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Nachricht |
Jan von Delft
Anmeldungsdatum: 11.11.2022
Beiträge: 2
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 Jan von Delft Verfasst am: 11. Nov 2022 21:41 Titel: Vorzeichen der Divergenz eines Feldes bei einer Quelle. |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf den Wikipedia-Artikel zur Divergenz eines Vektorfelds.
Ich kopiere mal deren Beispiel aus der Physik hier rein:
Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden: An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Fließgeschwindigkeit des Öls in Form eines Vektors gegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine ?Ölquelle?, da von dort Öl wegfließt, ohne dass es einen Zufluss auf der Oberfläche geben würde. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.
meine Frage hierzu: Warum ist die Divergenz an der Quelle positiv?
Meine Ideen:
Die Divergenz ist ja (wie auch weiter unten auf der Wikipedia-Seite beschrieben) die Summe über die einzelnen Komponenten des Vektorfeldes nach den einzelnen Komponenten an dieser Stelle.
Also zum Beispiel für zweidimensionales Vektorfeld F(x) ist die Divergenz:
dF1(x)/dx1 + dF2(x)/dx2.
Oben in dem Beispiel steht nun, dass das Vektorfeld die Fließgeschwindigkeit des Öls an jeder einzelnen Stelle beschreibt.
Wenn ich nun die Divergenz an der Quelle bestimme, also die Ableitung der Fließgeschwindigkeit. Dann summiere ich doch einfach nur auf, wiesehr sich die Fließgeschwindigkeit ändert wenn ich in die verschiedenen x Richtungen gehe. Wenn ich mich aber von der Quelle entferne müsste die Fließgeschwindigkeit doch kleiner werden. Damit müssten die beiden Ableitungen der Divergenz doch negativ werden und ich müsste insgesamt eine negative Divergenz an der Quelle haben.
Wo ist mein Denkfehler? Vielen Dankes schonmal für Hilfe.
Liebe Grüße |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 12. Nov 2022 15:41 Titel: Re: Vorzeichen der Divergenz eines Feldes bei einer Quelle. |
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Hier liegt der Fehler:
| Jan von Delft hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich mich aber von der Quelle entferne müsste die Fließgeschwindigkeit doch kleiner werden. |
Nehmen wir an, wir haben eine radial vom Ursprung der xy-Ebene nach außen strömende Flüssigkeit und wir setzen uns in einiger Entfernung vom Ursprung an einen Punkt auf der positiven x-Achse. Dann hat die Fließgeschwindigkeit nur eine Komponente in x-Richtung:
 = (v_x , 0))
Gehe ich nun ein Stückchen in x- und in y-Richtung nimmt die x-Komponente ab, die y-Komponente jedoch zu:
 = (v_x - \delta_x, \delta_y))
Die partielle Ableitung an der Stelle (x,0) ist also in x-Richtung negativ und in y-Richtung positiv. Und falls die Flüssigkeit inkompressibel ist, ist die Summe Null.
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Jan von Delft
Anmeldungsdatum: 11.11.2022
Beiträge: 2
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| Jan von Delft Verfasst am: 12. Nov 2022 16:26 Titel: |
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Hallo Nils,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe leider 2 Sachen noch nicht ganz verstanden. Woher wissen wir, dass bei einer inkompressiblen Flüssigkeit die Summe genau 0 ist, und sich nicht bei einem gleichgroßen Schritt in x wie in y Richtung die Geschwindigkeit betraglich in die eine Richtung mehr verändert als in die andere?
(hat mich jetzt neugierig gemacht, aber hilft mir bei der Divergenz nicht unbedingt weiter 
Außerdem: Wenn wir die Ableitung nicht entlang einer Achse mit Abstand zum Ursprung betrachten, sondern direkt am Ursprung müsste laut dem Wikipedia Artikel die Divergenz dort ja positiv sein, da es eine Quelle ist.
Aber von da aus wird doch sowohl bei kleinen Schritten in die x-Richtung, als auch in die y-Richtung die Fließgeschwindigkeit kleiner, weil sich ja immer der Abstand von der Quelle erhöht. Oder ist direkt an der Quelle das Vektorfeld vielleicht irgendwie nicht differenzierbar? Was wäre denn dann aber gemeint mit dem Vorschlag von Wikipedia so die Quelle zu erkennen?
Liebe Grüße Jan |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 12. Nov 2022 17:15 Titel: |
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| Jan von Delft hat Folgendes geschrieben: |
Woher wissen wir, dass bei einer inkompressiblen Flüssigkeit die Summe genau 0 ist, und sich nicht bei einem gleichgroßen Schritt in x wie in y Richtung die Geschwindigkeit betraglich in die eine Richtung mehr verändert als in die andere?
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Das mit den kleinen Schritten sollten nur zur Veranschaulichung dienen, mathematisch berechnet man natürlich die Ableitung, also den Differenzquotienten wenn die Schrittlänge gegen Null geht.
Eine bessere Veranschaulichung der Divergenz ist diese: Setze einen (infinitesimal) kleinen Würfel an eine beliebe Stelle und betrachte die Durchflüsse durch die Seiteflächen. Die Divergenz ist dann der Nettodurchfluss durch alle Seitenflächen geteilt durch das Volumen des Würfels. Wenn die Flüssigkeit inkompressibel ist, fließt an jeder Stelle, die keine Quelle enthält, genauso viel Flüssigkeit in den Würfel hinein wie hinaus. Der Nettodurchfluss und damit die Divergenz ist also Null.
| Jan von Delft hat Folgendes geschrieben: |
Außerdem: Wenn wir die Ableitung nicht entlang einer Achse mit Abstand zum Ursprung betrachten, sondern direkt am Ursprung müsste laut dem Wikipedia Artikel die Divergenz dort ja positiv sein, da es eine Quelle ist.
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Genau, die Divergenz am Ort der Quelle ist natürlich positiv (daher auch die Bezeichnung "Quelldichte").
| Jan von Delft hat Folgendes geschrieben: |
Aber von da aus wird doch sowohl bei kleinen Schritten in die x-Richtung, als auch in die y-Richtung die Fließgeschwindigkeit kleiner, weil sich ja immer der Abstand von der Quelle erhöht. Oder ist direkt an der Quelle das Vektorfeld vielleicht irgendwie nicht differenzierbar? Was wäre denn dann aber gemeint mit dem Vorschlag von Wikipedia so die Quelle zu erkennen?
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Punktförmgie Quellterme, die am Ort der Quelle nicht differenzierbar sind, sind in der Tat mathematisch etwas komplizierter zu fassen und führen auf der Konzept der Delta-Distribution. Das Bild mit dem kleinen Würfelchen, dass den Quellpunkt enthält, funktioniert aber auch hier. Ist die Quelle im Inneren des Würfels ist der Nettodurchfluss durch alle Seitenflächen positiv.
Viele Grüße,
Nils
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