harmonische Schwingung

Anita · Gast

Berechne aus der Gleichung für die harmonische Schwingung durch Differenzieren die Geschwindigkeit und die Beschleunigung.

y = yo x sin x (2pi x t/T)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Anita · Gast

[quote="dermarkus"]

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

nee, leider nicht unglücklich

Also: y0 ist eine Konstante und die Ableitung von Sinus ist Kosinus, nicht minus Kosinus. Und dann stimmt das auch mit der inneren Ableitung leider noch nicht...
Mache erstmal die innere Ableitung, leite also einfach mal die Funktion:

nach t ab. Was bekommst Du da raus?

Gruß
Marco

Anita · Gast

keine Ahnung

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

dann leite einfach mal die Funktion

f(x) = b*x

nach x ab. Was bekommst du da raus?

Anita · Gast

[quote="dermarkus"]dann leite einfach mal die Funktion

f(x) = b*x

f(x)=x

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Uups, dann hast du noch nicht verstanden, was wir mit diesen Worten meinen.

Wenn ich f(x) = b* x nach x ableite,

dann heißt das, x ist die Variable, und alles andere ist konstant.

Also ist die Ableitung von f(x) = b*x nach x :

f'(x) = b.

Nächste Frage:

Was ist die Ableitung von

f(x) = a * sin(x)

wenn du nach x ableitest?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

ok, und jetzt:

wobei die 2pi/T genau so konstant sind wie das b von dermarkus.

Gruß
Marco

Anita · Gast

Also ist die Ableitung von f(x) = b*x nach x :

f'(x) = b.

Was ist die Ableitung von

f(x) = a * sin(x)

f(x) = a x cos

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Fast. Und was steht nach wie vor in der Klammer von dem Cosinus?

Anita · Gast

f(x) = b x cos(x)

Anita · Gast

Tschuldige:

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

das sieht ja schon mal viel besser aus
allerdings nicht "f(x) =" schreiben, wenn Du die Ableitung meinst, sondern "f'(x) ="
Und jetzt noch das ganze mit der inneren Ableitung multiplizieren.

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt.

Jetzt kennen wir die äußere Ableitung,
wir wissen also, dass die Ableitung von
f(x) = a*sin(x)
f'(x) = a*cos(x) ist.

Und wir kennen die innere Ableitung,
wir wissen also, dass die Ableitung von
f(x) = b*x
f'(x) = b ist.

-----------------------

Jetzt zum gesamten Ausdruck:
f(x) = a*sin(b*x)

Weil jetzt in der Klammer vom Sinus nicht x, sondern b*x steht, musst du beim Berechnen der Ableitung zusätzlich mit der inneren Ableitung multiplizieren, also:

gesamte Ableitung = (äußere Ableitung) * (innere Ableitung),

also

f'(x) =( a * sin(b*x) ) * ( b )

Was ist also dieses f'(x), wenn du es zuende ausrechnest?

Anita · Gast

f´(x) = a x cos(x) x b

so jetzt richtig

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Und jetzt noch das b in die Klammer vom Kosinus! Dann sieht's schon mal ganz gut aus!

Wie geht das jetzt aber mit t und 2pi/T und so? Bekommst Du das schon hin?

Gruß
Marco

Anita · Gast

f'(x) =( a * sin(b*x) ) * ( b )

f´(x) = ab x sinb²x

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Vorsicht:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Anita · Gast

Hääää

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ein Tipp zum rechnen:

Das zwischen dem Sin und der Klammer des Sinus ist kein Malzeichen, sondern das, was in der Klammer des Sinus steht, ist das Argument des Sinus.

Also sprich:

y = yo * sin((2pi/T) * t)

"ypsilon gleich ypsilonnull mal sinus von zwei Pi durch T mal t"

Anita · Gast

f´(x) = a *b* cos(b*x)

Wenn du jetzt weißt, dass im ursprünglichen Problem die Variable nicht x, sondern t heißt,
und wenn du statt den Konstanten a und b die Konstanten verwendest, die da stehen, was bekommst du dann für die Ableitung von der ursprünglichen Funktion?[/quote]

y´(t) = yo x (2pi x t/T) x cos x (2pi x t/T x t)

Anita · Gast

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Fast richtig!

Jetzt hast du nur noch vergessen, dass das t nicht mit in der Konstante b drinsteht!

Wie sieht das ganze aus, wenn du diesen Fehler noch korrigierst?

Anita · Gast

y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Naja, da ich dem markus nicht ins Handwerk pfuschen möchte, musst du das selbst rausfinden. Aber so stimmt das nicht !

Die Zeit t entspricht dem x.

entspricht b

entspricht a

smile

Nachtrag: jetzt stimmts also (fast) !

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Anita · Gast

[quote="Anita"]y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T x t)

Anita · Gast

y´(t) = yo x (2pi/T) x cos(2pi/T x t)

stimmt das jetzt so, ich kenn mich bald nicht mehr aus

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Anita · Gast

ja mach ich gleich mal

mich drückt da noch was anderes

ich habe 110km/h

sind das dann 110 000m/3600s ????

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja, das stimmt.

Anita · Gast

y"= a x b(- sinbx)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Gar nicht schlecht!

Da hast du nur vergessen, dass in dem Ausdruck für die erste Ableitung y' schon ein Faktor b vornedran stand.

Jetzt nach nochmal ableiten muss da vorne mehr stehen als a*b.
(Denk nochmal an die innere Ableitung!)

Anita · Gast

y"= a x b²(- sinbx)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja, das stimmt!

Jetzt kannst du dasselbe statt mit a, b und x mit den wirklichen Werten der Konstanten und mit der Variable t machen, und dann hast du den fertigen Ausdruck für die Beschleunigung!

Anita · Gast

y"= yo x (2pi/T)² x (-sin(2pi/T x t))

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt! Gratuliere!