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Muffinquark
Anmeldungsdatum: 02.09.2011
Beiträge: 21
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 Muffinquark Verfasst am: 02. Sep 2011 21:20 Titel: Bohrsche Quantisierungsvorschrift beim harm. Oszillator |
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Hallo liebe Physiker,
Ich bereite mich gerade auf eine Staatsexamensprüfung in Theoretischer Physik vor. Ein mögliches Thema wäre, die Eigenschaften des Harmonischen Oszillators (1 dimensional) einmal mit Hilfe der stationären Schrödingergleichung und einmal (vergleichend) mit der Bohrschen Quantisierungsvorschrift herzuleiten.
Die stationäre Schrödinger-Glg. haben wir ausführlich durchgekaut, d.h. mit konfluenter hypergeom. Differentialgleichung bzw. genauer mit Hermiteschen Polynomen gelöst und somit die Energieeigenfunktionen des Oszillators hergeleitet. Dabei kommt man natürlich auch auf die Quantelung der Energie über die Abbruchbedingung der hypergeom. konfluenten Funktionen: (E = \omega (n + \frac{1}{2} ))
Die gute Nachricht ist: Das habe ich alles gerafft. Ich habe es nur aufgeschrieben, falls darauf Bezug genommen werden muss und falls es eine tolle Beziehung zwischen dieser analytischen Herleitung und der Bohrschen Quantisierung gibt 
Worüber ich gerne noch mehr erzählen können würde, ist die Bohrsche Quantisierungsvorschrift .
Wir haben diese Quantisierung schon in einer Übungsaufgabe benutzt
ich habe die Lösung der Vollständigkeit halber aufgeschrieben, sie ist nicht unbedingt nötig, um meine Frage zu beantworten.
Dazu war die "Bohrsche Quantisierungsbedingung" h) vorgegeben (unter diesem Namen). Bei dem Integral handelt es sich natürlich um das Kreisintegral über p; ich konnte das nur leider nicht als Formel darstellen h ist die Planck'sche Konstante.
Ich habe als Ansatz den maximalen Impuls bestimmt zu  und entsprechend x_max =  (aus der Energieerhaltung mit potentieller und kinetischer Energie in dem Oszillator; E Gesamtenergie).
Wenn man nun die Bewegung in der Impuls-Ort-Phasenebene zeichnet, kriegt man eine Ellipse, bei der man bei x = 0 den maximalen Impuls hat und bei x_max den Impuls p = 0. Soweit so gut. Das gesuchte Integral über den Impuls ist dann die Fläche dieser Ellipse. Ich habe nun eine Halbachse p_max und die andere entspricht x_max. Dann habe ich benutzt, dass sich die Ellipsenfläche dann zu A =  berechnet. Das habe ich mit dem Integral über den Impuls bzw. mit der Quantisierungsvorschrift h(n+1/2) gleichgesetzt, wenn man dann p_max und x_max einsetzt und nach der Gesamtenergie E auflöst, kommt - oh Wunder - genau die gleiche Energie-Quantisierungsvorschrift raus wie über die Schrödinger-Gleichung.
Meine Frage:
Woher kommt diese Vorschrift von Bohr überhaupt? Ich weiß, dass es sich wohl um die zweite Bohr-Sommerfeld-Quantisierung handelt. Der Faktor 1/2 ist dabei, wenn ich es richtig verstanden habe, ein durch Näherungen berechenbarer Faktor, der speziell für den harm. Oszillator 1/2 ist (damit eine von Null verschiedene Nullpunktsenergie rauskommt).
Was ich aber nicht herausgefunden habe, ist, wie man auf diese Quantisierung des Impulses kam. War das ein Postulat (d.h. es kommt zwar das richtige raus, aber es war im Grunde willkürlich festgelegt wie Bohrs Quantisierungsvorschriften in seinem Atommodell)? Oder kam man durch Experimente oder Berechnungen darauf?
Soll die Fragestellung darauf abzielen, dass hier quasi in der "alten" Quantenphysik "willkürlich" postuliert wurde, in der "modernen" Rechnung, die die Schrödingergleichung verwendet, hingegen mehr oder minder "exakt" berechnet wurde? Fallen euch noch andere entscheidende Unterschiede ein? Außer dass der Bohr-Beweis eine halbe Seite und der andere vollständige Beweis mehr als sechs Seiten füllt
Ich freue mich natürlich auch über Links zum Thema, denn ich habe trotz Onlinerecherche nichts gefunden, was meine Frage eindeutig beantwortet hätte. Es fehlt mir halt noch ein bisschen der qualitative Vergleich zwischen beiden Herleitungsmethoden.
Vielen Dank für's durchlesen und danke schon mal für alle Antworten! |
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Muffinquark
Anmeldungsdatum: 02.09.2011
Beiträge: 21
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| Muffinquark Verfasst am: 02. Sep 2011 21:26 Titel: P.S.: Kummer Differentialgleichung |
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Ach ja, noch ein P.S. zur Herleitung über die Schrödinger-Gleichung:
Ist die Kummersche Differentialgleichung dasselbe wie die konfluente hypergeometrische DGL?  Im Skript steht, es handele sich um einen "Spezialfall" derselbigen, aber meiner Meinung und Lehrbuchlektüre denke ich eher, dass Kummer-DGL = konfluente hypergeometrische DGL = Spezialfall der hypergeometrischen DGL ist...
Ich hoffe, irgendjemand hier weiß, wovon ich rede und am besten noch die Antwort  |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 02. Sep 2011 21:59 Titel: |
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Nur mal zu der Berechnung mittels der Bohrsche Quantisierungsvorschrift. Das geht ein bisschen kompakter:
Bekannt ist:
 = x_0 \sin(\omega t))
 = - x_0 \omega \cos(\omega t))
somit
Nun zur Quantisierung:
 &=& \int p \,\dd x = m \int \dot x^2\,\dd t =m x^2_0 \omega^2 \int_0^T\sin^2(\omega t)\, \dd t = \pi m x^2_0 \omega \\&=& 2\pi \frac{E}{\omega} )
Also
)
Und die quantenmechanische Herleitung ist mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren doch wesentlich schöner, als über die Differentialgleichung. |
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Muffinquark
Anmeldungsdatum: 02.09.2011
Beiträge: 21
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| Muffinquark Verfasst am: 02. Sep 2011 22:32 Titel: |
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Danke. So geht's natürlich auch, ist in der Tat eleganter (wir sollten aber die Phasenebene benutzen, daher über die Ellipse).
Zu den Aufsteige- und Vernichtungsoperatoren: die haben wir auch gemacht. Wenn man allerdings nicht als bekannt voraussetzt, dass sie tatsächliche die nächsthöhere bzw. niedrigere Eigenfunktion liefern, ist der Beweis aber ungefähr genauso lang und abartig Wenn man sie aber schon kennt, ist die Energiequantisierung natürlich sehr schnell hergeleitet. Wäre sicher gut, dass dann als Alternative anzugeben, danke für den Hinweis! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 03. Sep 2011 08:29 Titel: |
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Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung wurde m.W.n. für das Wasserstoffatom entwickelt, denn nur dafür konnte man a) einfach rechnen und b) nur dafür war auch das Spektrum bekannt. Ein eindimensionaler harmonischer Oszillator ist in der Natur ja so nicht anzutreffen. Im Falle des Wasserstoffatoms wird immer argumentiert, dass es sich um eine Stationaritätsbedingung der deBroglieschen Materiewellen entlang einer "Bahn" handelt, d.h. also konstruktive Interferenz. Ich weiß nicht, ob dir das weiterhilft.
Dann könntest du mal hier nachlesen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_model#Refinements
http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr%E2%80%93Sommerfeld_theory#One_dimensional_potential
Hier wird recht anschaulich die Quantisierung der Wirkung in einem Potential mit Umkehrpunkten bechrieben. Letztlich ist es eine Annahme; die alte Quantentheorie konnte damit einige einfache Modelle erfolgreich lösen, was letztlich daran liegt, dass aus der Quantenmechanik eben diese Gleichung im Rahmen der WKB-Approximation folgt.
Zur Herleitung der Quantisierung der Energie mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren: das ist mit Abstand die elegansteste und kürzeste Herleitung (wenn man es richtig macht), da sie rein algebraisch funktioniert (!) und man ohne die Berechnung einer Wellenfunktion auskommt. Eine ähnliche Herleitung funktioniert übrigens interessanterweise ebenfalls für das Wasserstoffatom bzw. allgemein das 1/r Potential in drei Dimensionen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Muffinquark
Anmeldungsdatum: 02.09.2011
Beiträge: 21
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| Muffinquark Verfasst am: 04. Sep 2011 18:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im Falle des Wasserstoffatoms wird immer argumentiert, dass es sich um eine Stationaritätsbedingung der deBroglieschen Materiewellen entlang einer "Bahn" handelt, d.h. also konstruktive Interferenz. Ich weiß nicht, ob dir das weiterhilft. |
Doch, das wusste ich sogar. Man hat also gewissermaßen diese Bedingung einfach auch in die anderen Probleme übernommen?
| Zitat: | | Zur Herleitung der Quantisierung der Energie mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren: das ist mit Abstand die elegansteste und kürzeste Herleitung (wenn man es richtig macht), da sie rein algebraisch funktioniert (!) und man ohne die Berechnung einer Wellenfunktion auskommt. Eine ähnliche Herleitung funktioniert übrigens interessanterweise ebenfalls für das Wasserstoffatom bzw. allgemein das 1/r Potential in drei Dimensionen. |
Das ist doch die (gekürzt)
H = h/2  (z²-d²/dz²) = h/2 ( ) = h/2(1/2 n)
oder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 04. Sep 2011 22:43 Titel: |
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ja, sowie die Herleitung des Energiespektrums
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Muffinquark
Anmeldungsdatum: 02.09.2011
Beiträge: 21
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| Muffinquark Verfasst am: 05. Sep 2011 14:47 Titel: |
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Danke! |
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