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Hagbard
Anmeldungsdatum: 07.02.2006
Beiträge: 320
Wohnort: Augsburg
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 Hagbard Verfasst am: 26. Jan 2007 12:07 Titel: Trägheitsmoment einer Kugel in kartesischen Koordinaten |
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 ist ja allgemein das Trägheitsmoment eines Körpers. Ich setze nun  mit 
Die 2 vor dem Integral kommt, weil das Integral ja nur für eine Halbkugel gelten würde (In meinem Fall handelt es sich natürlich um eine Vollgkugel). Naja aufgelöst erhält man:
Diesen Weg finde ich eigentlich viel leichter, als den Umweg über Kugelkoordinaten zu gehen. Man hat immerhin kein 3fach Integral und die meisten Leute sind eh vertrauter mit kartesischen Koordinaten. Das ich in meinem Studium wohl nicht um Kugelkoordinaten herum komme ist mir schon klar, aber es geht ja auch ein wenig um die Eleganz von Lösungswegen und da gefällt mir meiner besser.
Am Anfang bin ich immer auf das halbe Trägheitsmoment gekommen (also nur auf 1/5). Ich hatte immer nur von 0 bis r integriert... ist es überhaupt korrekt von -r bis +r zu integrieren? Ich bin mir da immer noch nicht ganz sicher, weil man ja eigentlich von 0 bis r die Kreisflächen einer Halbkugel erhält... hmmm
Gruß
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Immer schön die Kirche im Dorf lassen... und dann in die Stadt ziehen. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 27. Jan 2007 01:30 Titel: Re: Trägheitsmoment einer Kugel in kartesischen Koordinaten |
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| Hagbard hat Folgendes geschrieben: | ist ja allgemein das Trägheitsmoment eines Körpers.
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In dieser Schreibweise finde ich es ein bisschen sehr abstrakt, korrekt sagen zu können, was man mit dem  und dem  genau meinen möchte. Ich kenne die allgemeine Formel für das Trägheitsmoment als
Dabei ist das Integral ein Integral über den gesamten Körper, und  ist der Abstand des Massenelementes  von der Drehachse.
Dieses Integral kannst du in der Tat mit einem einzigen Parameter parametrisieren (dem Radius  ).
| Zitat: |
Ich setze nun
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Mit dieser Formel bin ich allerdings nur dann einverstanden, wenn du mit die Masse einer Viertels-Kugelschale meinst. Ich würde statt dessen vorschlagen, hier einfacher einen Faktor von 4 hinzuzufügen, und das damit als die Masse einer ganzen Kugelschale (Fläche  , Dicke  ) zu interpretieren.
Und in der Folge solltest du von  bis  integrieren.
Dann integrierst du korrekt über die gesamte Kugel und bekommst das richtige Ergebnis.
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Ich würde diese Vorgehensweise allerdings nicht als eine Rechnung in kartesischen Koordinaten bezeichnen. Denn was du hier machst, ist die Integration über die radiale Koordinate , und die Integration über die Winkel  und  ersetzt du durch das Verwenden einer fertigen Formel für die Masse einer Kugelschale. |
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Hagbard
Anmeldungsdatum: 07.02.2006
Beiträge: 320
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| Hagbard Verfasst am: 04. Feb 2007 13:14 Titel: |
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Ich komme nicht ganz mit, warum sich mein dm auf eine Viertelkugel bezieht. Ich dachte eigentlich, es wäre damit schon die Halbkugel.
Mein Integrieren von -r bis r ist eigentlich schon gemogelt, weil ich damit nur eine "Korrektur" eingeführt habe, die mich auf das Ergebnis kommen lässt, welches ich erwartet habe.
Gruß
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 04. Feb 2007 13:41 Titel: |
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| Hagbard hat Folgendes geschrieben: | Ich komme nicht ganz mit, warum sich mein dm auf eine Viertelkugel bezieht. Ich dachte eigentlich, es wäre damit schon die Halbkugel.
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Du kannst dir zum Beispiel für eine ganze Kugelschale überlegen, dass da das Volumen gleich
sein muss, weil du die Formel für die Kugeloberfläche A kennst. |
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Hagbard
Anmeldungsdatum: 07.02.2006
Beiträge: 320
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| Hagbard Verfasst am: 04. Feb 2007 16:15 Titel: |
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Ah, stimmt. Meine Überlegungen haben sich nicht auf Kugelschalen sondern auf Scheiben beschränkt. Ich dachte, dass ich mir die Halbkugel in Scheiben mit dem Radius  und der Dicke dx zerlege. An Kugelschalen hab ich erst mal garnicht gedacht.
Gruß
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Ltd83
Anmeldungsdatum: 29.11.2006
Beiträge: 1
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| Ltd83 Verfasst am: 23. März 2007 18:59 Titel: |
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Das Thema ist zwar schon etwas älter, aber ich habs gefunden und nehm ich der sache einfach mal an.
das problem dabei ist, dass der abstand im integral nicht der radius der kugel ist, sondern eben der abstand von der drehachse. daraus folgt, dass, wenn man sich das mal aufmalt folgt: x²=r²sin(phi)². Dann einfach über die kugelkoordinaten integrieren und alles wird gut.
Ciaoi
Micha |
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