}{2 \hbar}\right)^{1/2} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} x \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) + \left(\frac{\hbar^2}{2 \hbar m \omega}\right)^{1/2} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{\partial}{\partial x} \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right)
<br />
\end{split}
<br />
)
Ist das bisher richtig, sowohl von den Rechenschritten als auch von
der Vorgehensweise? Nicht, dass ich mich da blöd rechne und dann
ist es der falsche Weg ... die partielle Ableitung wirkt ja auf exp im
letzten Term, oder nicht?!
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 30. Mai 2012 17:30 Titel: |
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Will mir hierzu niemand ein Feedback geben? Wäre hilfreich!
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 30. Mai 2012 19:13 Titel: |
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Soweit ist alles in Ordnung. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 31. Mai 2012 21:14 Titel: |
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Danke! Ich mache mich dran und werde bald wieder schreiben, bin zur Zeit etwas im Stress.
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. Jun 2012 16:51 Titel: |
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Also wichtig bei der oben bereits hingeschriebenen Formel ist nur noch:
 = - \frac{m \omega}{2 \hbar} x \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) )
Danach ist es praktisch nur noch ein Jonglieren mit den Konstanten!?
Bei der eBerechnung von  ) geht man analog vor, wichtig dabei ist:
^2 = \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \hat{x} - \frac{i}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} \hat{p} \right)^2)
Ist das nun nach binomischer Formel zu berechnen? Falls Ja, folgt:
^2 = \frac{m \omega}{2 \hbar} \hat{x}^2 - 2 \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \hat{x} \frac{i}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} \hat{p} - \frac{1}{2 \hbar m \omega} \hat{p}^2)
Das ist ja enorm! Den zweiten Termn kann man noch vereinfachen:
Insgesamt erhält man also, nur für ^2) den fetten Ausdruck:
Kann man das noch weiter vereinfachen? Monentan sehe ich das nicht.
Ansonsten heißt es dann wieder: in die Formeln ganz oben einsetzen,
ableiten und mit den Konstanten jonglieren. Ich muss nur aufpassen,
dass ich die Ableitungen auch richtig setze. Die Operatoren sind ja
nicht kommutativ.
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Friedi
Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30
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| Friedi Verfasst am: 03. Jun 2012 18:39 Titel: |
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nein kann man nicht weiter vereinfachen. man multipliziert das ganze dann ja mit ) ...
kommt dann bei dir dann
=\varphi_0(x)\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{4m\omega x^2- \hbar}{2\hbar}
<br />
)
auch raus? und
=\varphi_0(x)\left(\frac{2m\omega}{\hbar}\right)^\frac{1}{2} x
<br />
)
???
grüße |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. Jun 2012 18:43 Titel: |
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Muss es noch ausrechnen, bitte um Geduld, ich schreibe es Dir/Euch dann  Hast Du schon mit der (b) begonnen?
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Friedi
Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30
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| Friedi Verfasst am: 03. Jun 2012 19:00 Titel: |
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ne. keine ahnung wie ich bei der b vorgehen soll... dumm wenn man immer so spät beginnt :-D |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. Jun 2012 19:14 Titel: |
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Man soll in der BraKet-Darstellung bleiben und für  und  die Darstellung mit  und  einsetzen.
Für ) habe ich bisher  \left( \left(\frac{m^3 \omega^3}{4 \hbar^3 \pi} \right)^{1/4} - \left(\frac{m^3 \omega^3}{64 \hbar^3 \pi} \right)^{1/4} \right) ) ???
Ich kann meinen Rechenweg gerne abfotografieren, vielleicht siehst Du meinen Fehler?
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Friedi
Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30
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| Friedi Verfasst am: 03. Jun 2012 19:34 Titel: |
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so schau mal und sag mir, ob du da zustimmst
Zuletzt bearbeitet von Friedi am 10. Jun 2012 14:25, insgesamt einmal bearbeitet |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. Jun 2012 20:36 Titel: |
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Ich glaube, dass wir beide Murx bei der Ableitung der e-Funktion gemacht haben:
 = - \frac{m \omega}{2 \hbar} 2 x \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) = -\frac{m \omega}{\hbar} x \exp \left(- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^2 \right) )
Das sollte richtig sein, oder? Du hast die e-Funktion folgendermaßen abgeleitet:
 = -\frac{m \omega}{\hbar} x \exp \left(- \frac{m \omega}{ \hbar} x^2 \right) )
Du hast die 2 im Argument der e-Funktion durchgestrichen, wieso? Ich hatte 2 vergessen.
EDIT: Bei Dir war es nur ein Schreibfehler, Du hast anscheinend richtig weitergerechnet.
Ich hingegen habe wirklich falsch abgeleitet, somit wird mein Abfotografiertes falsch sein.
Ich schau' mir nun mal den Fall für n = 2 an, bitte um Verständnis, dauert etwas länger 
EDIT 2: Aber das Vorzeichen von Deinem Impuls-Operator stimmt, glaube ich, trotzdem
nicht, das haben wir in der Vorlesung mit + angegeben. Trotzdem stimmt Deine Rechnung.
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Friedi
Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30
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| Friedi Verfasst am: 03. Jun 2012 22:22 Titel: |
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ooops die 2 gehört natürlich im exp(...) hin... mein fehler. aber sonst müsste es passen...
bzgl ortsoperator. keine ahnung was in der vorlesung angegeben wurde. im fließbach steht als ortsdarstellung des impulsoperators jedenfalls
hast du mir die seite vom skript vom breuer auf der die ortsdarstellung angegeben ist? dann könnte ich nachschauen.
danke |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. Jun 2012 22:36 Titel: |
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Skript, S. 36. Aber die Darstellung ist wahrscheinlich äquivalent,
denn ich bekomme bei beiden Funktionen das selbe raus wie Du.
Ich habe mich - warum auch immer - mit den Ableitungen verschickt.
Bist Du bei der (b) weitergekommen? Eventuell eröffne ich dazu
einen neuen Thread, denn die Übersichtlichkeit geht sonst verloren.
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Friedi
Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30
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| Friedi Verfasst am: 03. Jun 2012 22:37 Titel: |
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ja mach mal und zeig was du bisher überlegt hast. ich hab erst jetzt wieder zeit gefunden... sollten das aber noch hinbekommen... |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. Jun 2012 22:39 Titel: |
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Ich komme auch gerade erst dazu Ich eröffne einen neuen Thread ...
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Friedi
Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30
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| Friedi Verfasst am: 03. Jun 2012 22:39 Titel: |
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und die darstellungen sind äquivalent... |
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