Harmonischer Oszillator

LeuchtGnu · Anmeldungsdatum: 23.10.2009 Beiträge: 24

Moin

Muss hier eine DGL für den harm. Oszillator lösen:

undzwar mit dem folgenden Ansatz:

wobei A und Lambda komplexe Zahlen sind.
Es sind nun A und Lambda zu bestimmen..
Wie gehe ich da ran. Habe den Ansatz erst einmal eingesetzt und kriege dann eine relativ nichtssagende Gleichung heraus. Ich muss ja eigtl 4 Größen bestimmen, jeweils die Real und Imaginärteile.. Kann mir jmd einen Tip geben?

Gruß Gnu

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

wie sieht deine Bedingung denn aus, nachdem du sie in die DG eingesetzt hast?

LeuchtGnu · Anmeldungsdatum: 23.10.2009 Beiträge: 24

moin,
also ich habe

und

geschrieben.

Dann habe ich den Ansatz in die DGL eingesetzt und komme zu folgender Gleichung:

An dieser Stelle weiß ich nicht mehr wie es weiter gehen soll..
gruß gnu

Braino · Anmeldungsdatum: 23.11.2006 Beiträge: 57 Wohnort: Aachen

Zunächst ein Tipp vorweg: Die kartesische Darstellung ist für solche Aufgaben meistens eher ungeeignet, benutz doch lieber die eulersche Darstellung, damit hat man weniger Fummelei... Augenzwinkern

Zu deinem Problem: Du wirst so nur deinen Parameter Lambda bestimmen können. Für A musst du deine Anfangsbedingungen bemühen, wenn zum Beispiel z(0) bekannt ist, kannst du Re(A) bestimmen und Im(A) folgt dann z. B. aus z'(0).
Zur Bestimmung von Lambda: Hilft es dir weiter, wenn du weißt, dass

und

linear unabhängig sind, dass also aus

folgt

?

LeuchtGnu · Anmeldungsdatum: 23.10.2009 Beiträge: 24

moin
gilt das auch wenn a und b komplexe zahlen sind?

gruß gnu

Braino · Anmeldungsdatum: 23.11.2006 Beiträge: 57 Wohnort: Aachen

Ja, da deine Gleichung für alle Zeiten t gelten muss.

LeuchtGnu · Anmeldungsdatum: 23.10.2009 Beiträge: 24

okay, ich finde das zwar alles hoch dubios, aber habe nun folgende Lösung:
EDIT

, hat also keinen Realteil..
A kann einen beliebigen Wert annehmen, für das berechnete Lambda ist die DGL immer erfüllt.
Für den Fall A=0 kann Lambda allerdings auch jeden beliebigen Wert annehmen.
Kann ich A als Amplitude der Schwingung verstehen und macht die Lösung irgendwie sinn?

gruß gnu

Braino · Anmeldungsdatum: 23.11.2006 Beiträge: 57 Wohnort: Aachen

Wüsste jetzt nicht, wo die Wurzel 2 herkommen könnte, bei mir ist einfach

. A kann null sein, aber das ist die triviale Lösung. Die gibt es immer bei homogenen DGLs, interessiert aber nicht.

Ja, A bestimmt dir die Amplitude. Vielleicht verstehst du die Lösung besser, wenn du mal die eulersche Identität auf

anwendest und

setzt. Das was rauskommt, könnte dir dann bekannt vorkommen... Augenzwinkern

Ansonsten: Wenn was dubios ist, einfach fragen. ^^