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Glitchy
Anmeldungsdatum: 07.01.2007
Beiträge: 18
Wohnort: München
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 Glitchy Verfasst am: 12. Jan 2007 00:21 Titel: Differentialgleichung (DGL) der Raketengleichung lösen |
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Hallo liebste Mitglieder des Boards,
ich knabbere hier fleißig an der DGL, krieg auch immer wieder ein logisch richtiges Ergebnis, welches aber falsch zu sein scheint, da es komische Ergebnisse bringt. Hier mal die zu lösende DGL der Raketengleichung bezogen auf ein speziellen Beispiel:
=F_{k}\left(\frac{1}{-\dot mt+M_{0}}-g\right)$)
wobei  eine Krankraft ist,  ein Masseverlust von 0,5kg/s ist und g die Erdbeschleunigung ist.
Das Problem ist für mich die Integration des Bruchs. Eigentlich dachte ich, dass ich wie bei allen verschalteten Funktionen, den Bruch integrieren und dann nachdifferenzieren könnte.
Wenn ich jetzt mal nur diesen einen Term extrahiere, dachte ich mir das so:
dt=\int{\left(\frac{1}{-\dot mt+M_{0}}-g\right)}dt=\frac{1}{-\dot m}\ln{(-\dot mt+M_{0})-gt}) .
Des is aber falsch, gell?
Wo genau liegt mein Fehler? Ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen...
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 12. Jan 2007 16:30 Titel: |
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Ich verstehe eigentlich Deine Frage nicht ganz und was ine Krankraft mit der Raketengleichung zu tun hat. Aber die Integration des Bruchs ist OK. Da gibt es nichts zu beanstanden, wie man sich durch ausdifferenzieren sofort überzeugt.
Ich gehe aber davon aus, dass F_K eine Konstante ist und nicht als irgendeine Funktion F_K(...) zu interpretieren ist.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 12. Jan 2007 16:34 Titel: Re: Differentialgleichung (DGL) der Raktengleichung lösen |
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| Glitchy hat Folgendes geschrieben: | Hier mal die zu lösende DGL der Raketengleichung bezogen auf ein speziellen Beispiel:
wobei eine Krankraft ist, ein Masseverlust von 0,5kg/s ist und g die Erdbeschleunigung ist. |
Bist du sicher dass das die richtige Gleichung ist, oder hast du dich nur hier im Board vertippt? Denn so wie es jetzt dasteht, kommt das mit den Einheiten nicht hin. Da dürfte die Fallbeschleunigung nicht in die Klammer. Wie schnudl weiß ich natürlich auch nicht was es mit der Krankraft genau auf sich hat (und wo ist eigentlich die "normale Schubkraft" der Rakete geblieben?), aber so wird das wie gesagt mit den Einheiten nichts.
Vielleicht liegt es ja schon daran?
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Formeln mit LaTeX |
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Glitchy
Anmeldungsdatum: 07.01.2007
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| Glitchy Verfasst am: 12. Jan 2007 16:48 Titel: Re: Differentialgleichung (DGL) der Raktengleichung lösen |
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Genau, das kommt auch mit den Einheiten nicht so ganz hin, denn  ist ja ein Massenverlust pro Sekunde. Somit muss ja hier irgendwie ein Fehler sein.
Aber ich weiß jetzt diesen Fehler:
Ich habe übersehen, dass als Anfangsgeschwindigkeit =0) betrachtet werden muss. Das bedeutet, dass das Integral nicht als unbestimmtes, sondern als bestimmtes Integral betrachtet werden muss.
Die korrekte Lösung lautet also:
dt=\int_{0}^{t}{\left(\frac{1}{-\dot mt+M_{0}}-g\right)}dt=\frac{1}{-\dot m}\ln{\left(\frac{-\dot mt+M_{0}}{M_{0}}\right)-gt})
So ganz logisch ist mir das zwar noch nicht, allerdings hab ich das erstmal so hin gekommen. Das richtige Erebnis ist es definitiv.
Was meint ihr, woran es liegt, dass man hier nicht mit dem unbestimmten Integral arbeiten darf?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 12. Jan 2007 18:08 Titel: Re: Differentialgleichung (DGL) der Raktengleichung lösen |
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| Glitchy hat Folgendes geschrieben: |
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Ich (und vielleicht auch andere) komme mit Deiner Notation nicht klar:
was bedeutet denn
Das kann dann doch nicht plötzlich zu einem Integral werden ...
Ausserdem ist es unsauber geschrieben, da du die obere Grenze mit der Integrationsvariablen vertauscht. Es müsste eigentlich heissen:
}d\tau=\frac{1}{-\dot m}\ln{\left(\frac{-\dot mt+M_{0}}{M_{0}}\right)-gt})
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 12. Jan 2007 18:30 Titel: |
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Abgesehen von meinen vorigen Kommentaren, glaube ich nicht dass deine Überlegungen richtig sind:
Du hast offenbar ein Beispiel, wo ein Kran einen Gegenstand mit konstanter Kraft hochhebt und der Gegenstand gleichzeitig Masse verliert.
Dann ist aber
 = m(t) \frac{dv}{dt} + \underbrace{v(t) \frac{dm}{dt}}_{??})
Du hast aber den zweiten Term unterschlagen, denn der erste ist identisch mit Deiner Gleichung (wenn man noch das g aus der Klammer rauszieht und mit m(t) multipliziert)
Übrigens ist das jetzt auch eine eigentliche Differenzialgleichung, mit gemischten Ableitungen in v.
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Glitchy
Anmeldungsdatum: 07.01.2007
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| Glitchy Verfasst am: 13. Jan 2007 14:45 Titel: |
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Naja, die Notation ist folgend nach mathematisch korrekter Schreibweise:
Einfach gesprochen geht man bei der Notation  von mit der Fuktion =\frac{2}{3}x^2) von einer Ableitung aus.
Analog dazu lautet die Darstellung für eine Stammfunktion folgend:
=\frac{2}{3}x^2d \Leftrightarrow F(x)=\int\frac{2}{3}x^2d)
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Glitchy
Anmeldungsdatum: 07.01.2007
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| Glitchy Verfasst am: 13. Jan 2007 14:51 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Abgesehen von meinen vorigen Kommentaren, glaube ich nicht dass deine Überlegungen richtig sind:
Du hast offenbar ein Beispiel, wo ein Kran einen Gegenstand mit konstanter Kraft hochhebt und der Gegenstand gleichzeitig Masse verliert.
Dann ist aber
Du hast aber den zweiten Term unterschlagen, denn der erste ist identisch mit Deiner Gleichung (wenn man noch das g aus der Klammer rauszieht und mit m(t) multipliziert)
Übrigens ist das jetzt auch eine eigentliche Differenzialgleichung, mit gemischten Ableitungen in v. |
Du hast auch komplett Recht... Ich habe ja extra erwähnt, dass ich davon ausgegangen bin, dass der Einfachheit halber nur der eine Term existiert.
Dass ich die Integrationsvariablen vermischt habe, stimmt allerdings. Hm, ersetze ich das lieber mit einem T. Ansonsten erstmal danke für eure Bemühungen.
Problem scheint ja geklärt, vielen liebsten Dank.
PS: Die  -Variante ist eine Abkürzung für mich selber, um ohne die Kurznotation hinschreiben zu müssen zu erkennen, dass es sich um eine DGL handelt.
Zuletzt bearbeitet von Glitchy am 13. Jan 2007 14:54, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 13. Jan 2007 14:53 Titel: |
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Ich muss zugeben, dass ich diese symbolische Notation nicht kenne. Gibt es da einen Link ?
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Glitchy
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| Glitchy Verfasst am: 13. Jan 2007 14:58 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Ich muss zugeben, dass ich diese symbolische Notation nicht kenne. Gibt es da einen Link ? |
Ich hab meinen letzten Beitrag noch um ein "PS" ergänzt.
Links kann ich leider nicht bieten. Aber wenn du drauf bestehst, kopiere ich dir einmal einige Notationen aus dem Meyberg/Vachener (Fachbuch der Höheren Mathematik 1).
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 13. Jan 2007 15:06 Titel: |
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| Glitchy hat Folgendes geschrieben: | | schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Ich muss zugeben, dass ich diese symbolische Notation nicht kenne. Gibt es da einen Link ? |
Ich hab meinen letzten Beitrag noch um ein "PS" ergänzt.
Links kann ich leider nicht bieten. Aber wenn du drauf bestehst, kopiere ich dir einmal einige Notationen aus dem Meyberg/Vachener (Fachbuch der Höheren Mathematik 1). |
Na bestehen tu ich sicher nicht drauf 
Aber interessieren würds mich schon...
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Glitchy
Anmeldungsdatum: 07.01.2007
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| Glitchy Verfasst am: 13. Jan 2007 15:38 Titel: |
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Hoffe, es ist lesbar... Hier wirst du sicher zur Notation der Integralrechnung fündig
| Beschreibung: |
| Notation zu Integralrechnung |
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Glitchy
Anmeldungsdatum: 07.01.2007
Beiträge: 18
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| Glitchy Verfasst am: 13. Jan 2007 15:40 Titel: |
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...und einmal Notationen zur Differentialrechnung.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 13. Jan 2007 15:50 Titel: |
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Danke, das sind die üblichen Standardnotationen der Infinitesimalrechnung.
Ich dachte mir nur, dass du deine "eigene" Notation auch irgendwoher hast.
Aber so wichtig ist es nun auch wieder nicht. Ich dachte mir nur, da ist was tieferes dahinter
Fest steht nur, dass sich mit dieser unkonventionellen Schreibweise wohl nicht viele anfreunden können, da sie irgendwie "wirr" ist.
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