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1D-Schrödingergleichung: Eigenwerte und -funktionen?
 
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Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 20. Mai 2014 17:37    Titel: 1D-Schrödingergleichung: Eigenwerte und -funktionen? Antworten mit Zitat

Hallo ihr Lieben,

brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Für gebundene Zustände der 1D-Schrödingergleichung gilt:
- keine Entartung
- Eigenfunktionen können immer reell gewählt werden
Zeigen Sie, dass diese beiden Eigenschaften gelten.

Ich weiß, dass für "keine Entartung" die Eigenwerte nicht mehrfach auftreten dürfen. Außerdem müssen die Energien immer unterhalb der Potentialwand bleiben, da gebunden.

Problem ist bei mir jetzt der Ansatz.
Könnt ihr mir bitte beim Ansatzfinden helfen? Ohne einen solchen kann ich ja leider nicht mal versuchen irgendetwas zu rechnen.

Grüße
Sunny
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 20. Mai 2014 21:15    Titel: Antworten mit Zitat

Der Ansatz ist, zu Verwenden, dass es sich bei der 1-D SGL um eine gewöhnliche Differentialgleichung handelt. Für gewöhnliche DGL gibt es sehr viele mathematische Sätze, wie z.b. Eindeutigkeit der Lsg., was dir bei der ersten Aussage behilflich sein sollte.
Jayk



Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450

Beitrag Jayk Verfasst am: 20. Mai 2014 23:11    Titel: Antworten mit Zitat

Jannick hat Folgendes geschrieben:
Der Ansatz ist, zu Verwenden, dass es sich bei der 1-D SGL um eine gewöhnliche Differentialgleichung handelt.


Du meinst sicher die stationäre Schrödingergleichung.
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 21. Mai 2014 09:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ja richtig ich bin jetzt schon von der stationären SGL ausgegangen.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Mai 2014 11:50    Titel: Antworten mit Zitat

Der erste Teil ist Aufgabe 2.42 in Griffiths. Ich geb Dir mal die Tipps, die er gibt:
* Nimm an es gäbe zwei Lösungen mit derselben Energie.
* Multipliziere die Schroedingergleichung von mit und umgekehrt.
* Bilde die Differenz und zeige dass konstant ist
* Nutz aus, dass die Funktionen im Unendlichen verschwinden um zu zeigen, dass die Konstante Null ist.
* Zeige dass daraus folgt, dass die beiden Wellenfunktionen proportional zu einander sind.

PS: Man muss annehmen, dass das Potential nicht aus Teilen besteht, die durch unendlich hohe Barrieren getrennt sind. Dann ist die Aussage nämlich falsch.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 23. Mai 2014 13:33    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

danke für die Antworten.

Hab jetzt mal mit den Griffiths-Tips das ganze versucht:

Die 1D-SGL lautet:



dann folgt:



Multiplikation:



Nun komme ich nach Differnezbildung und Ableiten nach x aber zu folgendem und weiß nicht weiter, wie ich zeigen soll, dass es 0 ist:



Wie zeige ich das? Oder wo steckt der Fehler?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Mai 2014 13:35    Titel: Antworten mit Zitat

Wieso leitest du in der letzten Zeile nochmal ab?
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 23. Mai 2014 17:24    Titel: Antworten mit Zitat

Na, weil ich doch zeigen soll, dass dies konstant ist. Dachte, dass ich dann einfach Ableite.

Wie sollte ich denn das sonst machen? Etwas anderes viel mir nicht ein.
Kannst du mich erhellen?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Mai 2014 17:46    Titel: Antworten mit Zitat

Die Größe von der Du zeigen sollst, dass Sie konstant ist, ist nicht die Differenz von vorher, sondern enthält nur Ableitungen erster Ordnung. Leite die doch mal ab, dann kommst Du vllt dadrauf wie das mit dem ganzen Kram vorher zusammenhängt.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 23. Mai 2014 17:51    Titel: Antworten mit Zitat

Verstehe leider nicht so recht, was du meinst.

Wenn ich die Differenz bilde kommt doch genau der Ausdruck raus, den du da schreibst (von den Vor-Konstanten mal abgesehen).

Kannst du mir das bitte zeigen?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Mai 2014 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

Es geht darum, dass dieser Ausdruck hier Kontakt ist :

Die Gleichung die Du nach multiplizieren der SG und Differenzbilden erhaelst ist
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 23. Mai 2014 18:14    Titel: Antworten mit Zitat

Und wie zeige ich das dann?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Mai 2014 21:27    Titel: Antworten mit Zitat

Leite doch mal den Ausdruck der konstant sein soll ab.. dann siehst du wie das aus der Rechnung vorher folgt...
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 24. Mai 2014 10:29    Titel: Antworten mit Zitat

Ach so! Ja nun hat es geklappt. Jetzt ergab auch der Hinweis mit dem "im Unendlichen verschwinden" Sinn.

Man zeigt einfach die Gleichheit der ausdrücke und mit dem Unendlichen muss die Konstante 0 sein. Dann noch der ln und ln-Gesetzte und man hat stehen, dass die Wellenfunktionen gleich sind.

Wiederspruch zur Annahme der zwei Lösungen, also keine Entartung. Perfekt.

Und wie zeige ich, dass man die Eigenfunktionen immer reell wählen kann bei der 1D-SGL?
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 25. Mai 2014 16:23    Titel: Antworten mit Zitat

Hi Ihr Lieben,

Meine Frage im letzten Post hat sich erübrigt.

Aber ich würde gerne folgendes noch wissen:

Was bedeuten diese beiden Eigenschaften
- Keine Entartung
- immer Reell wählbare Wellenfunktion
für das freie Teilchen?
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