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Eigenwerte einer Schwingung
 
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MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 03. Nov 2014 12:43    Titel: Eigenwerte einer Schwingung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallöchen,

ich hab da mal ne Frage zu den Eigenwerten von Schwingungen, ganz explizit zu einer Aufgabe. Ich soll die Eigenschwingungen von drei Massen berechnen, die jeweils an zwei Federn hängen. Die Schwingung sei dabei auf die x-Richtung beschränkt. Hoffe, es ist klar, wie das aussehen soll :)

Meine Ideen:
Ich habe mir dann folgende Matrix hergeleitet:



wobei D die Federkonstante und m die Masse ist.

Und jetzt soll ich setzen um die Eigenwerte zu bestimmen. Das verwirrt mich allerdings. Darf ich das einfach ersetzen und in meiner Matrix dann die Entsprechung einsetzen?
Stehe grade auf dem Schlauch und freue mich auf Hilfe smile
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2014 13:26    Titel: Antworten mit Zitat

Wie bestimmt man denn die Eigenwerte einer Matrix?
MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 04. Nov 2014 14:52    Titel: Antworten mit Zitat

So, komme erst jetzt wieder zum Schreiben, sorry.
Eigenwerte bestimmt man beispielsweise über das charakteristische Polynom. Es gilt ja so generell:



Wobei x dabei der Eigenvektor und Lambda der Eigenwert ist.
Daraus kann man dann das chrakteristische Polynom bestimmen, welches sich aus der Determinante ergibt ( =0 setzen)

In meinem Beispiel hätte ich aber ja nicht


sondern:



Ist das dasselbe?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Nov 2014 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, in Deinem Beispiel willst Du die Eigenwerte und -vektoren finden, weil die DGL in dieser Eigen-Basis entkoppeln...
MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 04. Nov 2014 17:04    Titel: Antworten mit Zitat

Was dann bedeutet? Irgendwie weiß ich jetzt nicht, was du meinst. grübelnd
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Nov 2014 17:14    Titel: Antworten mit Zitat

Deine DGL lautet

Jetzt willt Du die Eigenwerte und -vektoren finden. Denn bezüglich dieser Eigenbasis y_i, sieht die DGL dann so aus

Du hast also drei entkoppelte DGLs die Du leicht lösen kannst. Wenn Du willst kannst Du dann wieder zurück auf die x_i transformieren um die Lösungen x_i zu erhalten.
MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 04. Nov 2014 17:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ah, okay, warte mal... Ich kann aber doch dann das hier machen, oder:





Und dann hab ich ja zumindest mal nen Ansatz... gehts in die richtige Richtung? smile
MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 04. Nov 2014 17:27    Titel: Antworten mit Zitat

war grad noch am tippen, und hab deine Antwort erst danach gesehen. Meinst du das mit der Ersetzung durch y, was ich oben geschrieben habe?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Nov 2014 17:30    Titel: Antworten mit Zitat

Sobald Du die Eigenbasis hast, kannst Du die entkoppelten DGLs für y mit Deinem Ansatz lösen... aber dafür musst Du die DGLs für die x erst entkoppeln, indem Du die Eigenbasis ausrechnest.

PS: Hier wird das mal durchgeturnt an einem Beispiel:
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_differential_equation#Solved_example_of_a_matrix_ODE
MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 04. Nov 2014 17:39    Titel: Antworten mit Zitat



Da kann ich das e jetzt rausnehmen, richtig? Also:



Das sieht ja dann schon nach Eigenwertgleichung aus... aber ich weiß grade echt beim besten Willen nicht, was du mit Enkoppeln meinst :/
MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 04. Nov 2014 17:43    Titel: Antworten mit Zitat

Bzw. nach den bisherigen Rechenvorschriften, die ich so zum Bestimmen von Eigenwerten kennen gelernt habe:

MaxderMathematiker
Gast





Beitrag MaxderMathematiker Verfasst am: 04. Nov 2014 17:53    Titel: Antworten mit Zitat

Das wiederum bedeutet ja dann:


Und wenn ich das gelöst habe, müsste es drei Lösungen für geben, richtig`?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Nov 2014 17:56    Titel: Antworten mit Zitat

Entkoppeln = DGLs so umformen, dass man drei unabhängige DGLs kriegt.

Das ist hier Gleichbedeutend mit Eigenwerte und -vektoren bestimmen (siehe auch Link). Und bei einer diagonalisierbaren 3x3 Matrix gibt es davon 3...
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