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Alternative Methode zu "kleinsten Quadraten"
 
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Dez 2021 16:22    Titel: Alternative Methode zu "kleinsten Quadraten" Antworten mit Zitat

Ich habe Daten , auf die Funktionen der Form



passen.

Zu ermitteln sind die Parameter a, b, c, d.

Aufgrund der Singularität bei x=1 stelle ich mir die Frage, ob es sinnvoller wäre, die Abweichungen zu gewichten oder überhaupt nicht die ursprünglichen Daten f_i sondern eine andere Funktion g(f) zu fitten.

Gibt es dazu Quellen, wie man diese andere Funktion g(f) sinnvoll wählt?

Wenn ich die Singularität kennen würde, könnte ich z.B.



fitten; ich kenne den Parameter b jedoch nicht.

D.h. ich möchte die Daten "regularisieren", habe jedoch keinen Ansatz für ein konkretes Modell.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5068

Beitrag DrStupid Verfasst am: 20. Dez 2021 18:25    Titel: Re: Alternative Methode zu "kleinsten Quadraten" Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich habe Daten , auf die Funktionen der Form



passen.

Zu ermitteln sind die Parameter a, b, c, d.


Eigentlich sind es nur drei Parameter:



TomS hat Folgendes geschrieben:
Aufgrund der Singularität bei x=1 stelle ich mir die Frage, ob es sinnvoller wäre, die Abweichungen zu gewichten oder überhaupt nicht die ursprünglichen Daten f_i sondern eine andere Funktion g(f) zu fitten.


Als es noch keine Computer gab, hat man gerne linearisiert. Da gibt es zwei Standardmethoden.

1. Logarithmieren:



2. Ableiten:



Das hat natürlich seinen Preis. In beiden Fällen handelt man sich mit x=0 eine weitere Singularität ein und grundsätzlich verschiebt sich das Optimum - insbesondere, bei Werten in der Nähe der Singularitäten.

Im zweiten Fall verschwindet obendrein ein Parameter und die numerische Ableitung verstärkt die Streuung.

Trotz der Nachteile können solche Methoden noch für die Suche nach Startwerten für einen "richtigen Fit" taugen. Das hängt immer von den verfügbaren Daten ab.

PS: Wenn man noch ein bisschen mutiger ist, kann man im 2. Fall auch die Singularitäten eliminieren:



Dann ist es zwar noch fraglicher, ob die Parameter immer noch das ursprüngliche Problem lösen, aber dafür könnte man das sogar auf Millimeterpapier malen und mit Bleistift und Lineal fitten.
Ich



Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching

Beitrag Ich Verfasst am: 21. Dez 2021 14:42    Titel: Antworten mit Zitat

Ich könnte mir vorstellen, dass ein orthogonaler Fit besser funktioniert. Hab' aber noch nie damit gearbeitet.

scipy.optimize.odr
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