Zustandsdichte endliche/unendliche lineare Kette

Mispel · Anmeldungsdatum: 20.09.2021 Beiträge: 17

Hallo, ich soll die Zustandsdichte für eine unendliche (einatomige) lineare Kette unter Annahme periodischer Randbedingungen und das selbige für eine endliche lineare Kette unter der Annahme, die Randatome bewegen sich nicht, herleiten.

Angefangen habe ich so
Unendliche Kette:

Ist meine Kette, wobei sie

lang ist und da es sich um eine einatomige Basis handelt, entspricht der Abstand d zwischen den Atomen auch meiner Gitterkonstante a.
Nun wird der Ansatz ebener Wellen gewählt, wobei allgemein

gilt.
Da periodische Randbedingungen gewählt werden, muss

gelten.
Durch Umstellen, benutzen der Eulerschen Identität etc. komme ich also zu den erlaubten Werten für den Wellenvektor

, wobei Nd = L ist.
Das ergibt dann ein

.

Wie komme ich nun auf die Zustandsdichte

? Und was sagt diese überhaupt genau aus?

Endliche Kette:
Nun soll analog die Zustandsdichte für eine endliche Kette aus N+1 Atomen hergeleitet werden. Das verwirrt mich bereits: Warum N+1 Atome? In der Musterlösung steht nämlich dennoch L = Nd statt L = (N+1)d
Die Randatome sollen jedenfalls unbewegt sein, weswegen

gesetzt werden muss. (Auch hier: Warum plötzlich

statt

?)
Aus dem Ansatz mit stehenden Wellen ergibt sich

, wobei dann mit

die erlaubten q-Werte

ergeben.
Hier kommt man auf ein

.

Auch hier wieder: Wie bekomme ich nun ein

? Mir ist klar, dass es scheinbar der Kehrwert von

zu sein scheint, aber wie wäre der formale Rechenweg bzw. wie ist das zu veranschaulichen?