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teox
Anmeldungsdatum: 18.01.2022
Beiträge: 4
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 teox Verfasst am: 19. Jan 2022 00:03 Titel: Tensoren, Gradient, Divergenz |
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Hallo Zusammen,
habe einige Verständnisfragen bzgl. Kontinuumsmechanik (bzw. Höhere Festigkeitslehre).
Anbei ein Bild zu den Fragen und meinen Antworten.
Die Antworten zu den Fragen mit Vorsicht genießen, bin mir ziemlich unsicher..
Danke im Voraus!
Willkommen im Physikerboard!
Ich habe das Bild als Anhang eingefügt. Bitte benutze keine externen Links.
Viele Grüße
Steffen
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Jan 2022 07:52 Titel: |
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Zur ersten Aussage hast du korrekt geschrieben, "falls ein Vektorfeld vorliegt". Wieso ist dann die vierte Aussage falsch? Was macht denn allgemein die Divergenz mit dem Rang eines Tensors?
Bei der vorletzten Aussage schreibst du "sofern ein Skalar oder Vektor vorliegt". Was ist damit gemeint? Die Aussage bezieht sich auf das Kreuzprodukt von Vektor und Tensor. Wie ist denn das Kreuzprodukt allgemein definiert?
Die letzte Aussage hast du anscheinend mißverstanden. Der Gradient ist zwar ein Vektorfeld. Aber es ist dort von der Divergenz des Gradienten die Rede.
Der Rest stimmt.
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teox
Anmeldungsdatum: 18.01.2022
Beiträge: 4
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| teox Verfasst am: 19. Jan 2022 11:54 Titel: |
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Hallo razor,
- bzgl. 4.Aussage --> ist die Antwort nicht abhängig davon welchen Tensor (welcher Stufe bzw. Rang) man betrachtet? Die Divergenz verringert den Rang des Tensors um eine Stufe (z.B. von Rang 2 --> Rang 1) oder nicht. // Wenn man die Divergenz eines Tensor 0.ter Stufe bildet, erhält man eben keinen Vektor (?).
- 6. Aussage --> Kreuzprodukt, ist das Produkt zweier Vektoren, aus welchem man eben einen neuen Vektor erhält, der Senkrecht zu denen steht.
Verstehe halt nicht: Kann man denn überhaupt ein Kreuzprodukt aus einem Vektor und einem Tensor 0.ter Stufe (einem Skalar) bilden? Das Kreuzprodukt aus einem Vektor und einem Tensor 1.ter Stufe kann man bilden, welcher wiederum einen Tensor bildet.
- 7. Aussage --> Kann ich theoretisch so vorgehen: Der Gradient eines Skalars ist ein Vektorfeld. Die Divergenz des Vektorfeldes (also dem Gradienten des Skalars) ist folglich ein Skalar bzw. Skalarfeld (?)
Danke!
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Jan 2022 12:31 Titel: |
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| teox hat Folgendes geschrieben: |
- bzgl. 4.Aussage --> ist die Antwort nicht abhängig davon welchen Tensor (welcher Stufe bzw. Rang) man betrachtet? Die Divergenz verringert den Rang des Tensors um eine Stufe (z.B. von Rang 2 --> Rang 1) oder nicht. //
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Genau, dann wäre also die Divergenz eines Tensors 2. Stufe ein Vektorfeld. In kartesischen Koordinaten:
_i = \sum_k \frac{\partial}{\partial x_k} T_{ki})
| Zitat: |
Wenn man die Divergenz eines Tensor 0.ter Stufe bildet, erhält man eben keinen Vektor (?).
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Ja, im allgemeinen stimmt die Aussage nicht. Aber im allgemeinen stimmt eben auch die erste Aussage nicht. Aussage 1) ist korrekt für die Divergenz von Vektorfeldern, Aussage 4) für die Divergenz von Tensoren 2. Stufe.
| Zitat: |
- 6. Aussage --> Kreuzprodukt, ist das Produkt zweier Vektoren, aus welchem man eben einen neuen Vektor erhält, der Senkrecht zu denen steht.
Verstehe halt nicht: Kann man denn überhaupt ein Kreuzprodukt aus einem Vektor und einem Tensor 0.ter Stufe (einem Skalar) bilden?
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Nein, man kann aber das Kreuzprodukt  eines Vektors mit einem Tensor n-ter Stufe (n > 0) bilden, z.B. so  \stackrel{\text{def}}{=} (\vec{A}\times\vec{B})\otimes\vec{C}\otimes \dots)
| Zitat: |
Das Kreuzprodukt aus einem Vektor und einem Tensor 1.ter Stufe kann man bilden, welcher wiederum einen Tensor bildet.
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Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor. Du sprichst hier also von dem gewöhnlichen Kreuzprodukt zweier Vektoren. Das ergibt wieder einen Vektor. Allgemein ergibt das Kreuzprodukt eines Vektors und eines Tensors n-ter Stufe, so wie oben definiert, wieder einen Tensor n-ter Stufe.
| Zitat: |
- 7. Aussage --> Kann ich theoretisch so vorgehen: Der Gradient eines Skalars ist ein Vektorfeld. Die Divergenz des Vektorfeldes (also dem Gradienten des Skalars) ist folglich ein Skalar bzw. Skalarfeld (?)
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Ja, genau  ist ein Skalarfeld. Diese Operation wird auch als  bezeichnet und  ist der Laplace-Operator für Funktionen.
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teox
Anmeldungsdatum: 18.01.2022
Beiträge: 4
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| teox Verfasst am: 19. Jan 2022 13:24 Titel: |
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Vielen Dank razor! - das Thema kann gerne geschlossen werden.
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