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noob
Gast
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 noob Verfasst am: 02. Jun 2008 09:46 Titel: DGL ungedämpfter Oszillator |
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Hallo,
Ich habe das auch in einem Matheforum gepostet, möchte es allerdings auch gerne hier noch einmal gepostet haben, da mir die Mathematiker im Moment noch eindeutig zu mathematisch sind  (noch zu mathematisch...  )
Ich wollte jetzt mal selbst die Bewegungsgleichungen des ungedämpften Oszillators herleiten. Selbt Hand anlegen, bin aber gescheitert
Ich wäre sehr dankbar für Hilfe
Hier die Aufgabenstellung und meine falsche Lösung.
Die Gleichung habe ich nun homogen gestellt:
Damit ist meine zu lösende Gleichung:
Da diese Schwingung ohne Reibung ist, muss sie periodisch sein und ohne Änderung der Amplituden Höchstwerte. Deshalb als Ansatz habe ich Sinus gewählt und ihn zwei mal abgeleitet und exponentiel eingesetzt.
 \Rightarrow x' = \cos(x) \Rightarrow x'' = - \sin(x) )
 = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2 i} )
 = - \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2 i} )
Nun habe ich das eingesetzt und versucht zu vereinfachen. Da kam aber Mist heraus.
 \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2 i} = \omega ^{2} \cdot \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2 i} - \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2 i} )
Da ja bereits der gleiche Nenner vorhanden ist, habe ich das auf einen Bruch geschrieben:
Das  hebt sich heraus und das  verdoppelt sich und damit habe ich das geschrieben als:
Die Zwei kürzt sich heraus und übrig bleibt nur noch:
Hier hänge ich nun. Was da steht muss Falsch sein. Ich versuche mal laut zu denken. Im Zähler steht doch ein Minus in der E-Funktion. Dieses Minus bedeutet doch, dass ich hier eine komplex Konjugierte Zahl habe, also eine, welche an der Reelen Achse in der Gaußschen Ebene gespiegelt wurde. Im Nenner steht i und weil i im Quadrat -1 ergibt, steht im Nenner die Wurzel aus Minus 1.
Das ist eine sinnlose Lösung, ich bin verwirrt 
Ich bin für Hilfe sehr dankbar
Grüsse |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 02. Jun 2008 11:39 Titel: |
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Einverstanden, dein Ansatz für diese Differentialgleichung liefert eine sinnlose Lösung. Also musst du einen anderen Ansatz ausprobieren.
Wie wäre es zum Beispiel statt deines Ansatzes mit einer Schwingung im Raum sin(x) mit fest vorgegebener Amplitude und Winkelgeschwindigkeit (beide hattest du fest gleich 1 angesetzt)
mit einer Schwingung in der Zeit, in der die Amplitude und die Winkelgeschwindigkeit noch als freie Variablen enthalten sind, die erst noch bestimmt werden können, nachdem man den Ansatz in die Differentialgleichung eingesetzt hat?
//edit: Dein Ansatz liefert auch dann eine sinnlose Lösung, wenn du bei Umformen nach dem Einsetzen keinen Rechenfehler einbaust wie den, den jhm (siehe unten) bemerkt hat.
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 02. Jun 2008 12:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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jhm
Anmeldungsdatum: 06.05.2008
Beiträge: 73
Wohnort: Münster
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| jhm Verfasst am: 02. Jun 2008 12:06 Titel: Re: DGL ungedämpfter Oszillator |
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| noob hat Folgendes geschrieben: |
richtig!
falsch!
Gruß jhm
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_________________
Gravitation cannot be held responsible for people falling in love.
Albert Einstein |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 02. Jun 2008 12:42 Titel: |
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okay,
danke erstmal
@dermarkus
meinst du das hier?
 + c \ \Rightarrow \ f'' = - a \cdot b^{2} \sin (b \cdot x))
An das dachte ich nämlich auch kurz, aber ich weiss nicht, wie ich diese Argumente hier als komplexe E-Funktion darstellen kann? 
@ jhm
Ist mir fast peinlich, aber ich sehe den Fehler nicht. Ich denke mal kurz laut und hoffe berichtigt zu werden
Zwei Brüche subtarhiere ich, in dem ich den Hauptnenner bilde und entsprechend die Zähler erweitere und dann voneinander abziehe. Da beide Brüche den selben Nenner haben, muss ich nichts erweiter und Ziehe nur die Zähler voneinander ab, während der Nenner gleich bleibt.
Multiplizieren von Brüchen mit Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Im Zähler steht omega zum Quadrat und im Nenner eins.
Ich sehe keinen Fehler
Grüsse |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 02. Jun 2008 12:53 Titel: |
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* Wenn du das als Sinus ansetzt, dann kannst du auch einfach mit Sinus weiterrechnen, und brauchst es nicht in eine komplexe Darstellung umzuwandeln.
Mit Amplitude und Winkelgeschwindigkeit als Variable macht dein Ansatz in der Tat gleich schon viel mehr Sinn
* Tipp für die Fehlersuche von oben: Der Fehler liegt nicht beim Subtrahieren von Brüchen, sondern in der Missachtung von Punkt vor Strich |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 02. Jun 2008 12:59 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | * Wenn du das als Sinus ansetzt, dann kannst du auch einfach mit Sinus weiterrechnen, und brauchst es nicht in eine komplexe Darstellung umzuwandeln.
Mit Amplitude und Winkelgeschwindigkeit als Variable macht dein Ansatz in der Tat gleich schon viel mehr Sinn
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Okay, dann bekomme ich es glaube ich hin. Ich hatte irgendwie in Erinnerung, dass ich bei DGL immer mit E-Funktionen rechnen soll.
hmm. irgend etwas verwechsle ich da Egal, ich werde es gleich nacher nochmal berechnen. Jetzt ist erst mal LA Tutorat angesagt
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
* Tipp für die Fehlersuche von oben: Der Fehler liegt nicht beim Subtrahieren von Brüchen, sondern in der Missachtung von Punkt vor Strich |
Ah, ich bin ein Idiot 
Jetzt seh ich es. Danke
Noch etwas Off-Topic:
Kann man denn die allgemeine Form des Sinus als komplexe E-Funtion darstellen? Also nicht sin(x), sonder auch A*sin(bx) +c ?
Grüsse |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 02. Jun 2008 13:03 Titel: |
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kurze Zwischenbemerkung
dein Ansatz
 )
ist eine Gleichung, die dir eine ([edit] oder mehrere, halt die Schnittpunkte von x und b sin(ax) [/edit]) Zahl fuer x bestimmen wuerde. Du suchst aber den Ort als Funktion der Zeit:
= ? )
Und die Ableitungen in deiner DGL sind nicht nach dem Ort, sondern nach der Zeit.
_________________
Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 02. Jun 2008 13:08 Titel: |
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Sax hat recht; das mit dem t statt x hast du noch vergessen, zu verändern.
| Zitat: | Kann man denn die allgemeine Form des Sinus als komplexe E-Funtion darstellen? Also nicht sin(x), sonder auch A*sin(bx) +c ?
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 + c = {\rm Im}(A\cdot e^{ibt}) + c)
Oder man könnte einfach schreiben
 = {\rm Re}(A\cdot e^{ibt}))
und das "Re" weglassen, da man mit einer komplexen Schreibweise sowieso üblicherweise nur den Realteil davon meint, wenn man so etwas rechnet; also würde man in diesem Sinn einfach schreiben:
= A\cdot e^{ibt})
Und der Empfehlung, lieber mit E-Funktionen als mit sin und cos zu rechnen, sobald man das mit den komplexen Zahlen schon kann, würde ich zustimmen, denn mit e-Funktionen rechnet sich das leichter (spätestens dann deutlich leichter, wenn du zum Beispiel noch Dämpfung dazubetrachtest). |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 02. Jun 2008 15:56 Titel: |
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Okay, danke
Leider ist bei mir eben was furchtbar schief gelaufen. Meine Bewegungsgleichung wird zu Null!  Da muss ein Rechenfehler sein, den ich wieder nicht sehe 
Ich schriebe mal auf was ich jetzt gemacht habe:
 = A \sin(w \cdot t) \ \Rightarrow \ \ddot{s} (t) = - A \omega ^{2} \sin(w \cdot t) )
 + \ddot{s}(t))
 + (-) A \omega ^{2} \sin(w \cdot t) )
 - A \omega ^{2} \sin(w \cdot t))
 - \sin(\omega \cdot t)))
 \cdot \sin(\frac{\omega \cdot t - \omega \cdot t}{2}))
 \cdot \sin(\frac{0}{2}))
Null geteilt durch zwei ist Null. Der Sinus von Null ist Null und damit multipliziere ich automatisch den ganzen Term mit Null durch und es steht da 0=0
Was ist falsch?
Ist echt erstaunlich, wie der Untschied ist, wenn man im Buch liest, so und so und dann steht die Lösung da, oder wenn man es selbst verifizieren will...
Ich danke euch
Grüsse |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 02. Jun 2008 16:06 Titel: |
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0=0 soll doch auch als lösung rauskommen, sonst wäre ja dein ansatz falsch. wenn dein ansatz für s(t) falsch wäre, würde ja keine wahre aussage rauskommen.
du kannst eignetlich schon der dritten zeilen sehen, dass das auch wirklich rauskommt, die anderen schritte kannst du dann einfach weglassen.
Zuletzt bearbeitet von golbi am 02. Jun 2008 16:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 02. Jun 2008 16:11 Titel: |
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| golbi hat Folgendes geschrieben: | 0=0 soll doch auch als lösung rauskommen, sonst wäre ja dein ansatz falsch. wenn dein ansatz für s(t) falsch wäre, würde ja keine wahre aussage rauskommen.
du kannst eignetlich schon der dritten zeilen sehen, dass das auch wirklich rauskommt, die anderen schritte kannst du dann einfach weglassen. |
Aber ich bin doch auf der Suche nach einer Parabel in Normalform
Eine Parabel, bei der man dann die PQ-Formel nimmt und die Bewegungsgleichungen des ungedämpften Federschwingers heraus bekommt.
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 02. Jun 2008 16:15 Titel: |
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wieso bist du auf der suche nach einer parabel?
x`` ist nicht das selbe wie x². |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 02. Jun 2008 16:20 Titel: |
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| golbi hat Folgendes geschrieben: | wieso bist du auf der suche nach einer parabel?
x`` ist nicht das selbe wie x². |
Das weiss ich. x'' ist die zweite Ableitung vom Weg.
Ich meine aber, dass eine Schwingung in einer Parabel liearisiert wird. Dieses Wechselspiel aus Potentieller und Kinetischer Energie ohne Verlust ist ja gerade eine Schwingung ohne Reibung und ihre Nullstellen sind die Lösungen.
Oder fange ich an komplett den Weg der Logik zu verlassen
Korrigiere mich bitte wenn ich falsch liege. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 02. Jun 2008 17:11 Titel: |
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Das liegt daran, dass du fuer dein  im Ansatz schon angenommen hast  obwohl das eigentlich erst noch rauskommen sollte.
Nenne es in der Dgl. doch lieber:
das ist i.A. so ueblich. Nenne die Winkelgeschwindigkeit im Ansatz
dann bekommst du deine quadratische Gleichung.
edit:
| Zitat: | | Ich meine aber, dass eine Schwingung in einer Parabel liearisiert wird. Dieses Wechselspiel aus Potentieller und Kinetischer Energie ohne Verlust ist ja gerade eine Schwingung ohne Reibung und ihre Nullstellen sind die Lösungen. |
Naja, hier bringst du schon was durcheinander. Die Schwingugsgleichung, von der du ausgehst ist schon linear, das entsprechende Potential ist eine Parabel. Aber hier machst du einen hinreichend allgemeinen Ansatz fuer die Loesung der Dgl., in dem als Parameter die Winkelgeschwindigkeit und die Amplitude stecken. Dann testest du ob dein Loesungsansatz die Bewegungsgleichung erfuellt. Damit dies der Fall ist muss nach dem Einsetzen 0=0 gelten. Es steht aber meist etwas in der Art da
 ) so dass nur fuer die Nullstellen der Funktion f die Dgl. erfuellt ist. Die rechte Seite ist eine Parabel (bzgl. omega), hat aber mit der Linearisierung einer Dgl. erstmal nichts zu tun.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 02. Jun 2008 20:22 Titel: |
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okay, danke
Ich habe noch mal von vorne angefangen, diesmal aber den Kosinus genommen. Leider hänge ich wieder. Das Omega im Quadrat habe ich mal absichtlich nicht definiert, da das ja auch ein Ergebnis sein soll. Ich schreibe mal was ich nun gemacht habe:
 = A \cos(\omega_{0} t) \ \Rightarrow \ \ddot{x} (t) = - A \omega_{0}^{2} \cdot (-) \cos(\omega_{0} t) = A \omega_{0}^{2} \cos(\omega_{0} t))
 + A \omega_{0}^{2} \cos(\omega_{0} t))
 \cdot \cos(\frac{\omega_{0} t - \omega_{0} t}{2}))
Der hintere Term wird wieder zu Null, aber diesmal habe ich deswegen den Kosinus genommen, weil der Kosinus von Null eins ergibt und der Term damit wegfällt. Der Term davor fasse ich den Zähler zusammen und kürze durch zwei. Dann steht da:
)
So und jetzt hänge ich wieder. Ich weiss nicht on das:
1.) soweit richtig ist?
und
2.) was ich jetzt weiter machen soll?
Oje,....
Danke
Grüsse |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 02. Jun 2008 20:33 Titel: |
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| noob hat Folgendes geschrieben: | okay, danke
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bis hier stimmts.
| Zitat: |
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Das kann ich nicht nachvollziehen. Versuche doch mal
 ) auszuklammern. Dann kommst du schon weiter.
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 02. Jun 2008 20:49 Titel: |
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| sax hat Folgendes geschrieben: |
Das kann ich nicht nachvollziehen. Versuche doch mal
auszuklammern. Dann kommst du schon weiter. |
Ich habe da die Addiotiostheoreme für Kosinus aus dem Bronstein genommen. Habe ich die falsch angewendet?
Soll ich das machen?
 (\frac{k}{m} + \omega_{0}^{2}))
Ich weiss nicht, was mir diese Umstellung bringt
Ich danke dir
Gruß |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 02. Jun 2008 22:57 Titel: |
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Na was muss denn gelten, damit die Gleichung erfuellt ist ?
Um es noch mal auf den Punkt zu bringen, ich denke dass du das alles schon weisst, aber eine kurze Wiederholung kann ja nicht schaden.
Du hast eine Dgl. die einen physikalischen Prozess, eine Schwingung beschreibt. Diese Dgl. ist ein Modell für diese Bewegung. Es beschreibt wie sich der Ort x(t) und die Geschwindigkeit  ) , an dem sich ein Massepunkt befindet bzw. mit der er sich bewegt, mit der Zeit entwickeln.
Dazu werden die Newtonschen Bewegungsgleichungen genutz.
Was du nun suchst ist die Loesung dieser Modellgleichung, also die Kurve
x(t). Nun denkt man sich, das ist ja eine Schwingung, es sollte also eine periodische Bewegung sein. Versuchen wir doch mal den Kosinus. Vieleicht sieht die Loesung ja irgendwie so aus:
=A \cos(\omega t) )
Bisher kenne ich weder noch A.
Das setzt du ein und erhaelst, wie du oben richtig geschrieben hast
 \left( \frac{k}{m}-\omega^2 \right) =0 )
Das bedeutet: wenn mein Ansatz die Dgl., erfuellen soll, und zwar fuer jede beliebige Zeit x(t), muss diese Gleichung erfüllt sein. Der Kosinus ist nur zu bestimmten Zeiten Null, also muss der Ausdruck in der Klammer Null sein. Also
Also gilt
Der Wert von A ist beliebig.
Also hast du eine Loesung der Dgl gefunden:
 = A \cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t \right) )
Ist das nun die Allgemeine Loesung ? Nein noch nicht. Um ein konkretes Problem zu lösen, muss man noch wissen, was der Schwinger am Anfang macht. Zum Beispiel könnte man sagen, der Schwinger ist am Anfang, zur Zeit t=0, in der Ruhelage und hat eine Geschwindigkeit von 1m/s .
Also
=0 \; \mbox{und} \; \frac{dx}{dt}(0)=1 )
Das sind zwei Bedingungen, allerdings ist nur bisher nur ein Parameter frei, naemlich A, um die Loesung dieser Bedingung anzupassen. Es fehlt also noch was. Erinnern wir uns das du es erst mit dem Sinus verucht hast, das geht genauso. Dann erhaelt man eine zweite Loesung der Dgl.
=B \sin(\omega t) )
. Da die Differentialgleichung linear ist, ist die Summe zweier Loesungen wiederum eine Loesung der Dgl. Unsere Allgemeine Form der Loesung
ist dann
=A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) )
Mit Trigonometrie und e Funktionen sind auch noch andere Darstellungen dieser Loesung Moeglich:
=C \cos(\omega t + D) )
 = E e^{i \omega t} + F e^{-i \omega t} )
Alle diese Darstellungen sind Äquivalent. Die Konstanten lassen sich ineinander umrechnen.
Also dann gute Nacht.
edit: Und ja, du hast die Trigonometrischen Formeln falsch angewendet. Die Faktoren vor dem cos sind nicht gleich und damt geht das so nicht.
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 04. Jun 2008 10:47 Titel: |
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Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr ....
Jetzt ist klar.
Ich danke dir sax |
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