Vektorrechnung Winkel ermitteln

Tom80 · Anmeldungsdatum: 14.10.2011 Beiträge: 5

Hallo an alle!
Zur folgenden Angabe hätte ich einige Fragen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Angabe:
Die Trajektorie eines Teilchens ist durch

gegeben. Bestimmen Sie die
Geschwindigkeit und die Beschleunigung als Funktion der Zeit. Nehmen Sie an, dass das
Teilchen in T=4 s eine volle Drehung in der (x,y)-Ebene vollendet. Welchen Betrag und
welche Richtung (Winkel bezüglich der z-Achse) haben die Geschwindigkeit und die
Beschleunigung nach t=1 s bzw. nach 4 s? (R=5 m)

Angefangen habe ich damit, die Vektorkomponenten x,y,z je zweimal abzuleiten um an die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Komponenten zu gelangen.
Die Beträge von Beschleunigung und Geschwindigkeit werde ich wohl über den Pyth. Lehrsatz berechnen.
Die Richtung der Beschleunigung und Geschwindigkeit kann ich berechnen indem ich die Vektorkomponenten einzeln mit t=1s bzw. t=4s berechne oder?

Wie aber kann ich die Winkel bezüglich der Z-Achse für die Beschleunigung und die Geschwindigkeit berechnen?

Ich danke euch für eure Beiträge.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18198

Also zunächst

Die Beträge werden - wie du richtig sagst - über den Satz des Pythagoras berechnet.

Für den zwischen zwei Vektoren a und b eingeschlossenen Winkel \alpha gilt

d.h. du dividierst das Skalarprodukt der Vektoren durch deren Beträge

Tom80 · Anmeldungsdatum: 14.10.2011 Beiträge: 5

Ich glaube ich hab da noch einen Denkfehler:
Die erste Ableitung ergibt:

Die zweite Ableitung ergibt:

Soweit so gut.
Die Richtung der Vektoren erhalte ich nun über einsetzen:
Beispiel:

Beispiel:

Die jeweiligen Beträge sind nun: a(1s)= 15,8 m/s²
v(1s)= 12,6 m/s

Jetzt möchte ich den Winkel zur Z - Achse ausrechnen. Jetzt ist mir nicht ganz klar, was ich in die genannte Formel einsetzen soll. Beim Benutzen der Formel rechne ich ja den Winkel zwischen 2 Vektoren aus. Da ich der Beschleunigung zum Zeitpunkt (1s bzw. 4s), und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt (1s bzw. 4s) je einen Winkel zuordnen muss, ich aber nur einen Vektor zum Rechnen zur Verfügung habe, weiß ich nicht wie ich diese Formel anwenden soll. Habe ich da einen Denkfehler oder verstehe ich die Angabe nicht richtig?
Vielen Dank für die Hilfe.

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

Hey !

1. Was soll diese 'blödsinnige' Rechnerei mit Zahlenwerten ! Man rechnet zunächst allgemein bzw. nur mit

!

2. Welchen Richtungsvektor hat denn die z-Achse ?

Tom80 · Anmeldungsdatum: 14.10.2011 Beiträge: 5

Jetzt hab ich es verstanden. Die Lösung war so nahe. Vielen Dank!

Qohelet · Anmeldungsdatum: 20.10.2011 Beiträge: 2

@Tom:

Ich glaube, wir besuchen dieselbe Uni...
Hab alles durchgerechnet, das Ergebnis sollte stimmen, nur bin ich mir wegen der Winkel unsicher

http://hphotos-iad1.fbcdn.net/hphotos-ash4/286789_303150296368684_100000211489318_1406140_1710158678_o.jpg

Qohelet · Anmeldungsdatum: 20.10.2011 Beiträge: 2

So, hab einen Fehler bemerkt...

Die Lösungen bei den Winkeln sind hier falsch.
Richtig müsste das lauten:
141,26°
168,52°
144,29°

Für alle, die so blöd wie ich sind: Das Ergebnis tippt man für Grad (NICHT Radian) bei cos⁻¹ ein...

Dacht ich mir doch, dass da was nicht stimmt...