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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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 TryingToUnderstandIt Verfasst am: 05. Dez 2022 15:23 Titel: Methode der Spiegelladung (Kugel) |
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Meine Frage:
Hallöchen mal wieder,
Hier habe ich eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiß, welchem Forum sie angehört und die ich nicht richtig lösen kann. Es geht um folgendes:
Betrachten Sie eine geerdete Metallkugel mit Radius R um den Ursprung in d = 3 Raumdimensionen. Im Abstand x0 vom Ursprung, wobei  , wird eine Punktladung q platziert.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Spiegelladungen das Potential ? außerhalb der Kugel. Gehen Sie dafür wie folgt vor:
a) Stellen Sie das Potential phi der Punktladung q auf.
Die Position und Ladung der Spiegelladung kann durch "Spiegelung an der Kugeloberfläche", auch Inversion an der Sphäre genannt, berechnet werden. Die zugrundeliegende mathematische Operation der Inversion an einer Sphäre mit Radius R nennt sich Kelvin-Transformation. Dabei wird der Punkt x auf den Punkt  abgebildet. Eine Funktion f(x) transformiert unter Kelvin-Transformation wie
 -> \overline{f}(x) = \frac{R^{d-2}}{|x|^{d-2}}f(\frac{R^2}{|x|^2}x)) .
Unter einer Kelvin-Transformation wird ein Punkt außerhalb der Sphäre auf einen Punkt innerhalb der Sphäre abgebildet und vice versa. Ein Punkt auf der Sphäre wird auf sich selbst abgebildet.
Um die Position und Stärke der Spiegelladung zu berechnen, ist die Kelvin-Transformation sehr nützlich. Denn die Kelvin-transformierte des Potentials phi aus a) gibt genau das Potential der Spiegelladung, die sich innerhalb der Sphäre befindet. Darüber hinaus ist phi überall außer bei x0
harmonisch. Damit ist die Kelvin-transformierte  überall harmonisch außer bei  . Da die Lösung der Poisson-Gleichung eindeutig ist und phi und phi' auf der Kugeloberfläche gleich sind, ist das Potential außerhalb der geerdeten Metallplatte gegeben durch ) .
Berechnen Sie das Potential außerhalb der geerdeten Metallplatte nun in folgenden Schritten.
b) Berechnen Sie die Kelvin-transformierte von phi Bezeichnen Sie diese als .
c) Zeigen Sie, dass die Kelvin-transformierte einer allgemeinen harmonischen Funktion f auf  wieder harmonisch ist. Wählen Sie der Einfachheit halber d = 3, rechnen Sie in Index-Notation und bedenken Sie Produkt- und Ketten-Regeln. Beachten Sie, dass  , wobei i = 1, 2, 3.
d) Zeigen Sie, dass  auf der Metallkugel
e) Schreiben Sie nun so um, dass ersichtlich wird, dass das Potential einer Punktladung der Stärke  bei  entspricht. Eine Möglichkeit ist es, dafür die Relation
} )
zu nutzen, wobei theta den Winkel zwischen y und y0 bezeichnet.
Hinweis: Der Winkel theta zwischen ay und y0 ist der gleiche wie zwischen y und y0.
f) Geben Sie das Potential phi außerhalb der geerdeten Kugel an.
Meine Ideen:
Ein paar Ansätze habe ich dennoch:
a): Hier habe ich für das Potential:
 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} (\frac{q}{|r \vec{e_{r}} - r_{0} \vec{n} |}) + (\frac{q'}{|r \vec{e_{r}} - r_{1} \vec{n} |}))
d) Das gilt, weil sich die Spiegelladungen genau dort 'auslöschen', also im Potential.
Ich bedanke mich wie immer für jede Hilfe oder jeden Ansatz, weil ich komplett überfragt bin, was ich machen soll. Ich hab zwar einige Formeln vor mir liegen, kann sie aber nicht wirklich der jeweiligen Aufgabe zuordnen 
Zuletzt bearbeitet von TryingToUnderstandIt am 05. Dez 2022 18:25, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 05. Dez 2022 15:56 Titel: |
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Ich hab den LaTeX-Kram mal repariert. Die Lösung ist allerdings nicht richtig. (Aufgabenstellung genau lesen)
Ich weiß nicht genau, wie man Dir helfen kann. Es steht ja genau da, was machen soll und wie man dafür vorgehen soll. Wo hakt es denn?
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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| TryingToUnderstandIt Verfasst am: 05. Dez 2022 18:23 Titel: |
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Also erstmal danke, jh8979, für deine Antwort. Sorry wegen dem LaTeX-Kram. Ich hab auch nochmal drübergeschaut und alles Verbessert, was ich gefunden habe.
Zu deiner Frage, wo es gerade nicht läuft:
Die a) und b) bekomme ich, glaube ich, noch hin. Auch wenn mein derzeitiges Potential noch einen Fehler habe, sind die beiden Teilaufgaben zumindest ehrlich oder weniger klar. Ein Problem gibt es allerdings bei c) -f).
Mal zur c): Mit d=3 gilt:  = \frac{R}{| \vec{x} |} * f( \frac{R^2}{| \vec{x} |} x) )
Ist eine Fkt. Harmonisch, ist der Laplaceoperator auf diese angewendet = 0. Also:
 = f \Delta \frac{R}{|\vec{x}|} + \frac{R}{|\vec{x}|} \Delta f ) Der zweite Term wird dabei zwar 0, aber Laplace f' ist dennoch nicht = 0 also nicht harmonisch, was ja eigentlich gelten sollte. Ich muss also irgendwo etwas flasch gerechnet haben, kann aber nicht sagen wo, weil es für mich richtig aussieht.
Zu d): Hier scheint meine Begründung nicht richtig zu sein
Zu e): Hier muss ich zugeben, dass die angegebene Relation für mich nirgends in die Kelvin-Trafo reinpasst
Zu f): Hier hätte ich angenommen, dass das Potential außerhalb der Kugel das negative vom Potential innerhalb der Kugel sein sollte, wegen der Spiegelladungseigenschaft. Dass ist aber zu einfach gedacht, hatte ich das Gefühl.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 05. Dez 2022 18:41 Titel: |
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a) Ist einfacher als Du Denkst (genau lesen).
b) Ist dann Definition der Transformation anwenden.
c) Der erste Term ist tatsächlich auch Null, aber müssten da nicht noch Kreuzterme stehen oder hast Du die schon behandelt? Für den Laplace-Operator gilt die Produktegel nicht so einfach wie es da bei Dir aussieht.
Mach doch mal was da steht: "Wählen Sie der Einfachheit halber d = 3, rechnen Sie in Index-Notation und bedenken Sie Produkt- und Ketten-Regeln."
d) Auf der Metallkugel ist |x| = R. Wenn bis hierhin alles glatt lief, sollte man das durch einsetzen dann sehen. Vllt muss man noch bisschen rumschieben.
e) Hier ist es evtl hilfreich von vorne und hinten gleichzeitig anzufangen und gucken wo man sich trifft. Dort steht ja was rauskommen soll.
f) Jetzt setzen wir zusammen was hier in a-e gemacht haben und erhalten eine ausserhalb der Kugel harmonische Funktion (ausser im Punkt der Ladung), die auf der Kugel 0 ist.
(Ist eigentlich ne ziemlich schöne Aufgabe.)
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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| TryingToUnderstandIt Verfasst am: 05. Dez 2022 19:23 Titel: |
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Schön, dass dir die Aufgabe gefällt. Ich scheine etwas auf dem Schlauch zu stehen,, sonst würde ich sie genauso genießen 
Also nochmal zur a): Willst du darauf hinaus, dass das Potential 0 ist, weil die Kugel geerdet ist, weil dass eigentlich nicht stimmen kann, wenn die Ladung in der Kugel ist.
Zur c): Kreuzterme ? Der Laplace wird doch hier Skalarmultipliziert oder nicht ?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 05. Dez 2022 19:36 Titel: |
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| TryingToUnderstandIt hat Folgendes geschrieben: |
Also nochmal zur a): Willst du darauf hinaus, dass das Potential 0 ist, weil die Kugel geerdet ist, ...
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Nein, das ist erst das ultimative Ziel. Erstmal steht da "Potential phi der Punktladung q".
| Zitat: |
Zur c): Kreuzterme ? Der Laplace wird doch hier Skalarmultipliziert oder nicht ? |
Führ die Ableitungden doch mal aus. So wie es in der Aufgabenstellung steht.
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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| TryingToUnderstandIt Verfasst am: 05. Dez 2022 20:49 Titel: |
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Ok, also:
Zur c): Wenn ich einfach stupide die Ableitungen nach den Angaben der Aufgabe berechne komme ich auf:
Mit dem Laplace in 2-D (sollte ich annehmen können, wenn ich die Indizes erstmal verallgemeinere) komme ich dann auf folgendes:
}{4*(x_{i}x^i)^{5/2}} )
Produkt- und Kettenregel natürlich beachtet. Ich habe den Betrag von x umgeschrieben in die Wurzel, wie in der Aufgabe gegeben, aber es kommen trotzdem keine Kreuzterme bei mir raus. Auch i einsetzen soll man laut der Aufgabenstellung nicht, also bin ich überfragt 
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 05. Dez 2022 21:16 Titel: |
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Wo ist denn die Funktion f hin?
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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| TryingToUnderstandIt Verfasst am: 05. Dez 2022 21:29 Titel: |
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Der Laplace auf die Funktion f soll bei harmonischen Funktionen doch = 0 sein, also ist nur noch der Laplace auf R/|x| zu berechnen und dass dann mal f. (Der 2. Term bei meiner vorherigen Rechnung.
Wir hatten es immer so, dass der Operator auf das rechts von ihm operiert, also ist das f erstmal zu vernachlässigen
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 05. Dez 2022 21:34 Titel: |
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Du kannst jetzt mit deinem Raten weitermachen, oder Du machst einfach mal was da steht und leitest vernünftig ab:
 \neq (\Delta u) v + u (\Delta v))
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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| TryingToUnderstandIt Verfasst am: 05. Dez 2022 22:07 Titel: |
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Also jh8979 ich danke dir schonmal, dass du dir die Zeit für mich genommen hast  . Ich kann verstehen, dass es etwas frustrierend sein kann, wenn der Gegenüber nichts wirklich versteht oder zumindest nicht macht, was für dich vielleicht offensichtlich ist.
Das Beste wird wohl sein, dass ich einfach die ÜG abwarte und dann die Lösung hier reinschreibe, für alle, die es nicht so verstanden haben als Bereicherung und für alle, die es verstanden haben als Bestätigung
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 05. Dez 2022 22:29 Titel: |
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Ich wiederhole mich:
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
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Leite doch einfach den Ausdruck zweimal ab, Stück für Stück. Erst einmal ableiten (Produkt- und Kettenregel beachten), dann den ganzen Kram noch einmal ableiten.
Einfaches 1-dim Gegenbeispiel:
 = \partial_x^2 (x \cdot x) \neq (\partial_x^2 x) \cdot x + x \cdot (\partial_x^2 x) = 0 )
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