4D Hilbert, Eigenwerte & Eigenzustände

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Meine Frage:
Sei H ein vierdimensionaler Zustandsraum. Weiterhin betrachte man einen linearen Operator A: H->H, der

TomS: so?

erfüllt mit der EInsabbildung 1_H und der Nullabbildung 0_H auf H.

a)Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenzustände von A.
b) Ist A Selbstadjungiert ?

Meine Ideen:
a)Auf die Eigenwerte kommt man recht einfach mit folgenden vier 1,-1,Sqrt(2),-Sqrt(2) aber die Eigenzustände kann ich doch nur Bestimmen wenn ich die Matrixform kenne. Ich denke auch hier kommen verschiedene Matrizen in Frage die diese Gleichung erfüllen. Die Diagonalen mit den Eigenwerten sind die trivialen.

b) Die Diagonalmatrizen sind Selbstadjungiert aber der Rest ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Habe die Formel in LaTeX gestzt. Prüfen, ob ok, und dann bitte auch verwenden ;-)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Man setzt

Die Eigenwerten lauten dann

Ein Darstellung des Operators lautet

wobei die vier Projektoren

bzgl. der Eigenbasis

definiert sind.

Damit liefern aber die unitären Transformationen

eine Schar von Operatoren mit den selben Eigenwerten und entsprechend transformierter Eigenbasis. D.h. der Operator A ist durch die ursprüngliche Gleichung nicht eindeutig definiert.

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Hallo TomS entschuldige die späte Antwort meinerseits ich war in Frankreich.

Danke erstmal, dass du dir das Problem angeschaut hast, also du sagst man kann nicht sagen ob A Selbstadjungiert ist ? Und die Eigenvektoren sind alle möglichen

verstehe ich das soweit richtig? Dies war eine Uni Aufgabe von 2019 und es sollte eine eindeutige Lösung zu dieser Aufgabe geben. Die Matrix kann ja durchaus nicht eindeutig sein aber evtl. gibt es eine Möglichkeit alle Matrizen die dieses Gleichungsystem Lösen anzugeben ? Ich komme wenn ich eine 4x4 Matrix aufschreibe mit Einträgen nur auf sehr lange Gleichungen selbst wenn ich das Problem substituiere auf

.
Wenn gegeben ist das H ein vierdimensionaler Zustandsraum ist, sollte auch die Matrix A, 4x4 sein.
Ein ähnliches Problem mit:

für einen 2-dimensionalen Zustandsraum kann man z.B. eindeutig auf die möglichen Matrizen runterbrechen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Ich verstehe leider nicht wie ich auf die Lösung der Aufgabe mit deinem Ansatz komme. Ich lese hier nur allgemeine definitionen der Projektoren , der Matrix , und der Eigenvektoren für eine 4x4 Matrix raus. Ich kann leider auch nicht sehr viel mit der Summenschreibweise anfangen. Und wo man einfach abliest ob A Selbstadjungiert ist sehe ich auch nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Der Operator in der Darstellung mit den 4 orthogonalen Projektoren hat die korrekten Eigenwerte, wie man direkt abliest; es sind 4 orthogonale Projektoren entsprechend des 4-dim. Vektorraumes; der Operator ist selbstadjungiert, da die Eigenwerte reell und jeder Projektor selbstadjungiert ist.

Wenn du eine explizite Matrixdarstellung benötigst (wozu?) kannst du das auch direkt ablesen. Ein Projektor auf den k-ten Basisvektor hat in der Matrixdarstellung im k-ten Diagonalelement eine Eins, sonst Nullen. Der Operator A hat im k-ten Diagonalelement den k-ten Eigenwert stehen, sonst Nullen. Damit ist die Matrixdarstellung symmetrisch und reell, d.h. wieder selbstadjungiert.

Ich frage mich, ob die das so konkret benötigst. Der Operator ist abstrakt gegeben, daher dachte ich, darf auch die Antwort so abstrakt sein.

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Ich hatte glaube die ganze Zeit einen Denkfehler.
Bin von meinem Lösungsansatz im folgenden ausgegangen.
Hier war das Problem

mit

V ist ein quantenmechanischer Zustandsraum. Und da war wohl auch mein Denkfehler in dieser Aufgabe. Das impliziert nicht das der Operator A einer 2x2 Matrix entspricht.

Dafür war mein Ansatz dann: die Matrizen ausführlich hinschreiben auf folgende:
1. Selbstadjungierte: Die Diagonalmatrizen mit EW in der Diagonalen rest 0.
2. Nicht Selbstadjungierte: folgende 8 Matrizen *Entschuldigung kann man bestimmt auch kompakter schreiben*

Ich müsste dann hier wohl genause wie im 4-d Hilbertraum. Meine Matrix mit den Eigenwerten 1,2. Darstellen aber für k=1 bis undendlich, richtig ?

mit

Zurück zum 4-D Hilbert Raum:
Jetzt dachte ich im 4-Dimensionalen kann ich eine Matrix der Form nicht mit EW in der Diagonalen rest 0 finden. Und hatte mir auch irgendwie mit einem Beispiel eine Matrix überlegt da hatte ich aber ein Rechenfehler und es passt nicht.

Also kann man sagen im 4-Dimensionalen fall für meine Aufgabe oben gibt es nur die von dir genannten mit EW in der Diagonalen rest 0. Und denn auch sagen die sind Selbstadjungiert alle.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Ich verstehe jetzt nicht mehr, was die Aufgabe sein soll.

wobei die Dimensionen von A bzw. des Vektorraumes jetzt was ist?

Was genau ist dann zu zeigen?

Deinen Ansatz mit den 2*2 Matrizen verstehe ich auch nicht.

Was auf jeden Fall wieder funktioniert ist die Zerlegung

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Die Verwirrung tut mir Leid es gibt defakto zwei ähnliche Aufgaben
1. Im 4-Dimensionalen Hilbert Raum für A:H->H

2. Im quantenmeschanichen Zustandsraum V, mit A:V->V. Keine Dimension angegeben.

Ich gehe aber auch hier bei der 2. Aufgabe jetzt von einem zweidimensionalen Raum aus sonst macht das keinen Sinn. Und nehme nur die Diagonalmatrizen mit Eigenwerten um keine 0 in der Diagonalen zu haben.

Weiterhin hatte ich einen Denkfehler die Diagonalmatrizen sollten in der Diagonalen nicht den gleichen Eigenwert doppelt vorkommen haben.

Ich sage also:
Unsere Eigenwerte sind verschieden und alle reel -> der lineare Operator / die Matrix welche die Zustände sauber beschreibt ist Diagonalisierbar. Und damit folgt Sie ist Selbstadjungiert. Also der Operator ist selbstadjungiert, da die Eigenwerte reell und jeder Projektor selbstadjungiert ist.

Zu Aufgabe 1 im 4-Dimensionalen Hilbert Raum folgt wie du schreibst:

Eigenwerte:

Matrix hat die Form:

Mit 4 Projektoren:

Die Eigenvektoren sind definiert bzgl. der Eigenbasis:

Wobei

Zu Aufgabe 2 im quantenmeschanichen Zustandsraum, hier gehe ich von 2-Dimension aus hoffe das geht:

Eigenwerte:

Matrix hat die Form:

Mit 2 Projektoren:

Die Eigenvektoren sind definiert bzgl. der Eigenbasis:

Wobei

Ich hoffe das passt so als Antwort auf die beiden Aufgaben mit der gleichen Fragestellung
a) finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren,
b) Ist A Selbstadjungiert

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Ich denke, das passt.

Noch eine allgemeine Überlegung.

Sei

Dann setzen wir

Im Folgenden setze ich voraus, dass die beiden Eigenwerte identisch sind, sonst funktioniert die Konstruktion nicht.

Ich definiere

Dann ist

wobei ich

verwendet habe.

Damit ist aber

mit den orthonormierten Projektoren E sowie

Der Beweis ist konstruktiv, d.h. man kann die Projektoren explizit aus A sowie den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung berechnen.

Im Falle eines unendlich-dimensionalen Hilbertraumes mit geeignetem A könnte man evtl. einen Fall konstruieren, dass A und damit E nicht selbstadjungiert sind.

EDIT: Ich sollte oben nicht von orthonormierten Projektoren sprechen, da zwar

jedoch nicht

verwendet wird.