Bindendes (doppel-delta) Potential

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

Hallo!

Ich habe mir mal die Aufgabe 2 (Lösungen sind enthalten) aus dem folgenden pdf angeschaut:

http://www.phys.ufl.edu/~rfield/PHY4604/images/4604_Solutions_Set3_fa07.pdf

Ich muss jetzt allerdings im Limes

näherungsweise die Energieeigenwerte berechnen, und angeben wie sich denn die Differenz der Energie-EW. in Abhängigkeit von a verhält.

Wie mache ich das?

Für Hilfe wäre ich wirklich dankbar.

Gruß, pendulum

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Warum entwickelst du nicht einfach die Funktion

an der Stelle

in eine Taylorreihe und setzt dann y' = y - 1/c ?
Fertig !

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

kann man überhaupt eine Entwicklung um 1/c machen?

denn wenn

dann muss c gegen null gehen, da

. Demzufolge geht 1/c gegen unendlich.

Ich hab dennoch mal die Taylorreihe von exp(-y) mit Entwicklungspunkt y0=1/c bis zum linearen Glied aufgeschrieben:

.

Ich weiß allerdings nicht wie das jetzt weiterhilft und wieso du y' = y - 1/c setzt?

Gruß, pendulum

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Für gerade Parität ergibt sich y aus dem Schnittpunkt von

mit

Wenn c gegen Null geht, dann ist der Schnittpunkt weit rechts.

Dort ist aber f1(y) schon Nahe bei Null und der Schnittpunkt von f1 und f2 ist daher in erster Näherung bei y=1/c.

Daher ist es naheliegend, hier eine Taylorentwicklung zu machen, um den Wert zu verbessern:

Wir definieren

und müssen nun eben den Schnittpunkt von F1 und F2 bestimmen.

mit der Lösung

Rückeinsetzen liefert:

Genauso für die ungerade Parität.

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

erst einmal vielen Dank.

Ich hab das noch analog für die ungerade Parität berechnet und erhalte:

.

Aber wie erhalt ich jetzt aus dem Ganzen die Enerigeeigenwerte?

Ich hab mir folgendes überlegt:

Und nun y für gerade bzw. ungerade Parität einsetzen. Das gibt einen relativ langen Ausdruck (wenn man noch die Definition von c einsetzt). Und jetzt weiß ich auch nicht mehr weiter. Ich soll doch angeben wie sich die Differenz der Energieeigenwerte als Funkt. von a verhält; wie mache ich das?

Gruß, pendulum

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Du darfst nicht gleich immer aufgeben. Irgendwas lässt sich immer machen. Du hast es ja eh' schon hingeschrieben: Für das E brauchst du

.

Das ist aber im einen Fall

im anderen Fall

Daher ist die Differenz der Quadrate in guter Näherung

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

ok, ich hab jetzt die Differenz der Energieew. berechnet und erhalte:

Wie könnte man das interpretieren? Ich hab mir gedacht, dass für große a (d.h. die Potentialwände gehen immer weiter auseinander) die beiden Energien (gerade/ungerade) sich immer weniger unterscheiden (

) und somit fast entartet sind. Kann man das so sagen?

Gruß, pendulum

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das ist mal sicher nicht falsch.
Thumbs up!

Es gibt aber vielleicht noch andere, erwähnenswerte Eigenschaften, die ich momentan aber nicht sehe.

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

ich hab jetzt noch ein anderes Problem:

und zwar soll ich die Differenz der Energieeigenwerte für

numerisch berechnen und mit den analytischen Ergebnissen vergleichen.

Ok, die Bedingung müsste man auch so schreiben können:

.

Ich muss also, z.B. für gerade Parität:

lösen? Wie stelle ich das numerisch an? Wenn ich einfach mal ein c mit der obigen Bedingung einsetze kann ich das numerisch lösen, aber dann habe ich noch lange nicht alle c's. Und analytische Lösungen, gibt es die überhaupt? Das ist doch eine transzendente Gleichung.

Gruß, pendulum

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Nimm halt 5 Punkte in diesem Intervall und bestimme die Lösung numerisch.
Kann es dein Taschenrechner?
Man kann sogar Excel verwenden (Zielwertsuche).

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

ja, mit dem Taschenrechner bekomme ich das hin.

Aber wie vergleiche ich das mit den analytischen Ergebnissen, woher soll ich die denn bekommen?

Gruß, pendulum

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

da sind wohl die näherungsresultate gemeint. du sollst sicher zeigen, ab wo die näherung gut zu verwenden ist.