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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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 Romeo Verfasst am: 07. Aug 2008 22:48 Titel: Harmonischer Oszillator quantenmechanisch |
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Hi,
ich hab da mal so einige Verständnisfragen bzgl. folgender Aufgabe:
 http://img354.imageshack.us/img354/1374/harmosznw7.jpg
Beim ersten Aufgabenteil, wieso kein Zustand/keine Energie im Potentialnullpunkt zu finden ist, bin ich, nach meiner Recherche, auf zwei unterschiedliche Interpretationen gestoßen:
1.)
Natürlich, sofort ersichtlich, der mathematische Aspekt mit der oben genannten Gleichung für n=0 bekommt man die Mindestenergie von  und erreicht somit nie E=0.
2.)
Eine weitere Argumentation war, dass der harmonische Oszillator beim Temperaturnullpunkt T=0K noch die Energie  , also die Grundenergie wie bei 1.), hat. Deswegen soll das Teilchen nicht genau bei x=0 lokalisierbar sein. (was ich nicht so recht nachvollziehen kann, ...klingt unlogisch)
Und zum zweiten Aufgabenteil, da hab ich gelesen, dass man den Ozsillator aus zwei verschiedenen Bereichen anschauen sollte, in denen die Zustände als Stetigefunktionen über die Parabelgrenzen anzusehen sind. Damit ist die Funktion außerhalb der Parabel eine abklingende Exponentialfunktion, die trotzdem als Aufenthaltswahrscheinlichkeit anzusehen ist, aber mit sehr geringer Chance das Teilchen dort zu finden.
Kann mir jemand sagen ob die Aussagen so korrekt sind bitte?! 
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Grüße Romeo |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 08. Aug 2008 10:57 Titel: |
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Hallo!
zu1) Du kannst auch sehr leicht mit der Unschärferelation argumentieren. Kennst Du die?
Aus E(n) folgt natürlich für n=0 dass E>0 ist. Aber das sagt ja nichts darüber aus, warum es keinen Zustand im Minimum geben darf. Es könnte ja auch Zufall sein, dass für n=0 die Energie größer Null ist. Die Antwort in Deiner zweiten Argumentation geht leicht in diese Richtung.
zu2) Den Effekt nennt man Tunneln. Bist Du mit diesem schon vertraut?
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 08. Aug 2008 11:28 Titel: |
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Hi mitschelll,
ja die Heisenbergsche Unschärferelation sagt mir was, dass was doch das Produkt der Schwankungsquadrate von Ort und Impuls, welches immer größer-gleich einviertel h-quer sein muss, oder?
Bzw. in meinem Skript steht:
Wie laute die richtige Argumentation dazu? Wenn das Teilchen nicht, oder noch mit hoher Unschärfe lokalisieren kann, ist der Impuls dem entsprechend riesig. Das hat zur Folge, dass es kinetische Energie geben muss und damit die Ernergie nicht Null sein kann, oder? Aber wie ist es umgekehrt, wenn man keinen, bis kaum, Impuls hat und der Ort lokalisiert ist, wird man das Teilchen nur auf höhe der diskreten Ernergien finden, aber wieso?
Zu dem zweiten Teil, ja das mit dem Tunnel-Effekt kenn ich auch, hatte mir das auch schon gedacht, aber warum "tunnelt" es? Es gibt eine Tunnel-bzw. Transmissionswahrscheinlichkeit, die bei einer geringen Potentialdifferenz zu beachten ist und bei riesiger Differenz, wie beim unendlichen Potentialtopf, gegen Null geht, wenn ich jetzt nichts durcheinander werfe!
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Grüße Romeo |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 08. Aug 2008 12:04 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | Hi mitschelll,
ja die Heisenbergsche Unschärferelation sagt mir was, dass was doch das Produkt der Schwankungsquadrate von Ort und Impuls, welches immer größer-gleich einviertel h-quer sein muss, oder?
Bzw. in meinem Skript steht:
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Jeder Prof hat da seine eigene Unschärferelation. Ganz genau lautet die
Aber es ist ja nur eine Abschätzung. Deshalb reicht auch Deine Version.
| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Wie laute die richtige Argumentation dazu? Wenn das Teilchen nicht, oder noch mit hoher Unschärfe lokalisieren kann, ist der Impuls dem entsprechend riesig. Das hat zur Folge, dass es kinetische Energie geben muss und damit die Ernergie nicht Null sein kann, oder? Aber wie ist es umgekehrt, wenn man keinen, bis kaum, Impuls hat und der Ort lokalisiert ist, wird man das Teilchen nur auf höhe der diskreten Ernergien finden, aber wieso? |
Da bringts Du was durcheinander. Die Unschärferelation muss man als natürliche Grenze sehen, wie genau ich den Atomen auf die Finger gucken darf. Wenn die Ortunschärfe sehr groß ist, kann ich den Impuls sehr genau messen. Andersherum gilt das natürlich genauso.
Bei der Aufgabe ist nun die Frage: Was passiert im Minimum. Was kann ich dann über Ort und Impuls sagen?
| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Zu dem zweiten Teil, ja das mit dem Tunnel-Effekt kenn ich auch, hatte mir das auch schon gedacht, aber warum "tunnelt" es? Es gibt eine Tunnel-bzw. Transmissionswahrscheinlichkeit, die bei einer geringen Potentialdifferenz zu beachten ist und bei riesiger Differenz, wie beim unendlichen Potentialtopf, gegen Null geht, wenn ich jetzt nichts durcheinander werfe! |
Warum es denn Tunnelprozess von Natur aus gibt, dazu fällt mir jetzt auch nichts ein. Man kann aber über die Wellenfunktion des Teilchens mathematisch argumentieren. Man kann zeigen, dass die Wellenfunktion stetig sein muss. Deshalb darf die Wellenfunktion am Rand nicht einfach abknicken und muss in den klassisch verbotenen Bereich stetig fortgesetzt werden.
Bei einem unendlich hohen Potential kann auch das Quantenteilchen nicht tunneln, da es unendlich viel Energie dafür brauchen würde. Da die Wellenfunktion trotzdem stetig sein muss, hat man dann die Bedingung, dass die Wellenfunktion an den Rändern Null sein muss.
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 08. Aug 2008 13:16 Titel: |
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Mh, ganz ehrlich, hab jetzt schon zwei bis drei mal versucht eine Argumentation zu schreiben, habs aber immer wieder gelöscht, bin gerade ein wenig verwirrt.
Ich versuch was mit deiner Aussage anzufangen, ich versteh es schon und kann es nachvollziehen, aber auf das Problem kann ich es nicht so übertragen!
Geh ich davon aus, dass sich im Minimum natürlich kein Teilchen aufhält, kann ich weder Ort noch Impuls messen.
Oder muss ich es so sehen, ich kann im Minimum eine exakte Ortsmessung durchführen, dafür ist die Impulsunschärfe ziemlich hoch, aber da die Unschäfe exisiert, also auch Impuls, folgt auch Energie und deswegen kein Zustand im Minimum! Klingt alles noch nicht so korrekt.
Beim zweiten Aufgabenteil reichen die Aussagen, dass die Wellenfunktionen in allen drei Bereichen stetig sein müssen, deswegen die Funktionen nicht einfach an den Rändern der Parabel verschwinden, sondern eher ins unendliche abklingen, was dann als Tunneln aufgefasst wird?
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Grüße Romeo |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 08. Aug 2008 14:13 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | Mh, ganz ehrlich, hab jetzt schon zwei bis drei mal versucht eine Argumentation zu schreiben, habs aber immer wieder gelöscht, bin gerade ein wenig verwirrt.
Ich versuch was mit deiner Aussage anzufangen, ich versteh es schon und kann es nachvollziehen, aber auf das Problem kann ich es nicht so übertragen!
Geh ich davon aus, dass sich im Minimum natürlich kein Teilchen aufhält, kann ich weder Ort noch Impuls messen.
Oder muss ich es so sehen, ich kann im Minimum eine exakte Ortsmessung durchführen, dafür ist die Impulsunschärfe ziemlich hoch, aber da die Unschäfe exisiert, also auch Impuls, folgt auch Energie und deswegen kein Zustand im Minimum! Klingt alles noch nicht so korrekt. |
Du meinst aber das richtige. Wäre ein Zustand im Minimum des Potentials, so wissen wir, dass er die Energie E=0 haben müsste. Das entspricht einer Impulsmessung, da aus E=0 auch p=0 folgt. Zusätzlich gibt es im Minimum des Potential nur einen singulären, klassisch erlaubten Punkt, nämlich x=0. Dann wüssten wir mit sehr hoher Sicherheit, da die Wellenfunktion ja zu beiden Seiten exponentiell abfällt, dass das Teilchen sich im Punkt x=0 aufhält. Das entspricht einer Ortsmessung. Das hieße, dass wir Ort und Impuls beliebig genau kennen und das ist nach der Impulsunschärfe verboten.
| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Beim zweiten Aufgabenteil reichen die Aussagen, dass die Wellenfunktionen in allen drei Bereichen stetig sein müssen, deswegen die Funktionen nicht einfach an den Rändern der Parabel verschwinden, sondern eher ins unendliche abklingen, was dann als Tunneln aufgefasst wird? |
Genau. Das Tunneln kann man ja auch experimentell nachweisen. Das heißt, dass das nicht nur mathematisch so sein muss, sondern es entspricht auch dem, was man wirklich mißt.
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