DGL 2 Ordnung in einem RLC-Kreis Randbedingungen bestimmen

123chris · Gast

Hallo,
Ich habe die Frage auch schon ins matheforum gestellt und da wurde ich darauf hingewiesen da sie hier besser aufgehoben sei. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Es geht um eine DGL 2.ordnung in einem RLC-Serienschwingkeis.
Dabei wurde ein Kondensator auf 990uF aufgeladen und entläd sich für t=100us über eine Spule mit der Induktivität 89uH. Als ohmsche widerstände habe ich den Kupferwiderstand der spule, sowie vom Aufbau, der Freilaufdiode und vom Modul als 65mOhm angenommen. (Modul ist ein IGBT den ich als schalter benutze)

Mit der DGL hatte ich zunächst keine Probleme und bin wie folgt vorgegangen:
1. Maschengleichung aufstellen und nach d²i/dt² umstellen
Meine Maschengleichung lautet
2.Lösungsansatz habe ich mir gedacht könnte sein, da ich einen SChwingkreis habe und dieser mit einem sinus beschrieben werden kann.
3. DGl vereinfachen: ich definiere und um auf eine schön einfache pq-formel rückgreifen zu können
4. Mit dem Lösungsansatz und den Vereinfachungen komme ich auf:

5. Randbedingungen aufstellen um die Koeffizienten zu bestimmen:
ALs erste Randbedingung nehme ich . Dies gilt da zum zeitpunkt t =0 noch kein Strom geflossen ist. Für die zweite Randbedingung wollte ich nehmen da dies die Spannung ist mit der der Kondensator aufgeladen wurde.

1. Frage: Sind die Randbedingungen so richtig?Kann man das so machen oder muss ich als weitere Randbedingung die Ableitung nehmen. Denn hier weiss ich nicht was ich ansetzen soll. Da ich den Schalter zum zeitpunkt t=0 schließe habe ich eine Unstetigkeit und somit ist di/dt(t=0) zumindestens ungleich 0. Ich habe aber keinen Wert dafür.

2. Frage: Sind meine Vorzeichen richtig? Wenn ich die Maschengleichung nach dem Strom oder nach der Spannung umstelle kommt das gleiche raus (Außer das U wird durch I ersetzt bzw umgekehrt). Ich müßte doch zumindestens ein Vorzeichenwechsel oder unterschiedliche Koeffizienten (L,R,C) herausbekommen?
Meine Maschengleichung lautet mit den Bauelementegleichungen bekomme ich einerseits auf

bzw eben auf

Ich dachte außerdem noch dass gilt das i_r=i_c=-i_L sein müßte. Sicher bin ich mir hier aber nicht. Dagegen spricht das die Spule zunächst mal keine Quelle ist und der strom die gleiche stromichtung wie für Kondensator und Widerstand haben sollte. Dafür spricht quasi dass ich mir das aus der Vorlesung falsch gemerkt habe.

Des Weiteren bekomme ich für meine gemessenen Werte heraus dass ist womit ich wie gewünscht komplexe Zahlen durch die Wurzel bekomme und mich im Schwingfall befinde.
Wikiepedia liefert dazu
[1]=

"In Schulliteratur ist ebenfalls der Begriff „Selbstinduktionsspannung“ mit der Bezeichnung [1] geläufig. Das zugrundeliegende Modell ist jedoch nicht die Netzwerktheorie, sondern die allgemeiner gefasste Feldtheorie" was mir nicht hilft sonder mich eher verwirrt.

Spiele ich jetzt mit dem Vorzeichen rum, wechsel ich vom Schwing- in den Kriechfall was meiner Meinung falsch sein sollte.

6. Nach der ersten Randbedingung folgt für den Lösungsansatz an der stelle t=0 dass gilt. Für die zweite Randbedingung habe ich:
da an der stelle t=0 die Spannung über den Kondensator auch an der Spule anliegt.
Eingesetzt bekomme ich:

3.Frage: Wenn ich jetzt versuche I(t) zu plotten bekomme ich eine exponentiell steigende Funktion die ins unendliche läuft.(mit U0=600V) Ich muss aber eine exponentielle funktion erhalten die gegen einen gewissen wert strebt.
Wo ist hier der Fehler?

Wenn gewünscht kann ich Bilder vom aufbau nachliefern. Das würde aber dauern da ich sie erst noch anfertigen muss.

Ich hoffe ich habe alles verständlich und detailiert erklärt und vielleicht hat einer Antwort auf meine Fragen.
Vielen Dank
chris