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Nachricht |
Dilirio
Gast
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 Dilirio Verfasst am: 16. Dez 2019 16:42 Titel: Strömungen und holomorphe Funktionen |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
Es handelt sich um folgende Aufgabe:
Eine Strömung wird durch die holomorphe Funktion  = z + e^z) beschrieben.
Geben Sie die Komponenten des Geschwindigkeitsvektorfeldes als Funktionen von x = Re(z) und y = Im(z) an und verifizieren Sie explizit seine Quellen- und Wirbelfreiheit.
Meine Ideen:
Also als erstens:
Die oben angegebene Funktion ist doch gar nicht holomorph, oder spinne ich komplett??
Danach dachte ich mir, es ist vielleicht die Funktion  = z*e^z) gemeint, welche ja holomorph ist.
Danach habe ich die Funktion gemäß  = u(x,y) + i*v(x,y)) aufgeteilt, da nach meiner Mitschrift das Geschwindigkeitsvektorfeld folgendermaßen aussehen soll:
 \\ v(x,y) \end{pmatrix})
und hier stellt sich mir die nächste Frage:
Wenn die Funktion holomorph ist, gelten die Cauchy-Riemann Gleichungen. Diese stehen aber im Widerspruch mit der Quellenfreihet!
 \\ v(x,y) \end{pmatrix} = \partial_x u(x,y) + \partial_y v(x,y) = 0 )
Habe ich da was falsch verstanden?
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!!
Vielen Dank schon mal im Voraus!
LG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2019 17:09 Titel: |
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Natürlich ist
holomorph ;-)
f(z) ist die Summe zweier holomorpher Funktionen und damit selbst holomorph
Es gilt explizit
 = 0)
Die Idee der komplexen Funktionen für zweidimensionale Problemen besteht darin, alles in der komplexen Variablen z sowie der Funktion f(z) zu schreiben, nicht in x,y und u,v.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Dilirio
Gast
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| Dilirio Verfasst am: 16. Dez 2019 17:22 Titel: |
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Hey Tom,
danke für die schnelle Antwort!
Ok, dass die Funktion holomorph ist, kann ich noch verstehen.
Also ist "f(z)" nicht gleich eine Funktion, sondern besteht aus Summen, Produkten, Quotienten mehrerer Funktionen, sobald mehrere "z" drinnen vorkommen.
Aber was mache ich jetzt mit dem Geschwindigkeitsvektorfeld, dass ja eben als Funktionen von x = Re(z) und y = Im(z) angegeben werden soll?
Vielen Dank schon mal  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2019 18:03 Titel: |
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Vereinfacht formuliert ersetzt du
durch
Im Falle des Nabla-Operators kannst du dir überlegen, dass du
benötigst, z.B. für die Divergenz.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Dez 2019 18:28, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Dilirio
Gast
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| Dilirio Verfasst am: 16. Dez 2019 18:31 Titel: |
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Vielen Dank Tom!
Ich glaube mit deiner Hilfe werde ich es jetzt zusammenbringen.
Schönen Abend noch :-) |
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Dilirio
Gast
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| Dilirio Verfasst am: 17. Dez 2019 15:51 Titel: |
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Also ich habe jetzt auf Wikipedia ein Beispiel gefunden und dazu noch ein Buch in dem das ganze erklärt wurde.
Demnach muss man sehr wohl die Funktion betrachten als
 = u(x,y) +i*v(x,y))
Das Geschwindigkeitsvektorfeld ist dann einfach:
und fertig. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 17. Dez 2019 18:30 Titel: |
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Du kannst das weiterhin in Komponenten darstellen, aber Witz ist, dass man dies durch eine kompakte Notation im Komplexen vermeiden kann.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Dilirio
Gast
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| Dilirio Verfasst am: 17. Dez 2019 19:01 Titel: |
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Hm ja ich habe das leider nicht so zusammengebracht 
Ach und noch was:
Bei meiner obigen Funktion betrachte ich zwecks Überprüfung ob sie holomorph ist, ja die Summe zweier Funktionen.
Das bezieht sich aber nur darauf, ob sie holomorph ist oder nicht? Also wenn ich jetzt testen möchte, ob sie zum Beispiel injektiv ist, betrachte ich es wieder als eine Funktion?
Danke schon mal :-) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 17. Dez 2019 20:36 Titel: |
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| Dilirio hat Folgendes geschrieben: | | Bei meiner obigen Funktion betrachte ich zwecks Überprüfung ob sie holomorph ist, ja die Summe zweier Funktionen. |
Eine komplexe Funktion f ist holomoph, wenn sie reell-differenzierbar ist und wenn für Real- und Imaginärteil die Cauchy-Riemannschen DGLs gelten.
Dies ist gleichbedeutend damit, dass man die Funktion f umschreibt gemäß
 \to (z=x+iy, \bar{z}=x-iy))
 \to f(z,\bar{z}))
und die Cauchy-Riemannschen DGLs durch
ersetzt. D.h. letztlich, dass die Funktion nur von z abhängt, also
 = f(z))
Man kann mit z und f(z) bzgl. Differentiation formal exakt so rechnen wie im reellen Fall für x und f(x).
| Dilirio hat Folgendes geschrieben: | Also wenn ich jetzt testen möchte, ob sie zum Beispiel injektiv ist, betrachte ich es wieder als eine Funktion?
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Ich verstehe nicht, was du meinst.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Dilirio
Gast
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| Dilirio Verfasst am: 17. Dez 2019 21:27 Titel: |
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Hallo Tom,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich glaube jetzt habe ich verstanden, was du meinst.
Ich meine, dass wenn ich auf Injektivität prüfen möchte sehe ich nach, ob
 = f(z_2) \Longrightarrow z_1 = z_2 ) gilt.
Also prüfe ich bei dieser Funktion zum Beispiel:
und nicht sowas wie
weil das Prüfen auf Injektivität ja nichts mit der Holomorphie der Funktion zu tun hat. Außerdem ist die Summe zweier injektiver Funktionen ja nicht wieder zwingend injektiv.
Verstehst du jetzt was ich meine? Wenn nicht dann habe ich mir vermutlich irgendwas zusammengesponnen 
Danke auf jeden Fall |
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