Endliches Volumen unendliche Hüllfläche - Paradoxon

Klondijk457 · Gast

Hallo allerseits,
Ich wollte nur mal mit einem Paradoxon vorbei schauen.
Es ist eigentlich eher mathematischer Natur, ist aber mathematisch meiner Meinung nach kein wirkliches Paradoxon - mathematisch ist eben mehr möglich..
So aber nun:
Man nehme sich die Funktion 1/x und bilde daraus einen Rotationskörper durch Rotation um die x-Achse.
Das entstandene Volumen (ab x=1 bis x gegen unendlich) ist endlich, genauer gesagt V=pi.
Die Hüllfläche ist allerdings unendlich.
Klingt zwar seltsam, ist aber noch im Rahmen, solange man nur mathematisch denkt.
Jetzt "physikalisieren" wir das mal.
Nehmen wir uns also etwas Farbe. In das entstandene Gefäß können wir ca. 3.14l farbe füllen, mehr nicht. Aber zum Anmalen der Innenseite benötigen wir dennoch unendlich viel Farbe (und es handelt sich hier nicht um etwas fraktalartiges!).
Aber wird sie beim Befüllen nicht schon bemalt?!
Also wenn das nicht paradox klingt...

Wer hat dazu eine Idee?

MfG
Klondijk457

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Dies ist ja nun ein altbekanntes (und gelöstes) "Problem". Suchst Du eine Erklärung hierfür oder möchtest Du einfach nur darüber diskutieren?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Das klingt tatsächlich seltsam. Ich war so irritiert, dass ich mal vorsichtshalber nachgerechnet habe:

(war mir nicht sicher, ob es was ändert, dass man gegen Ende hin immer weniger unendlich dünnes Papier braucht - um einen unendlich dünnen Draht einzuwickeln, braucht man schließlich auch kein Papier)

Ich kannte das "Problem" jedenfalls noch nicht. Ich denke, die "Lösung" ist, dass 1/x eben immer kleiner wird und man eben die Farbe auch immer dünner auftragen müsste. Es gibt ja auch in der Natur Dinge mit ungeheurem Oberfläche/Volumen-Verhältnis, zum Beispiel unser Darm oder so manche Lunge (vielleicht nicht das beste Beispiel, aber das, was mir sofort einfiel). Das Paradoxe liegt wahrscheinlich darin, dass man, um die Farbmenge zum Streichen zu bestimmen, davon ausgehen müsse, dass eine Mindestdicke d vorliegt, dann hätten wir für das Farbvolumen die Abschätzung

, aber hier gibt es eben keine Mindestdicke (bzw. sie ist Null), sodass wir eben doch mit endlich viel Farbe auskommen. Oder anders: "

"

EDIT: Sorry, hab mich bei dem Integral oben vertan. Einmal Quadrieren vergessen.^^

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Danke! Irgendwie fand ich es schöner,

zu integrieren.^^

Klondijk457 · Gast

Hallo,
besten Dank!
Ist ja nicht so als hätte ich nicht danach gesucht..
Ich habe es mit Michaels Horn, Michaels Trompete, und sonst was probiert, dabei wars der Gabriel.. Tja, Mythologie ist eben nicht mein Fachgebiet.

Eigentlich wollte ich nur mal etwas darüber diskutieren.
Ich hätte 2-3 Ansätze zur Lösung des Problems. Eigentlich ist es eher ein Umgehen.. Aber ich wollte erstmal hören was andere Leute dazu sagen (quasi unvorbelastet).
Denn ich hätte da auch noch 1-2 gegensätzliche Annahmen, die die Sache noch paradoxer erscheinen lassen... (siehe unten).

Die Lösungen gehen allerdings schon in Richtung der Aussagen im Wiki. ...Die Skizze im deutschen artikel ist ja so richtig hochauflösend...
Und die dortige Erklärung ist mehr als schwammig:
"Die Auflösung dieses scheinbaren Paradoxons besteht darin, dass zum Bestreichen der gesamten Innenfläche des Körpers eine Farbschicht mit einer so geringen Dicke nötig wäre, dass diese nahezu kein Volumen mehr hätte."
...Dann streiche ich eben doppelt und habe schon mehr als "nahezu kein Volumen"...
Zumindest ist nach meinem Sprachempfinden "nahezu kein" nicht "nichts".

Der englische Artikel macht es da schon besser. Allerdings bin ich damit auch nicht wirklich zufrieden.
Dort wird zwischen dem Bemalen der Innen- und Außenseite unterschieden. Das kann ich ehrlich gesagt nicht nachvollziehen.
Kann mir das erstmal jemand erläutern?!

Irgendwie scheint es auf die Sichtweise anzukommen, und mit folgenden habe ich so meine Probleme:
1. Wenn mit einer endlichen Menge Farbe eine unendliche Fläche gestrichen wurde, beträgt die Schichtdicke Null, -egal wieviel Farbe man zur Verfügung hatte. Das bedeutet aber, dass dann wieder Platz in der "Engelstrompete" für mehr Farbe ist (besonders im vorderen Teil), selbst wenn ich mehr als 3.14l Farbe hatte.

2. Unabhängig von 1.: Was passiert an der Grenzschicht "zwischen" Horn und dem inneren Farbvolumen?!? Bzw. warum ist die Hülle des Farbvolumens nicht gleichzeitig die Farbschicht auf dem Horn??
Denn falls dem so wäre, dann bedeutete das, dass ich sogar garkeine Farbe bräuchte um eine unendliche Fläche komplett zu bemalen...
Lassen sie mich kurz mein Bauchgefühl dazu wie folgt ausdrücken: WTF?!

Also was ist eure persönliche/favourisierte Sichtweise um das Problem aufzulösen?

MfG,
Klondijk457

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

(1) Du kannst keine unendliche Fläche mit einer endlichen Menge Farbe bemalen, wenn die Farbschicht eine konstante Dicke hat.
(2) Du kannst eine unendliche Fläche mit einer endlichen Menge Farbe bemalen, wenn die Schichtdicke, mit der Du die Fläche bemalst, nicht konstant ist, sondern "schnell genug" abnimmt.

Genau das zweite passiert bei Gabriels Horn innen automatisch, darum kann man es mit einer endlichen Menge füllen. Der englische Wiki meinte nur, dass (1) auf der Außenfläche z.B. nicht möglich ist. (2) ist natürlich auch auf der Außenfläche möglich.

PS: Ja die Erklärung im deutschen Wiki ist wirklich sehr schlecht, genau darum hatte ich auch den englischen verlinkt. (Es empfiehlt sich eh oft nochmal ins englische Wiki zu schauen bei Fragen. Meist ist es deutlich besser.)

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

Meine Meinung nach die Antwort ist recht einfach.
Da das Gabrielshorn dort wo seine Fläche unendlich sein soll, so dünn ist wird kein Kapillareffekt ausreichen um dort beim Füllen des Horns die Farbe tatsächlich an diese unendliche Fläche ankommt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Meine favorisierte Sichtweise ist die Mathematik.

Ich bezeichne mit H den räumlichen Bereich, sowie mit \partial H dessen Oberfläche; dann gilt für die Oberfläche S sowie das Volumen V

Das Volumen der Farbe bei unendlich dünnem Auftragen ist jedoch

(Das Volumen einer Fläche ist Null)

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Klondijk457 · Gast

Hallo,
ich muss mir die Kommentare erst noch durchlesen, darum nur für den Fall nicht wundern, dass ich noch auf nichts eingehe.. (könnte auch noch 'nen Minütchen dauern).

Aber hier noch eine Sichtweise:
Mal angenommen das Benetzen kommt dem Bemalen gleich.
Jetzt füllen wir das Horn mit Farbe bis zum Rand (damit meine ich natürlich die komplette begrenzende Fläche).
Und nun kippen wir die Farbe wieder zurück in den Farbeimer. Das Horn ist bemalt und dennoch habe ich Farbe im Eimer übrig.
Das läuft wieder auf das bemalen der Fläche mit egal welcher Menge Frabe (auch "so gut wie keine") hinaus...

Könnt ihr mir die Sichtweisen der Übersicht halber evtl. bezüglich ihrer Qualität bzw. der Verträglichkeit mit der öffentlichen Meinung kommentieren?? Bzw. welche davon gefallen mehr welche weniger/ sind einfach falsch..?!

MfG,
Klondijk457

Klondijk457 · Gast

Ach sehr schön.
So habe ich mir das auch erklärt.
So wie ich das sehe gibt es 2 Wege. Wir "mathematisieren", oder wir "physikalisieren".
Möglichkeit 1: (Problem umgehen) unendliche Flächen anzumahlen dauert... seeehr, vielmehr unendlich, lange. Ist also unmöglich.
Mgl.2:(Problem umgehen) unendliche Flächen gibt es erst garnicht.
Mgl.3: "konvergenz rückwärts" Damit meine ich das genügend schnelle Abnehmen der Schichtdicke.

Aber wie passen meine anderen Anschauungsversuche dazu?!

PS.: Dinge wie der Kapillareffekt sollten nicht direkt als Erklärungsversuch gelten, sondern nur der Anschauung dienen..

Klondijk457 · Gast

..es ist schon spät...
Was ich noch sagen wollte:
So wie ich dich, TomS, verstehe möchtest du nur zeigen, dass das Farbschichtvolumen Null ist.
Allerdings war die Farbschicht ja bevor sie aufgebracht wurde eine Farbmenge, damit meine ich ein Volumen ungleich Null.
Das passt ja nicht, außer wenn man davon ausgeht, dass man eine unendliche Fläche mit jeder Farbmenge streichen kann auch mit einer Menge V=0.
Aber ob das nicht schon das nächste Paradoxon darstellt...?! (siehe meine letzten Überlegungen..)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Ich sage nur, was mathematisch eigtl. eh' klar sein sollte: das Volumen einer Fläche ist Null (genauso wie die Länge eines Punktes Null ist); das ist reine Mathematik

Ich erkläre damit das Problem noch nicht physikalisch.

Klondijk457 · Gast

Ja gut, das ist wie du selbst sagst eh klar. Daher weiß ich nicht wie uns das in der Anschauung weiter bringt.
Bin ich der einzige, der noch nicht ganz zufrieden ist?!
Oder darf ich das als eine Bestätigung meiner Interpretation ansehen? -Dann wäre alles im grünen Bereich.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Es ist ganz einfach.

Wenn du nun das Volumen der Farbe berechnen möchtest, das du zum Anstreichen benötigst, dann musst du eine Schichtdicke der Farbe ansetzen.

Bei konstanter Schichtdicke

gilt

Konstante Schichtdicke funktioniert aber nur außen!

Wenn du das Horn innen ausmalen möchtest, dann kann die Schichtdicke ja nur maximal so groß sein wie die Weite des Horns es zulässt; und damit geht die verfügbare Schichtdicke im Unendlichen gegen Null.

Nun hast du folgende Möglichkeiten:

Wenn du es schaffst, das Horn im Unendlichen mit einer unendlich dünnen Schicht Farbe anzumalen, dann schaffst du das auch im Endlichen; also lässt du die Schichtdicke a(x) „geeignet“ gegen Null gehen; damit folgt so etwas wie

Die benötigte Menge an Farbe hängt somit von der Schichtdicke ab. Damit kannst du jetzt rumprobieren.

Aber du kannst die Schichtdicke natürlich nach oben abschätzen. Maximale Schichtdicke erreichst du, wenn du das Horn gerade mit Farbe auffüllst, d.h. wenn die Schichtdicke gerade dem Radius R(x) des Horns entspricht. Also

Das führt aber gerade wieder auf das Volumen

Zusammenfassend gilt für die Farbmenge, die du zum Ausmalen innen benötigst

Alles prima.

Klondijk457 · Gast

So weit so gut.
Das ist das was ich mit "konvergenz rückwärts" gemeint habe. Zugegeben schöner formuliert.

Kannst du mir noch eine letzte Einschätzung geben um das abzuschließen?
Ist jetzt eher mahematischer Natur.
Du sagst ja, dass

gilt, um die innenseite zu bemalen.

Würdest du sagen, dass die Behauptung auch für

noch zutrifft?
Oder sollte es eher heißen:

Ich will mich nicht über die Existenz von Schichtdicken

auslassen. Wie gesagt eher mathematisch gesehen. Flächen haben auch keine Dicke und existieren dennoch.

Das Ende ist nah, also schonmal besten Dank an alle Mitwirkenden.

PS. Ich kann keine Latex-Formeln mehr kopieren. Ist das normal oder liegts an "No-Script" (obwohl deaktiviert)??

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Das ist übrigens nicht ganz so einfach, da die maximale Schichtdicke nicht durch den Radius begrenzt ist; das würde ja nur gelten, wenn y(x) = const wäre. Dazu muss ich mir nochmal die genaue Geometrie des Problems anschauen. Ich bin mir aber bzgl. der grundsätzlichen Argumentation sicher

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

@Klondijk457, deinen letzten Beitrag verstehe ich nicht so ganz

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723