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Normierungskonstante bestimmen
 
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 04. Mai 2012 07:32    Titel: Normierungskonstante bestimmen Antworten mit Zitat

Hallo,

Meine Frage:

ich habe (zunächst) folgende Teil-Aufgabe zu lösen:
http://s14.directupload.net/images/120501/iltt78ci.png


Meine Idee:

Ich habe zunächst das Betrags-Quadrat der Wellen-
funktion ausgerechnet: da der komplexe Anteil gleich
0 ist, kann ich sie einfach quadrieren. Ich bin mir
aber nicht sicher, ob der Ausdruck so richtig ist:
http://s14.directupload.net/images/120503/xxqrftjt.jpg
Ich wüsste nicht, wie ich ihn weiter auflösen kann?

Nun habe ich das Integral über den gesamten Raum
vom erhaltenen Ausdruck ausgerechnet (was ich später
gleich 1 setzen werde, um bestimmen zu können):
zunächst splittete ich das Integral, klammerte etwas aus,
definierte mir die Exponenten gemäß dem Foto:
http://s14.directupload.net/images/120503/jbojerdy.jpg
Nun bereiten mir die Ableitungen der Betas Probleme -
' bedeutet in diesem Zusammenhang Ableitung nach x.
Über das wird in der Aufgabe nichts gesagt,
ich nehme daher an, dass ich es einfach wie eine
Konstante zu behandeln habe, richtig? Hilfe wäre toll![/b]
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 04. Mai 2012 08:57    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast richtig quadriert (wo bei du den Exponenten im mittleren Term noch zusammenfassen kannst), allerdings sind die Integrale falsch ausgewertet. Das Integral und damit die Größe N kann nicht mehr von x abhängig sein und ist daher eine Zahl/Konstante. Die drei Integral die du lösen musst sind Gaußintegrale (http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral).
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13529

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Mai 2012 09:35    Titel: Antworten mit Zitat

schau mal hier: http://integrals.wolfram.com/index.jsp
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 04. Mai 2012 12:31    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

pressure hat Folgendes geschrieben:
... den Exponenten zusammenfassen ...


Gestatte mir die Frage: Wie?

Zitat:
Das Integral ... ist ... eine Zahl.


OK, hört sich soweit logisch an.
Das hätte ich berücksichtigen
müssen, sry. Aber irre ich denn
wirklich, wenn ich den letzten
Ausdruck (Foto/Link 2) hinschreibe?
Stimmt es denn nicht, dass die Stamm
-Ftk. einer e-Ftk. gegeben ist durch



? Wo liegt der Denkfehler??

Zitat:
Die drei Integrale ... sind Gaußintegrale.


Danke. Nun weiß ich also , dass



ist. Das bedeutet wohl, dass meine
von verschiedenen Expo-
nenten einfach ein entsprechend
anderes Ergebnis mit liefern.
Nur muss ich das noch nachschauen -.-
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13529

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Mai 2012 13:57    Titel: Antworten mit Zitat

Der Trick zur Auswertung gaußscher Exponenten ist immer der selbe:
- quadratische Ergänzen und binomische Formel im Exponenten anwenden
- den Exponenten geeignet reskalieren und verschieben, also eine Variablentransformation

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 04. Mai 2012 15:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

vielen Dank. Das habe ich soeben gemacht.
Aber leider kommt schon bei der quadratischen
Ergänzung irgendwie totaler Mist raus Hammer

Gruß.

EDIT:

Könnte folgende die Lösung sein, zumindest
für den Exponent des ersten Gauß-Integrals?

TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13529

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Mai 2012 16:48    Titel: Antworten mit Zitat

Soweit OK

Hier eine Übersicht über Gaußsche Integrale und Verwandte

http://en.wikipedia.org/wiki/Common_integrals_in_quantum_field_theory#Slight_generalization_of_the_gaussian_integral

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 04. Mai 2012 23:15    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

das erste Integral stimmt also?
Dann wird das zweite wohl lauten:



Nun kommt das 'schwerste' dran.
In wie weit kann ich den Exponenten
da noch vereinfachen? Iwie bin ich
diesbezüglich zur Zeit blind ... sehe
es nicht, auch nach längerem Grübeln.
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 05. Mai 2012 09:12    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist überhaupt nicht das schwerste, eher sogar einfacher, wenn man ein bisschen umformt:



Kommst du nun drauf?
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Mai 2012 13:40    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

und Danke! Schwerer als die anderen beiden, finde ich, ist es schon, denn:
ich habe die Umformbarkeit des Exponenten eben nicht erkannt, leider!



Was war da nun der Trick dabei? Das Integral müssten dann also lauten:



Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 05. Mai 2012 22:49, insgesamt einmal bearbeitet
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 05. Mai 2012 18:03    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden Thumbs up!
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Mai 2012 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

Prost Lehrer Dann haben wir nun folgendes:



Woraus sich äquivalent das hier ergibt:



Wenn ich nun den Erwartungswert



berechnen will, erhalte ich folglich:





Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 06. Mai 2012 12:28, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 12:25    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, sollte ich dazu einen neuen Thread eröffnen?
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 17:02    Titel: Antworten mit Zitat

Bei mir kommt für den Erwartungswert 0 raus. Kann mir jemand sagen, ob das Sinn macht?

Man rechnet doch



da die drei Integrale nach Gauß da
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 17:07    Titel: Antworten mit Zitat

Wie kommst du darauf, dass



? Wir hatten doch raus, dass




Für das Betrags-Quadrat der WF galt:



1. Klammer: Normierungskonstante,
2. Klammer: Zusammengefasste,
ausgewertete Gauß-Integrale


Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 06. Mai 2012 17:13, insgesamt einmal bearbeitet
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 17:12    Titel: Antworten mit Zitat

ja es ist

Aber wenn man den Erwartungswert ausrechnet muss man ja

ausrechen und das führt dann, soweit ich das richtig gerechnet habe, zu drei Integralen der Form

und das ist 0 (man beachte das x!)


Zuletzt bearbeitet von Friedi am 06. Mai 2012 17:24, insgesamt 2-mal bearbeitet
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 17:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe halt einfach das Betrags-Quadrat der WF mit eingesetzter
Normierungskonstante in die Formel des Erwartungswertes eingesetzt.
Das Betrags-Quadrat war ja im weitesten Sinne nur eine Konstante,
welche ich aus dem Integral rausziehen kann und somit wäre geblieben:



Meine Überlegung kann aber selbstverständlich auch totaler Käse sein ...
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

Aber hängt doch immernoch von x ab, da kannst du es doch nicht einfach aus dem integral rausziehen?!? oder übersehe ich da grad was?
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 17:31    Titel: Antworten mit Zitat

Ich ziehe ja nicht aus dem Integral, sondern das Betrags-Quadrat .
Und das hängt offensichtlich nicht mehr vom x ab, sondern nur von und , sind aber
beides nur Konstanten. Das kann aber, wie gesagt, totaler Blödsinn sein, ich warte auf
eine Antwort von den etwas bewandteren Usern Augenzwinkern
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

Nun


wenn man auf das nun

anwendet, kommt aber bei mir nicht raus, dass man da irgendwie was rausziehen kann. jedenfalls nicht mehr als N^2, und auf keine fall was ich nicht ausschreiben will.
weiter geht die rechnung bei meinem ersten beitrag... ich weiß nicht, wo ich den fehler mache... kannst du mir helfen?
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

nunja ich hoffe auch, dass sich bald einer mit ein wenig mehr ahnung noch melden wird ...
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 17:58    Titel: Antworten mit Zitat

Sry, ich habe das Ergebnis von mit dem von verwechselt.
Ich schaue es mir nun noch mal genauer an, aber es sieht wohl so aus, als dass du recht hast ...
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 18:02    Titel: Antworten mit Zitat

ok... wie weit bist du denn sonst so mit dem übungsblatt?
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 18:06    Titel: Antworten mit Zitat

Prost Nicht sehr weit, bisher nur das, was hier besprochen wurde :/
Aber wenn ich nun noch die Varianz und die Fourier-Transf. hinbekomme,
habe ich schon mal mehr als 50% Augenzwinkern
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 18:51    Titel: Antworten mit Zitat

also bei mir kommt

raus. kannst du das oder jemand anders bestätigen?
Die Varianz ist dann
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ich muss erst nochmal nachhaken,sry: Woher hast du, dass

TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 19:35    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich habe für die Varianz was anderes raus:
Zentral dabei ist ja die Berechnung des Ausdrucks:



Nach viel BlaBla sucht man die Lösung für:

bzw.

Laut dieser Liste: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions
ist das dann und somit komme ich auf:



Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 06. Mai 2012 19:39, insgesamt einmal bearbeitet
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 19:36    Titel: Antworten mit Zitat


ist ja auch punktsymmetrisch im ursprung
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 19:42    Titel: Antworten mit Zitat

das ist ja gerade

...
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 20:05    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, stimmt, war wieder zu voreilig und unbedacht Hammer Prost
Bist du schon bei der Fourier-Transformation?
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 21:06    Titel: Antworten mit Zitat

hmm hab grad erstmal futter gefasst smile jetzt mal schauen wegen der fouriertransformierten. hast du schon was? und hast den rechenweg für die ersten zwei momente rausbekommen? ich kanns auch noch posten wenn magst.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 21:21    Titel: Antworten mit Zitat

Hoffe, es mundete Augenzwinkern Ich hab bisher nur die Formel aufgeschrieben,
und alles eingesetzt, bisschen umgeformt, sonst nichts.

Den Rechenweg für die Momente habe ich bereits, vielen Dank smile
Ich denke, du meinst damit und bzw. .
Friedi



Anmeldungsdatum: 06.05.2012
Beiträge: 30

Beitrag Friedi Verfasst am: 06. Mai 2012 21:38    Titel: Antworten mit Zitat

ja genau das meinte ich mit die momente...


würde gerne das aus der vorlesung nehmen, aber blicks grad nicht. das war



oder kann man den exponenten irgendwie jeweils gewinnbringend umformen?
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2012 21:47    Titel: Antworten mit Zitat

HaHa, genau an selbiger Stelle bin ich auch und am Grübeln grübelnd
Vll kann einer helfen?? Bestimmt ist dem so, nur wie, seh's grad nicht.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Mai 2012 00:48    Titel: Antworten mit Zitat

Eventuell kommt man damit weiter:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions

5. Integral unter bestimmte Integrale

http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_a_Gaussian_function

oder das hier ... explizit meine ich:



Verwenden wir das, erhalten wir:



Ist das soweit nachvollziehbar?

EDIT:

Man muss wohl setzen,
und erhält somit was anderes
wie fälschlicherweise angegeben:

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