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Methode der Greenschen Funktionen
 
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TryingToUnderstandIt



Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58

Beitrag TryingToUnderstandIt Verfasst am: 09. Apr 2024 18:04    Titel: Methode der Greenschen Funktionen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo mal wieder an die Physiker,

Heute habe ich eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme. Hauptsächlich, weil ich mir noch nicht ganz im Klaren bin, wie ich die Greensfunktion für ein gegebenes Problem herleiten kann. In der Aufgabe geht es um die Berechnung des Potentials und des elektrischen Feldes auf der z-Achse für einen homogen geladenen Ring mit Gesamtladung Q. (Genaueres dazu im Anhang)

Meine Ideen:
Also zu meinen Ansätzen: Um das Potential zu berechnen benutze ich die Formel:



Da es ein homogen geladener Ring ist, habe ich die Ladungsdichte gleichmäßig entlang des Umfangs des Rings angenommen, also definiert als: .
Jetzt fehlt nur noch die Greensfunktion, von der ich zwar weiß, dass sie die Poisson-Gleichung:

erfüllen soll, allerdings noch nicht so wirklich, wie ich das Ganze auf das Problem projezieren kann. Wenn mir dabei also jemand helfen könnte, wäre ich dem-/derjenigen sehr dankbar Big Laugh



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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Apr 2024 22:45    Titel: Antworten mit Zitat

Also das heißt, du weißt nicht, wie du die Greensche Funktion berechnen sollst.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586

Beitrag jh8979 Verfasst am: 09. Apr 2024 23:12    Titel: Antworten mit Zitat

Das schöne an der Methode mit der Greenschen Funktion G ist ja, dass G nur von dem Differentialoperator (hier: ∆) und den Randbedingungen abhängt, nicht von der Inhomogenität der DGL (hier die Ladungsverteilung).
TryingToUnderstandIt



Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58

Beitrag TryingToUnderstandIt Verfasst am: 10. Apr 2024 10:49    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Also das heißt, du weißt nicht, wie du die Greensche Funktion berechnen sollst.


Genau Big Laugh. Das war ja die ursprüngliche Frage gewesen. Ich hab den Übergang zu Kugelkoordinaten noch nicht so wirklich nachvollziehen können und gehofft, dass anhand des Beispiels jemand dazu vielleicht eine Erklärung liefern könnte oder zum generellen Vorgehen beim Lösen der Gleichung.

Zwar hab ich eine Formulierung für den Dreidimensionalen Fall mit Differentialoperator gegeben:



Allerdings glaube ich nicht, dass einfaches Auswendiglernen weiterhilft, wenn es später um einen 2-Dim oder 4-Dim Fall geht oder der Differentialoperator ein anderer ist. Deswegen die Frage an euch (vor Allem auch, weil im internet dazu kaum irgendwas zu finden ist)
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586

Beitrag jh8979 Verfasst am: 10. Apr 2024 22:07    Titel: Antworten mit Zitat

TryingToUnderstandIt hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Also das heißt, du weißt nicht, wie du die Greensche Funktion berechnen sollst.


Genau Big Laugh. Das war ja die ursprüngliche Frage gewesen.

Eigentlich klang Deine Frage, nach einem ganz speziellen Anwendungsfall der Greenschen Funktion. Wenn ich es richtig sehe, kannst Du zumindest diesen mit Deinen Mitteln lösen. Ist das korrekt?
Zitat:

Allerdings glaube ich nicht, dass einfaches Auswendiglernen weiterhilft, wenn es später um einen 2-Dim oder 4-Dim Fall geht oder der Differentialoperator ein anderer ist.

Generell, ist es in der Tat nicht trivial eine Greensche Funktion für ein Problem zu finden. Für die "gängigen" (i.e. analytisch lösbaren) Fälle in der Elektrostatik gibt es meist einen recht einfachen Trick: Spiegelladungen.

Mehr Details dazu, findest zu (im Beispiel von 2D, aber 3D geht ähnlich) z.B. hier:
https://ocw.mit.edu/courses/18-303-linear-partial-differential-equations-fall-2006/064b7e5d9e3296ab2219e44c53f7a1b5_greensfn.pdf

Kompliziertere Prombleme lassen sich oft nur über unendliche Summen lösen. Bei ausreichender Symmetrie des Problems, ist es hierbei hilfreich vollständige Funktionensysteme in verschiedenen Koordinaten zu kennen.
(Im Jackson gibt es viele Probleme dieser Art, z.B: 3rd ed., 3.12, 3.17, 3.22)
(und ja: die sind nicht einfach smile )


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 11. Apr 2024 07:55, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Apr 2024 06:20    Titel: Antworten mit Zitat

Sehe ich auch so.

Bzgl. der Symmetrie: man muss außerdem die der Randbedingungen mit berücksichtigen; so erhält man für den selben Differentialoperator bei unterschiedlichen Randbedingungen auch unterschiedliche Greensche Funktionen.

Hilfreich ist oft die Betrachtung im Impulsraum, d.h. die Darstellung als Fourierintegral, alternativ wie oben gesagt die Betrachtung anderer, der Symmetrie angepasster vollständiger Funktionensysteme.

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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5914

Beitrag Myon Verfasst am: 11. Apr 2024 20:17    Titel: Antworten mit Zitat

Vielleicht nochmals zur konkreten Aufgabe. Ich denke, hier geht es nur um das grundsätzliche Vorgehen anhand eines Beispiels.

Eine Greensche Funktion zum Laplace-Operator ist schon bekannt: Betrachtet man die Poisson-Gleichung



für eine Punktladung Q an der Stelle r', erhält man



Die Funktion



ist also eine Greensche Funktion zum Laplace-Operator. Randbedingungen müssen keine erfüllt werden.

Um nun über



das Potential zu berechnen, wird aber noch die Ladungsverteilung rho(r) benötigt. Das rho im ersten Beitrag ist noch nicht die Ladungsverteilung, sondern die Linienladungsdichte (Ladung pro Länge) des Rings.
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