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Julia2710
Anmeldungsdatum: 28.04.2009
Beiträge: 11
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 Julia2710 Verfasst am: 28. Apr 2009 11:16 Titel: DGL harmonischer Oszillator |
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Hallo,
habe eine Aufgabe aus der theoretischen Physik, aber dafür gibt es kein eigenes Thema, deshalb versuch ich es hier. Es geht um die DGL des gedämpften harmonischen Oszillators, ich habe auch den Eintrag kurz vor meinem über dasselbe Thema gelesen... Hilft mir nur irgendwie nicht. Ausserdem hab ich noch nie mit Latex geschrieben und hoffe, man kann meine Gleichung irgendwie lesen:
=-\gamma\dot{x}(t)-kx(t)+Ae^{rt})
mit Masse m, Dämpfungskonstante Gamma, Federkonstante k und externer Kraft =Ae^{rt})
Die Aufgabe:
Bestimmen Sie die allgemeine reellwertige Lösung für alle möglichen reellen Parameterwerte m, Gamma, k, A, r (ausser m=0).
Meine Frage:
Was zum Himmel wollen die von mir? Soll ich die DGL lösen, also x(t) angeben? Aber was heißt das "für alle möglichen reellen Parameter"? Und wie geh ich an so eine Aufgabe ran? Bitte helft mir! Bin für alle Tipps und Ansätze dankbar!
Viele Grüße, Julia |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 28. Apr 2009 12:15 Titel: |
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Hallo, anfangen musst du erstmal damit eine DGL aufzustellen. Das geht bei der gedämpften Schwingung wie folgt:
 = -kx - m \gamma \dot{x})
Aus dem 2. Newtonschen Axiom folgert man:
 = -kx - m\gamma \dot{x})
Kannst du jetzt diese DGL in eine geeignete Form bringen, um sie später zu lösen? Was weißt du denn schon darüber? Hattet ihr schon ein paar Beispiele zu DGL? |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 28. Apr 2009 12:33 Titel: |
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Also irgendwie spinnt die Latex Darstellung heute.
Ich sehe grad dass du noch eine externe Kraft hast.
Diese musst du mit in die DGL einbringen. So wie du es schon oben geschrieben hast. Jedoch fehlt dir einmal die Masse.
Du musst die Gleichung jetzt in folgende Form bringen (lineare homogene DGL 2. Ordnung). Also:
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 28. Apr 2009 14:06 Titel: |
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@stereo: Wenn Du noch ein paar mal neu lädst, siehst Du, dass sie auch schon die DGL da steht hat und dass noch Reibung mit dabei ist.
Ich weiß nicht, bis wann es wieder reibungslos funktioniert.
Gruß
Marco |
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bottom
Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 28. Apr 2009 15:15 Titel: Re: DGL harmonischer Oszillator |
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| Julia2710 hat Folgendes geschrieben: |
Die Aufgabe:
Bestimmen Sie die allgemeine reellwertige Lösung für alle möglichen reellen Parameterwerte m, Gamma, k, A, r (ausser m=0).
Meine Frage:
Was zum Himmel wollen die von mir? Soll ich die DGL lösen, also x(t) angeben? Aber was heißt das "für alle möglichen reellen Parameter"? Und wie geh ich an so eine Aufgabe ran? Bitte helft mir! Bin für alle Tipps und Ansätze dankbar!
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also ich würde dass so auffassen, dass du x(t) in abhängigkeit von den parametern angeben sollst.
der allgemeine lösungsansatz wäre hier dann folgender:
=ce^{\lambda t})
wenn du das und die jeweiligen ableitungen in die dgl einsetzt, müsstest du eine quadratische gleichung erhalten. die nach lambda auflösen und in den obigen absatz die lösungen einsetzen. dann hast du schonmal die allgemeine lösungen.
abhängig von den ramenbedingungen (schwache/ starke dämpfung, aperiodischer grenzfall) kannst du dann noch die konstanten bestimmen und kommst damit auf die lösungen für die jeweiligen fälle.
ich hoffe dass hilft erstmal.
gruß bottom
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Julia2710
Anmeldungsdatum: 28.04.2009
Beiträge: 11
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| Julia2710 Verfasst am: 02. Mai 2009 16:15 Titel: |
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Habe das jetzt gemacht (also abgelitten und eingesetzt). Problem: Ist das r in meiner externen Kraft zufällig das gleiche wie das lamba??? dann könnte man das ganz nett zusammenziehen...?!?!? |
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Julia2710
Anmeldungsdatum: 28.04.2009
Beiträge: 11
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| Julia2710 Verfasst am: 02. Mai 2009 16:39 Titel: |
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bzw. ich habe ja folgende gleichung:
+\gamma\dot{x}(t)+kx(t)-Ae^{rt}=0)
jetzt habe ich die ableitungen gebildet:
=c\lambda e^{\lambda t})
=c\lambda^2e^{\lambda t})
beim einsetzen bekomme ich also:
-Ae^{rt}=0)
so, was mach ich damit jetzt? da ich ja ein mal das lambda und einmal das r hab weiß ich nicht, wie ich das gleich 0 setzen soll mit der quadratischen gleichung...?!? |
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bottom
Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 02. Mai 2009 17:58 Titel: |
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| Julia2710 hat Folgendes geschrieben: | bzw. ich habe ja folgende gleichung:
jetzt habe ich die ableitungen gebildet:
=c\lambda^2 e^{\lambda t})
beim einsetzen bekomme ich also:
so, was mach ich damit jetzt? da ich ja ein mal das lambda und einmal das r hab weiß ich nicht, wie ich das gleich 0 setzen soll mit der quadratischen gleichung...?!? |
ok, das ist so noch nicht ganz richtig. liegt aber wohl an mir, mein post war nicht so ganz genau, da ich davon ausgegangen war, dass du die prozedur ansich kennst.
also, deine ausgangsgleichung ist eine inhomogene dgl 2. ordnung.
was soll eigendlich dass r und das A im Term der kraft sein? beliebige konstanten?
um diese zu lösen, musst du sie ersteinmal in folgende form bringen:
 ich habe das  umbenannt, tatsächlich verunsichert es mich einwenig, dass an dieser stelle schon das gamma benutzt wird, da es idr etwas anderes bezeichnet (siehe folgendes).
Jetzt wird ersteinmal für die homogene dgl die allgemeine lösung gesucht.
mit (hier kommt jetzt idr. das gamma ins spiel)  und  ergibt sich:
mit dem von mir im beitrag oben geschilderten exponentialansatz findest du nun die beiden lösungen (lambda1 und lambda2). die linearkombination dieser beiden lösungen ergibt jetzt die allgemeine lösung für die homogene dgl:
=c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t})
so, für die allgemeine lösung deiner inhomogenen dgl gilt nun:
wobei  die lösung der homogenen dgl (linearkombination der beiden lösungen y1, y2) und  eine lösung der inhomogenen dgl sei.
ich hab im moment keine lust diesen letzten schritt ausführlicher zu erklären, möchte dir ja nicht alles fertig liefern 
hast du denn eigendlich in deinen Aufzeichnungen keinerlei infos wie man solche dgl's löst?
gruß bottom
ps: ich hoffe da haben sich keine fehler eingeschlichen^^
bin selbst noch einiger maßen neu in dem gebiet 
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Zuletzt bearbeitet von bottom am 04. Mai 2009 07:16, insgesamt einmal bearbeitet |
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Julia2710
Anmeldungsdatum: 28.04.2009
Beiträge: 11
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| Julia2710 Verfasst am: 03. Mai 2009 21:45 Titel: |
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danke, die obigen ausführungen deiner schritte haben mir auf jeden fall schon mal weitergeholfen. zu deiner frage bzgl. der aufzeichnungen... nein, also zumindest nicht sowas, wir haben in der vorlesung folgendes gemacht:
lineare dg erster ordnung:
=a(x)y(x)+b(x))
nichtlineare dg erster ordnung:
=a(x)b(y(x)))
homogene lineare dg mit konstanten koeffizienten:
}{dx^n}=0)
und inhomogen mit )
aber nie etwas mit dem ansatz den du hier geschrieben hast. deshalb kam ich ja auch nicht weiter.
wenn du mir den letzten schritt nicht ausführlich aufschreiben willst (was ich verstehe ;-), gib mir einen kleinen tipp wie ich die aufgabe abschließe! ich muss das ding dienstag morgen abgeben, daher wärs echt lieb, wenn du mir bis montag abend nochmal antworten würdest.
lg, julia |
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bottom
Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 04. Mai 2009 19:18 Titel: |
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sry, dass ich erst jetzt antworte, hab auch nicht viel zeit daher nur recht kurz.
also nochmal zusammenfassend:
du hast eine inhomogene dgl der form:
)
die funktion f(x) die die dgl inhomogen macht wird übrigens als störfunktion bezeichnet.
als erstes betrachtest du nun die dazugehörige homogene dgl:
die allgemeine lösung dieser dgl (in deinem fall über den exponentialansatz) bezeichne ich als  .
nun musst du eine spezielle Lösung für die inhomogene dgl (sogenannte partikuläre lösung) suchen, im folgenden bezichnet als  .
die allgemeine lösung der inhomogenen dgl ist dann die summe aus spezieller Lösung und der allg. lösung der zugehörigen homogenen dgl:
Die schwierigkeit besteht nun meist darin, die partikuläre lösung zu finden. das ist auch der letzte schritt der dir noch fehlt. dafür gibt es mehrer lösungsverfahren, beispielsweise die sog. Variation der Konstanten...
alles in allem meist ein sehr nerviges unterfangen die partikuläre lösung zu finden
googel doch mal nach den begriffen partikuläre lösung, variation der konstanten, störfunktion, inhomogene dgl. da solltest du einiges finden.
oder guck mal hier:
klick!
klick!
klick!
sry, aber mehr zeit hab ich momentan nicht, schreibe morgen selbst mathe klausur und muss mir da noch ein par sachen angucken
gruß bottom
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