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harmonische Schwingung
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Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 17:11    Titel: harmonische Schwingung Antworten mit Zitat

Berechne aus der Gleichung für die harmonische Schwingung durch Differenzieren die Geschwindigkeit und die Beschleunigung.

y = yo x sin x (2pi x t/T)
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 17:17    Titel: Re: harmonische Schwingung Antworten mit Zitat

Anita hat Folgendes geschrieben:
Berechne aus der Gleichung für die harmonische Schwingung durch Differenzieren die Geschwindigkeit und die Beschleunigung.

y = yo x sin x (2pi x t/T)


Kannst du die Funktion

f(x) = a * sin(b*x)

ableiten? (Wenn ja, mach das mal!)

Das ist nämlich genau dasselbe, nur dass die Variable x hier t heißt,
und die Konstanten a=yo und b = 2 pi /T sind.
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 17:21    Titel: Re: harmonische Schwingung Antworten mit Zitat

[quote="dermarkus"]
Anita hat Folgendes geschrieben:
Berechne aus der Gleichung für die harmonische Schwingung durch Differenzieren die Geschwindigkeit und die Beschleunigung.

y = yo x sin x (2pi x t/T)


Kannst du die Funktion

f(x) = a * sin(b*x)

y = 0 x (-cos) x t/T

Stimmt das so???
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 26. Feb 2006 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

nee, leider nicht unglücklich

Also: y0 ist eine Konstante und die Ableitung von Sinus ist Kosinus, nicht minus Kosinus. Und dann stimmt das auch mit der inneren Ableitung leider noch nicht...
Mache erstmal die innere Ableitung, leite also einfach mal die Funktion:

nach t ab. Was bekommst Du da raus?

Gruß
Marco
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 17:35    Titel: Antworten mit Zitat

keine Ahnung
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 17:40    Titel: Antworten mit Zitat

dann leite einfach mal die Funktion

f(x) = b*x

nach x ab. Was bekommst du da raus?
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 17:43    Titel: Antworten mit Zitat

[quote="dermarkus"]dann leite einfach mal die Funktion

f(x) = b*x

f(x)=x
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 17:47    Titel: Antworten mit Zitat

Uups, dann hast du noch nicht verstanden, was wir mit diesen Worten meinen.

Wenn ich f(x) = b* x nach x ableite,

dann heißt das, x ist die Variable, und alles andere ist konstant.

Also ist die Ableitung von f(x) = b*x nach x :

f'(x) = b.



Nächste Frage:

Was ist die Ableitung von

f(x) = a * sin(x)

wenn du nach x ableitest?
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 26. Feb 2006 17:48    Titel: Antworten mit Zitat

ok, und jetzt:

wobei die 2pi/T genau so konstant sind wie das b von dermarkus.

Gruß
Marco
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 17:49    Titel: Antworten mit Zitat

Also ist die Ableitung von f(x) = b*x nach x :

f'(x) = b.

Was ist die Ableitung von

f(x) = a * sin(x)

f(x) = a x cos
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 17:51    Titel: Antworten mit Zitat

Fast. Und was steht nach wie vor in der Klammer von dem Cosinus?
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

f(x) = b x cos(x)
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 17:53    Titel: Antworten mit Zitat

Tschuldige:

Anita hat Folgendes geschrieben:
f(x) = a x cos(x)
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 26. Feb 2006 17:58    Titel: Antworten mit Zitat

das sieht ja schon mal viel besser aus
allerdings nicht "f(x) =" schreiben, wenn Du die Ableitung meinst, sondern "f'(x) ="
Und jetzt noch das ganze mit der inneren Ableitung multiplizieren.

Gruß
Marco
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 17:59    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt.

Jetzt kennen wir die äußere Ableitung,
wir wissen also, dass die Ableitung von
f(x) = a*sin(x)
f'(x) = a*cos(x) ist.

Und wir kennen die innere Ableitung,
wir wissen also, dass die Ableitung von
f(x) = b*x
f'(x) = b ist.

-----------------------

Jetzt zum gesamten Ausdruck:
f(x) = a*sin(b*x)

Weil jetzt in der Klammer vom Sinus nicht x, sondern b*x steht, musst du beim Berechnen der Ableitung zusätzlich mit der inneren Ableitung multiplizieren, also:

gesamte Ableitung = (äußere Ableitung) * (innere Ableitung),

also

f'(x) =( a * sin(b*x) ) * ( b )

Was ist also dieses f'(x), wenn du es zuende ausrechnest?


Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 26. Feb 2006 18:02, insgesamt einmal bearbeitet
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:00    Titel: Antworten mit Zitat

f´(x) = a x cos(x) x b

so jetzt richtig
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 26. Feb 2006 18:02    Titel: Antworten mit Zitat

Und jetzt noch das b in die Klammer vom Kosinus! Dann sieht's schon mal ganz gut aus!

Wie geht das jetzt aber mit t und 2pi/T und so? Bekommst Du das schon hin?

Gruß
Marco
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:03    Titel: Antworten mit Zitat

f'(x) =( a * sin(b*x) ) * ( b )

f´(x) = ab x sinb²x
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 26. Feb 2006 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

Vorsicht:

Zitat:
f´(x) = a x cos(x) x b


Die Ableitung von



ist



Edit: Sorry: ich dachte das mal ist bei dir ein x smile

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Niels Bohr


Zuletzt bearbeitet von schnudl am 26. Feb 2006 18:12, insgesamt einmal bearbeitet
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 18:12    Titel: Antworten mit Zitat

Anita hat Folgendes geschrieben:

f´(x) = ab x sinb²x


Hoppla, nein, da sind Umformungsfehler drin! Den Faktor b kannst du einfach statt hinter den cosinus vor den Cosinus schreiben.

Wenn du das b vor dem x in der Klammer nicht vergisst und die Faktoren a und b übersichtlich vor den Cosinus schreibst, dann sieht das so aus:

f´(x) = a *b* cos(b*x)

Wenn du jetzt weißt, dass im ursprünglichen Problem die Variable nicht x, sondern t heißt,
und wenn du statt den Konstanten a und b die Konstanten verwendest, die da stehen, was bekommst du dann für die Ableitung von der ursprünglichen Funktion?


Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 26. Feb 2006 18:21, insgesamt einmal bearbeitet
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:13    Titel: Antworten mit Zitat

Hääää
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 26. Feb 2006 18:17    Titel: Antworten mit Zitat

Anita hat Folgendes geschrieben:
Hääää

vergiss was ich geschrieben habe...

du verwendest das x nach ab wohl als "multiplikation":
f´(x) = ab x sinb²x

deshalb war ich verwirrt. Aber trotzdem denke ich dass was noch nicht stimmt.

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dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 18:17    Titel: Re: harmonische Schwingung Antworten mit Zitat

Ein Tipp zum rechnen:

Das zwischen dem Sin und der Klammer des Sinus ist kein Malzeichen, sondern das, was in der Klammer des Sinus steht, ist das Argument des Sinus.

Also sprich:

y = yo * sin((2pi/T) * t)

"ypsilon gleich ypsilonnull mal sinus von zwei Pi durch T mal t"
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:18    Titel: Antworten mit Zitat

f´(x) = a *b* cos(b*x)

Wenn du jetzt weißt, dass im ursprünglichen Problem die Variable nicht x, sondern t heißt,
und wenn du statt den Konstanten a und b die Konstanten verwendest, die da stehen, was bekommst du dann für die Ableitung von der ursprünglichen Funktion?[/quote]

y´(t) = yo x (2pi x t/T) x cos x (2pi x t/T x t)
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:20    Titel: Antworten mit Zitat

Anita hat Folgendes geschrieben:
f´(x) = a *b* cos(b*x)

Wenn du jetzt weißt, dass im ursprünglichen Problem die Variable nicht x, sondern t heißt,
und wenn du statt den Konstanten a und b die Konstanten verwendest, die da stehen, was bekommst du dann für die Ableitung von der ursprünglichen Funktion?


y´(t) = yo x (2pi x t/T) x cos(2pi x t/T x t)[/quote]
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 18:23    Titel: Antworten mit Zitat

Fast richtig!

Jetzt hast du nur noch vergessen, dass das t nicht mit in der Konstante b drinsteht!

Wie sieht das ganze aus, wenn du diesen Fehler noch korrigierst?
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:25    Titel: Antworten mit Zitat

y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T)
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 26. Feb 2006 18:25    Titel: Antworten mit Zitat

Naja, da ich dem markus nicht ins Handwerk pfuschen möchte, musst du das selbst rausfinden. Aber so stimmt das nicht !

Die Zeit t entspricht dem x.

entspricht b

entspricht a

smile

Nachtrag: jetzt stimmts also (fast) !

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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 26. Feb 2006 18:28, insgesamt einmal bearbeitet
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 18:27    Titel: Antworten mit Zitat

Anita hat Folgendes geschrieben:
y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T)


Wieder fast!

Jetzt hast du das t überall rausgenommen, auch dort, wo es noch drinstehen muss!

Noch ein Versuch?
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:28    Titel: Antworten mit Zitat

[quote="Anita"]y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T x t)
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:29    Titel: Antworten mit Zitat

y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T x t)

stimmt das jetzt so, ich kenn mich bald nicht mehr aus
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 18:31    Titel: Antworten mit Zitat

Anita hat Folgendes geschrieben:
y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T x t)


Gratuliere! Das stimmt!

Jetzt hast du die Geschwindigkeit v(t) durch ableiten ausgerechnet und weißt, dass

v(t) = y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T x t)

Magst du nun das, was du gelernt hast, nochmal anwenden und die Beschleunigung ausrechnen, indem du das noch ein weiteres mal ableitest?
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:34    Titel: Antworten mit Zitat

ja mach ich gleich mal

mich drückt da noch was anderes

ich habe 110km/h

sind das dann 110 000m/3600s ????
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das stimmt.
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 18:47    Titel: Antworten mit Zitat

y"= a x b(- sinbx)
dermarkus
Administrator


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Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 18:53    Titel: Antworten mit Zitat

Gar nicht schlecht!

Da hast du nur vergessen, dass in dem Ausdruck für die erste Ableitung y' schon ein Faktor b vornedran stand.

Jetzt nach nochmal ableiten muss da vorne mehr stehen als a*b.
(Denk nochmal an die innere Ableitung!)
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 26. Feb 2006 19:36    Titel: Antworten mit Zitat

y"= a x b²(- sinbx)
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 26. Feb 2006 23:53    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das stimmt!

Jetzt kannst du dasselbe statt mit a, b und x mit den wirklichen Werten der Konstanten und mit der Variable t machen, und dann hast du den fertigen Ausdruck für die Beschleunigung!
Anita
Gast





Beitrag Anita Verfasst am: 27. Feb 2006 13:17    Titel: Antworten mit Zitat

y"= yo x (2pi/T)² x (-sin(2pi/T x t))
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 27. Feb 2006 13:20    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt! Gratuliere!
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