Unschärfe - gut und intensiv erklärt - Quelle?

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

Hallo!

Ich bin Physiklehrer und tue mich mit dem Thema Unschärfe(-Relation) etwas schwer. Ich finde das bisher wenig anschaulich.
Also natürlich kann ich

auswendig lernen lassen und per Aufgabe jeweils nach einer der (Mindest-)Größen fragen, wenn die andere gegeben ist - das wäre dann so a la "the simpel club". Aber das hat ja nix verstehen und denken zu tun.

Fürs Reinfinden in den Themenbereich fangen für mich schon die Schwierigkeiten an mit der Frage, wie messe ich den Ort x eines Quants.

Auch stelle ich mir die Frage, warum Photonen geradlinig fliegen, wo doch ihr Impuls (also auch die Richtung der Geschwindigkeit) unscharf ist.

Hat jemand einen guten Literaturtipp für mich?

Würde mich sehr darüber freuen:-)

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

Über Einsteins Schleier wurde hier ja schon mal kurz diskutiert. Ich finde, Zeilinger schreibt sehr unterhaltsam und dennoch physikalisch korrekt. Mal ein kurzer Ausschnitt zum Thema:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Und komplementär dazu würde ich das Photon für sich und ohne Messung betrachten.

Wir wissen, dass das Bild von klassischen Teilchen falsch ist (insbesondere aufgrund von Interferenzexperimenten), also beschreiben wir das Photon durch ein Wellenpaket. Im Gegensatz zu anderen Wellenphänomen existiert bei Licht im Vakuum keine Dispersion, d.h. die Form des Wellenpaketes bleibt immer gleich. Hat es ursprünglich die Form f(x), so wandert diese gemäß.

Die Breite des Wellenpaketes ist mit der Ortsunschärfe verknüpft.

Aruna_Gast · Gast

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

Schon mal danke für die Antworten.

@ Steffen Bühler
Also das Einzelspaltbeispiel ist ja wahrscheinlich das häufigst verwendete, um SchülerInnen die Unschärfe zu erklären.
Allerdings wollte ich davon Abstand nehmen. Warum?
Nun ja, die Beugung am Einzelspalt lässt sich mit Wellenmechanik bereits gut erklären (Huygensprinzip) und dann nehmen wir noch Feynmanns Zeiger hinzu und wir können wunderbar die Entstehung Minima und Maxima hinterm Einzelspalt erklären. Kann die Unschärfe das? Sehe ich nicht. Das heißt, ich würde für die SchülerInnen ein schlechteres Modell zur Erklärung des Einzelspaltes einführen. Auch finde ich "keinen Anfang". Warum sollte der Quant überhaupt in den Spalt fliegen? Wie stark muss ich zuvor die Unschärferelation verletzt haben, um die Anfangsbedingung "ein Quant fliegt in den Spalt" zu erschaffen?
Immerhin hilft die Unschärferelation zu erklären, warum ein einzelner Quant eine gewisse Spaltbreite voll auszunutzt.
Dass Zeilinger jemand ist, der allerhöchsten Rang bekleidet, ist mir klar - aber ist der Ausschnitt vielleicht doch eher an eine "breite Masse" gerichtet (so ähnlich wie wenn er mit zwei Würfeln Verschränkung erklärt), als dass er damit Unschärfe vertieft erklären will?

@ TomS
Danke für die Funktion. Aber wie kann dies helfen, ein besseres Verständnis zu bekommen?

@ Aruna_Gast
Danke für Hinweis auf den englischen Wikipedia-Artikel. Ich finde die Kurven spannend und die Synthese des Wellenpakets - wobei hier anscheinend alle "Obertöne" die gleiche Amplitude habe, also Fourier-Koeffzienten alle den gleichen Wert. Daher kann ein "echtes" Wellenpaket wahrscheinlich stark von dieser Form abweichen.
Im Unterricht kann ich das aber wahrscheinlich nicht anwenden. Wellen als Wellenpaket aufzufassen ist nicht Teil des Stoffes zur Wellen- oder Atomphysik, darauf kann ich nicht zurückgreifen.

Sorry, wenn das hier zu sehr rumgemäkelt ist an Euren Ideen. Aber es ist noch nicht das dabei, was ich suche.

Aruna_Gast · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Bragg-Reflexion lässt sich nicht mittels Strahlen (d.h. geometrischer Optik erklären, auch nicht durch verbreiterte Strahlen. Man benötigt aber auch keine Quanten; Bragg-Reflexion ist ein klassisches Wellenphänomen (Materiewellen wurden von de Broglie erst ca. zehn Jahre später betrachtet).

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@ TomS
Aber was ist die Intention Deiner Aussage? Dass man sich vorsichtshalber gar nichts vorstellt und illustriert, weil das ja immer falsch sei?
Mir ist schon "irgendwie" klar, dass es keine Strahlen gibt. Aber das bei jedem Quantenobjekt dazu zusagen ist, ist dann auch schnell altklug und abgebraucht.

Und finde auch nicht, dass es die richtige Intention ist.
Wahrscheinlich kann der Mensch sich grundsätzlich Quantenobjekte nie vollständig richtig vorstellen. So wie man sich zB keinen 10-dimensionalen Raum vorstellen kann. Dennoch gelang/gelingt es Menschen wie Heisenberg, Ketterle, Zeilinger usw. sich "irgendetwas" vorzustellen. Dieses irgendetwas ist kein perfekter Isomorphismus zur Realität, es ist eine dimensionsverkürzende Projektion der Realität - die dennoch die Denkleistungsfähigkeit erhöht. Irgendwelche Repräsentanten von Quantenobjekten legen wir also an oder versuchen es zumindest. Diese Repräsentation bekommen über die Jahre, wenn man sich immer weiter mit einer Sache beschäftigt, immer mehr "Ausschmückungen" und werden präziser - auch wenn sie niemals (auch nicht annähernd) vollständig korrekt sind.
Wir wären schön blöd (fantasie- und kreativlos), wenn wir es aufgäben, diese Repräsentanten für uns zu erschaffen und zu nutzen.

Kurzum: ich habe keine Bedenken, den SchülerInnen falsche Bilder anzubieten, wenn ich weiß, dass dies besser ist, als keine Bilder anzubieten. Sobald es ein besseres Bild gibt - her damit!

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 829

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@ Qubit
Danke für die Links.
Also so grob (1.1 bis 1.8 des Würzburger Konzepts) sieht das inhaltlich so aus, wie in unserem Schulbuch (Dorn-Bader Physik 12/13, Niedersachsen), inbesondere das Komplementaritätsprinzip finde ich 1:1 so wieder.
1.9 zur Unschärferelation schaue ich mir gerade gespannt an, das könnte in der Tat vielleicht ein bisschen was neues bringen.

Der dritte Link ist interessant, da werden ja die Hintergründe der Entscheidungen für die Unterrichtsinhalte für bestimmte Bundesländer dargestellt. Das ist cool, das mal zu erfahren.
Das krampfhafte Bemühen, das Bohrsche Atommodell zu vermeiden, finde ich allerdings albern. Das macht den Unterricht unglaublich lahm, ständig ohne ein Atommodell Absorption und Emission zu thematisieren. Ich mache das Bohrmodell gleich in der ersten Stunde (bitte jetzt nicht alle auf einmal schreien..) und später wird es dann ersetzt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Aruna_Gast · Gast

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@ TomS

Und ich habe ein Problem mit Leuten, die meinen, es sei produktiv, ständig zu erzählen, was alles schlimm ist. Du schlägst mir hier vor, dass es ganz wichtig ist, zu wissen, was Quanten alles nicht sind. Ja, dann haben wir ja bei allen Menschen, die sich gar nicht diesem Thema widmen die maximale Bildung erreicht. Die stellen sich nämlich tatsächlich gar nix vor.

Destruktiv sein ist leicht (welcome to AfD).
Konstruktiv sein erfordert Motivation und Vertrauen. Und wenn man etwas aufbaut, etwa ein Modell, so wird es immer etwas daran geben, was falsch ist. Und dann verbessert man das Modell halt. Dadurch entwickelt man sich weiter, mein Gott! Wo ist Dein Problem mit?

Sorry - schreib meinetwegen noch Deinen Senf dazu zurück, aber danach lass uns bloß nicht diese Diskussion weiterführen. Dies ist gähnend langweilig, das brauche ich nicht, Leute, die denken, sie sind ganz schlau, weil sie wissen, Lichtstrahlen in Wirklichkeit keine Strahlen sind. Dafür gibt es ganz bestimmt den nächsten Physik-Nobelpreis. Und auch noch den vom Ethikrat für besseres Menschsein.

edit: Ich weiß, mein Beitrag hier an Dich ist provokant und unfreundlich. Will ich Dir das eigentlich gar nicht antun. Aber irgendwie nervt mich das tierisch, was da so zwischen Deinen Zeilen durchkommt. A: dieser erhobene Zeigerfinger. B: Diese Vorstellung, die SchülerInnen sein so ne Gerät, wo man ja nichts falsches reintun darf, sonst bekommen sie einen nicht wieder gut zu machenden Schaden. Und ich glaub, dieses letzte Bild regt mich so auf. Die SchülerInnen in meinen Kursen sollen kritisch denken, Sachen hinterfragen und auch gleichzeitig den Mut haben, was zu starten und dürfen auch viele Fehler machen. Die Fehler schauen wir uns mit nem neugierigen Blick an und dann lernen wir viel dabei. Und auch ICH darf Fehler machen im Unterricht. Die thematisiere ich auch ganz von alleine. Und dabei entwickle ich mich massiv weiter. Und ich bin den SchülerInnen einen großes Vorbild, wenn ich meine Fehler nicht verstecke, sondern sie auch gründlich analysiere und versuche sie zu korrigieren. Ich sage nicht, dass einem Fehler nicht unangenehm sein dürfen - auch das sage vor meinen SchülerInnen, wenn es mir peinlich ist, weil es wirklich ein unintelligenter Gedanke war.
Und das was Du, TomS schreibst, sorry, das klingt für mich nach mega den Stock im Ar... . ich finde mich auch nicht darin wieder. Also wenn ich schon meine Freizeit damit verbringe, mich vertieft mit unterrichtlichen Themen auseinander zu setzen - ist das da angemessen von Dir, mich zu ermahnen, dass ich vielleicht nicht verantwortungsbewusst mit den Lerninhalten umgehe? Andere schlagen das Buch auf und fertig ist der Unterricht.

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@ Qubit
Eine Frage zu 1.9 - sofern Du in der Thematik bist.
Ich finde den Zugang über

akustischen Knall interessant. Ich verstehe aber nicht, warum diese Gleichung gelten soll.

Generell finde ich die Idee einem "Ausschnitt einer Sinuskurve" keine Frequenz zuordnen zu können erst mal tiefgründig diskussionswürdig. Denn:
Erst mal ist das überhaupt nicht lernlogisch. Die SchülerInnen interpolieren ja durchaus Messdaten, die nur Teil einer Sinuskurve sind. Etwa Intensität hinter Polarisationsfiltern (OK, ist Teil eines cos^2, aber ist ja formmäßig das gleiche).
Also wenn eine Sinuskurve abgeschnitten ist, meinetwegen nur eine Viertelperiode sichtbar, so ist eigentlich trotzdem klar, wie die Kurve weitergehen müsste und wie groß die Frequenz ist.
In der Anbahnung der Unschärfe ist die Abgeschnittenheit der Sinuskurve anscheinend ein Anlass, die Wellenlänge als nur begrenzt bestimmbar anzusehen. Aber ich verstehe nicht, wie man da jetzt die Unklarheit festlegt. Welche Wellenlängen-Unschärfe resultiert aus einem Bruchstück einer Viertel-Wellenlänge? (Wobei ich ja gar nicht sagen darf, dass es eine Viertelwellenlänge ist, denn sonst wüsste ich ja die Wellenlänge.)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich denke, du bist derjenige, der das ins ins Destruktive dreht.

Ich bin zu allen Themen gerne bereit, konstruktiv zu diskutieren, Fragen zu beantworten, verschiedene Modelle und ihre Vorteile und Defizite zu diskutieren. Das einzige, worauf ich Wert lege ist, dass wir keine nachweislich falschen Erklärungen zulassen.

Bragg-Reflexion mit Strahlenoptik funktioniert nicht, und Unschärfe ohne das Wellenbild auch nicht (unterstreichst du bei deinen Schülern nie mit rot? Schreibst du nie "0 Punkte" an den Rand?)

So, und jetzt können wir gerne konstruktiv diskutieren; einige Vorschläge zur Unschärfe stehen oben. Ja, sie basieren auf dem Wellenbild, denn ohne geht es nicht. Also könnten wir uns gemeinsam überlegen, wie man das vermittelt, auch wenn das Wellenbild zunächst unbekannt ist. Es gibt dazu sicher Videos, Handreichungen für Lehrer, Skripte zur Didaktik der Physik …

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@ TomS

...OK, liegt also in der Begrenzheit - bleiben wir mal der Einfachheit halber in der ersten Dimension (zumindest so lange das noch funktioniert) und sprechen von rechts und links als einzigen Richtungen - bereits das Problem:
Ich darf mir als ein Wellenpaket nicht vorstellen als mehrere Züge der gleichen Wellenlänge, die "einfach" nach links und rechts abflachen?
Also das wäre zB durch

realisiert (Zur Normierung packen wir notfalls noch n Vorfaktor dran).
Die Welle hätte dann "eigentlich" die Wellenlänge

Sondern das Abflachen durch Setzen eines Vorfaktors zählt nicht. Ich darf als einzige Termoperationen nur

addieren. Wenn ja, warum?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Das ist ein absolut sinnvolles Wellenpaket. Es nur nicht sinnvoll, ihm eine eindeutige Wellenlänge oder Wellenzahl zuzuordnen, da es als Superposition ebener Wellen jeweils scharfer Wellenzahl dargestellt werden kann.

Das Stichwort heißt Fourier-Transformation. In deinem Fall wäre das bis auf multiplikative Konstanten

mit

d.h. letztlich liegen zwei Wellenpakete vor, deren jeweilige Wellenzahlen um plus und minus k_0 liegen.

Einfacher wird es mit komplexen e-Funktionen:

Dieses Wellenpaket f(x) führt auf Überlagerungen von Wellen der Wellenzahl k mit der jeweiligen Amplitude F(k). Man beachte, dass der Parameter a einmal im Zähler und einmal im Nenner steht. Wird f(x) schmäler, so wird F(k) breiter u.u. Das ist der mathematische Kern der Unschärfenrelation. Er hat zunächst nichts mit Quantenmechanik und Messungen zu tun, es handelt sich einfach um ein Wellenphänomen, das auch für elektromagnetische Wellen zutrifft.

Das rätselhafte an der Quantenmechanik besteht darin, dass sie zwingend wellenartige Phänomene bzw. Mathematik erfordert – Stichwort Schrödingergleichung – diese jedoch mit offensichtlich teilchenartigen Phänomenen zusammenhängen: man detektiert nie eine Elektronen- oder Lichtwelle, immer nur einzelne, lokalisierte Elektronen oder Photonen. Und nur deswegen kann und muss man letztlich von einer Orts- und Impulsunschärfe sprechen.

Mir ist natürlich klar, dass man das so noch keinem Schüler vorsetzen kann. Aber so ist es nunmal, und damit besteht eben die Herausforderung, genau das zu klären – und nicht irgendetwas anderes.

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@ TomS

Danke erst mal für die viele Mühe❤️
Ich selbst kann damit erst mal was anfangen, da ich im Studium Funktionentheorie gemacht habe und da rechnet man natürlich komplex.

Also Du sagst, in Deiner Fourier-Synthese fehlen noch die Koeffizienten.
Ansonsten könnten man die Anteile einer jeden Wellenfunktion gar nicht unterschiedlich gewichten und die Normierung zu 100% Gesamtaufenthaltswahrscheinlichkeit geht auch nicht.

Erst mal finde ich das ja spannend, dieses Grundprinzip - jedes Teilchen ist ein Wellenpaket - auch im Unterricht für das Thema Unschärfe zu behandeln. Da hätte ich Lust drauf (ein paar Wochen sind noch bis dahin). Und sich dann mal anzuschauen mit Animationen a la
https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#/media/File:Sequential_superposition_of_plane_waves.gif
(darin fällt mir nun allerdings auch noch auf: Es sind nicht nur alle Wellenlängen gleichgewichtet, es sind auch alles NUR UNgeradzahlige Vielfache (..oder NUR geradzahlige) einer gemeinsamen Grundfrequenz plus es wird nur ein Ausschnitt gezeigt, wo es zu den Rändern hin abflacht - wie es weiter rechts und weiter links davon aussieht bleibt unbekannt). Anbei: kann mir dazu jemand was sagen - bleibt die Abflachung erhalten, wenn man weiter nach rechts und links wandert aus dem Bildausschnitt heraus?

Ich würde trotzdem noch mal einen Schritt zurückrudern und ganz grundsätzlich die Frage stellen - wie kommt darauf, dass ein Quant als Wellenpaket vorliegen muss. Oder ist diese Frage nicht beantwortbar?

Ich versuche es mal selbst so eine Theorie sukzessive aufzubauen. Was haben wir, wenn wir einen Quant haben? Wir haben Energie. Die sei mal gegeben mit

wenn man jetzt noch nicht weiß, dass diese Energie nicht scharf bestimmt sein kann, so hat

einen festen Wert.
Jetzt versuche ich

zu lokalisieren, es an einen Ort zu setzen. Soll es nur an einem Punkt sein, etwa bei

(in 1-D) so kriege ich mathematisch ein Problem - der Quant hat keine Ausdehnung, er kann ohne Ausdehnung nicht existieren. Also hat er Ausdehnung und nimmt in jedem Fall einen BEREICH der Länge

ein.
Jetzt muss ich wohl einfach einführen - wie soll man das sonst erkenntnistheoretisch machen, wenn schon ein Dutzend Philosophen nicht die Idee hatten, dass kleinste Teilchen Schwingungen sind- dass der Quant eine Wahrscheinlichkeitswelle ist. Hier könnte man vielleicht den experimentellen Befund - Quant zeigt zB am Doppelspalt Wellenverhalten einfügen - das Stand alten Griechen ja nun mal nicht zur Verfügung.

Damit Welleneigenschaften vorliegen, brauche ich Frequenz, Wellenlänge und Amplitude/Energieverteilung. Jetzt muss ich basteln, so dass damit eine Begrenzung auf den Bereich

bekomme. Nun fehlt mir das Argument, warum es mit

nicht getan ist mit $N$ als Normierungsfaktor. Resultiert dies aus der Anforderung "der Quant darf nur aus ebenen Wellen bestehen" dieses Verbot? Wenn ja - OK! Dann ist dieser Vorfaktor

(weil von x abhänigig) verboten (es sei denn, er ergäbe sich bei der Fouriersynthese).

Wenn man also sagt, jeder Quant ist ein Vektor (die Komponenten sind die Fourierkoeffizienten), dann würde ich jetzt erst mal damit herumspielen. Also schauen, was so herauskommen kann bei einer Fouriersynthese. Dabei werde ich wahscheinlich feststellen, dass ein Abflachen eines Wellenpakets - als Bündelung der Aufenthaltwahrscheinlichkeit an nur einem Ort - nur mit einer UNendlichen Fourierreihe möglich ist (@ Mathematiker: ..I know, Reihen sind perse unendliche Summen, "unendliche Reihe" ist daher ein Pleonasmus). Der Quant MUSS aus mehreren Wellenlängen aufgebaut sein.
Was ist nun das, was wir als (etwas falsch) seine Wellenlänge bezeichnen? Ist es die die Länge der Grundschwingung? Wie verändert sich die Fourier-Zusammensetzung/der Quantenvektor, wenn wir den Ort

kleiner machen?

...so auf diese Art würde ich gern das Thema aufziehen. Ich weiß aber noch nicht, wie es von hier "philosophisch" weitergehen soll.

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 678

Als Laie kann ich dazu nur sagen, dass das, was hier diskutiert wird, für Schüler zu hoch ist.
Am besten finde ich immer noch Steffens Zitat von ganz am Anfang.
Das würde bei Schülern wohl einigermaßen ankommen. Und selbst dabei muss man schon Zeit investieren.

Woran ich mich aus meiner Schulzeit noch erinnere war, dass sich die Formeln unterschieden haben. Mal war es h, mal h-quer, dann 1/2 h-quer ...
Was galt denn nun?
Dass das alles nur Abschätzungen sind, wurde mir erst später klar.
Darum würde ich immer herausstellen, dass das Ungleichungen sind und keine exakten Gleichungen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

@Lorz - Danke, das freut mich! Schön, dass wir wieder bei der Sache sind.

Im der Fourier-Darstellung fehlt nur ein Normierungsfaktor.

Das gif ist gut, sowas hatte ich im Sinn. Nein, mathematisch sind die unterschiedlichen Wellenlänge unterschiedlich zu gewichten, in etwa so wie beim Gauß-Paket; leider zeigt das gif dies nicht. An den Ränder d.h. hin zu Unendlich geht es genauso weiter.

Für schnelle Rechnungen und Plots siehe z.B. https://www.wolframalpha.com/

Wie man darauf kommt, dass ein Quant als Wellenpaket vorliegen muss.m bzw. dass man überhaupt mit Wellen arbeiten muss: das ist natürlich die zentrale Frage. Zum ersten weiß man aus Experimenten mit Licht, dass sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften relevant sind: zu ersterem siehe z.B. den Photoeffekt, zu letzterem natürlich Interferenzeffekte. Zu Materiewellen wie beispielsweise bei Elektronen siehe insbs. die Arbeiten von de Broglie (1912) sowie das Experiment von Davisson & Germer (1927).

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Materiewelle
https://en.wikipedia.org/wiki/Davisson–Germer_experiment

Wir wissen also aus Experimenten, dass beide Aspekte relevant sind, d.h. dass wir dies auch theoretisch / mathematisch berücksichtigen muss. Schrödinger hat dafür den Nobelpreis erhalten. Abstrakte Darstellung der Quantenmechanik wie die von Heisenberg und Dirac können in eine derartige Wellendarstellungen übersetzt werden, keine davon in eine klassische Teilchendarstellung.

https://en.wikipedia.org/wiki/Schrödinger_equation

Den nächsten Abschnitt verstehe ich nicht.

Der Punkt ist: wenn ich die Quantenmechanik mathematisch ausschließen mittels immer mittels Wellen bzw. Wellenpaketen formuliere, wie gelange ich dann zu lokalisierten teilchenartigen Detektoreignissen? Das ist die zentrale Frage der Quantenmechanik, eng verwandt mit dem sogenannten Messproblem, das bis heute ungelöst ist. Ich würde das aber gerne in eigenen Thread auslagern, da es uns von deiner Frage nach der Unschärfe ablenkt.

Zu der Frage der Wellen und Vektoren: im Falle einer diskreten Fourier-Reihe kann man diese tatsächlich als Darstellung eines Vektors mit unendlich vielen Komponenten betrachten. Leider hat man es in der Praxis jedoch mit überabzählbar unendlich vielen Komponenten zu tun, denn weder der Ort x noch der Impuls p sind diskret. D.h. die Komponenten werden zu Funktionen im Orts- bzw. Impulsraum. Mathematisch benötigst du dazu Hilbert-Räume. Damit sind wir aber ganz weit weg von der Schule ;-)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

Zu zu deiner letzten Frage siehe oben zum Wellenpaket: am besten vergisst du die Idee, einem solchen überhaupt eine Wellenlänge zuzuordnen; diese kommt nur einer unendlich ausgedehnten ebenen Welle zu. Zum Konstruieren von Wellenpaketen im Ortsraum auf Basis der Fourier-Komponenten siehe ebenfalls oben: je enger du das Wellenpaket im Ortsraum lokalisieren möchtest, desto breiter wird die entsprechende Fourier-Transformierte im Impulsraum und umgekehrt.

Abschließend: wie möchtest du weitermachen? Ich würde vorschlagen, zuerst das Thema der Unschärfe abzuschließen; anschließend scheint es mir sinnvoll, dass du dir grundsätzlich überlegst, was du zur Quantenmechanik wissen möchtest. Das ist natürlich ein weites Feld. Die Philosophie dazu würde ich erst mal zurückstellen. Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher und teilweise in sich bzw. untereinander widersprüchlicher Interpretationen. Ich würde zuerst zwei wenige experimentell bestätigte Phänomene und die daraus resultierenden Fragen diskutieren, die den Bruch mit etablierten Vorstellung aus der klassischen Physik aufzeigen. Was man sich stattdessen vorstellen kann bzw. besser nicht vorstellen soll, würde ich im Anschluss diskutieren.

Zuletzt eine explizit Warnung: so einiges, was du zur Quantenmechanik im Internet und leider auch in Büchern findest, ist vorurteilsbeladen, auf dem Stand von vor 70 Jahren, irreführend, teilweise falsch.

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 678

Noch ein Zitat vom guten alten Paul Adrien Maurice. Er schreib 1963:

"Wir können uns glücklich schätzen, wenn es uns gelingt, die Unschärferelationen und den Indeterminismus der gegenwärtigen Quantenmechanik in einer Weise zu beschreiben, die für unsere philosophischen Überlegungen befriedigend ist.
Wenn uns dies aber nicht gelingt, dann sollten wir deswegen nicht allzu beunruhigt sein. Wir dürfen einfach nicht vergessen, dass wir uns in einem Übergangsstadium [der Physik] befinden, und dass es vielleicht ganz unmöglich ist, in diesem Stadium ein befriedigendes Bild zu erhalten."

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 678

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Schaut mal hier ab 12.2:

https://www.gym8-lehrplan.bayern.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/id_27147.html

Völliger Schwachsinn. Tausend Details, und ich gehe jede Wette ein, dass die meisten Schüler an ganz einfachen Fragen scheitern würden.

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@ TomS

Vorab: nicht wundern, vielleicht editier ich diesen Beitrag noch nach. Ich muss das erst mal alles durcharbeiten, was Du geschrieben und verlinkt hast.
Aber das hier ist genau die Diskussion, die ich haben wollte :-)
Ich muss selbst viele Dinge - zumindest besser - verstehen, um was auszuwählen zu können.

Zu den Vektoren. Also ein Vektor mit überabzählbar vielen Komponenten ist ja "einfach" ne Funktion. Also mit

mit

zB (hingegen mit

hätte zwar auch unendlich, aber nicht überabzählbar unendlich viele Komponenten).
Dass dies mit der Algebra der Hilberträume gemacht wird, kenne ich (wobei ich nicht behaupten will, dass ich da viel mit Rechnen würde - meine Quantenphysik für Lehrämter-Übung war derart schlecht, der Typ hatte mal Null Plan, wie er das vermitteln kann und schob immer das immer auf unsere studentische Blödheit, wenn wir mit seinen Ausführungen nix anfangen konnten. War aber auch ein Extremfall. Der Prof hat uns dann beruhigend zugeflüstert, dass er leider feststellen musste, dass sein Mitarbeiter die Dinge selbst nicht versteht.* Alle anderen Übungen waren viel besser.)
*Dies erwähne ich auch, um klarzumachen - ich muss das einigermaßen verstehen, sonst kann ich da niemanden was beibringen.

Allerdings verstehe ich gerade nicht, warum bei den Fourierreihen nicht abzählbar unendlich viele Komponenten ausreichen. Also ich habe Fälle im Kopf, wo die Koeffizienten durchnummeriert sind. Oder sind das Spezialfälle? Also wann gilt

Demnach ließe sich

als Vektor mit

-Komponenten auffassen. Die

könnte man dann als Wellen mit Wellenlänge

auffassen. Wäre dann halt nach oben mit

begrenzt...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

In eine Richtung schon.

Sei

Ersteres entspricht der Darstellung des Vektor f mittels seiner Komponenten, nummeriert durch n, bezüglich der Basisvektoren u.

Letzteres entspricht der Ermittlung der Komponenten durch Projektion des Vektor f auf die Basisvektoren.

Im Falle der linearen Algebra wäre Letzteres ebenfalls eine diskrete Summe.

Aufgrund der Notwendigkeit, im Wellenbild im kontinuierlichen Ortsraum zu arbeiten, funktioniert das in der Quantenmechanik nicht (man kann andere Darstellungen finden, für die dies möglich ist, allerdings bleibt es dann sehr abstrakt).

Schlimmer, die erste Zeile funktioniert nur dann, wenn die Funktionen f(x) auf einem endlichen Intervall definiert bzw. periodisch sind. Gehst du jedoch zum unendlich ausgedehnten Raum über, so wird Ersteres wiederum für ebene Wellen zum Fourier-Integral über den Impuls p (wiederum wären andere Darstellung möglich).

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 678

So wie Steffen ging es mir auch.

Natürlich merkt man irgendwann, dass ein Lehrer auch nicht alles weiß.
Es kommt dann darauf an, dass er richtig reagiert.

Ich erinnere mich noch, wie ich mal meinen Lehrer fragte, wie es ist, wenn eine Lösung gesättigt ist und man dann einen anderen Stoff dazu gibt, ob der sich dann noch löst.
Da sagte er, das wüsste er gerade auch nicht, fände es aber eine sehr interessante Frage. Er hat sich dann schlau gemacht und es mir später erklärt.
Das fand ich gut und hat mir imponiert.

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

..soo, nu ist n Weilchen vergangen und eigentlich habe ich immer noch keinen Plan, wie ich das Thema Unschärfe ergiebiger aufzuziehen kann, als es im Lehrwerk dargestellt ist.

Mein Plan war zunächst so:
Die Einschränkung des Quants auf einen Ort oder besser einen Bereich führt dazu, dass dieser eine Überlagerung von Wellen sein muss. Die durch Überlagerung entstehende Welle hat eine "unscharfe" Wellenlänge a la
https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#/media/File:Sequential_superposition_of_plane_waves.gif

Allerdings verstehe ich nicht, warum es hinter dem Doppelspalt/Gitter dann zu einem "cleanen" Interferenzmuster kommt. Die beteiligten "Oberschwingungen" des Quants müssten doch auch anderen Stellen Intensitätsmaxima produzieren. Das Interferenzmuster wäre also gar nicht existent/gestört.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Die Berechnungen für Interferenz am Doppelspalt bzw. am Gitter werden üblicherweise in der Näherung (unendlich ausgedehnter) ebener Wellen durchgeführt; das ist für einzelne Photonen natürlich nicht realistisch. Ein Photon entspricht einem lokalisierten Wellenpaket, resultierend aus der Überlagerung der von dir genannten Wellen unterschiedlicher Frequenz.

Interferenz kommt dann zustande, wenn die Wellenlänge zur Breite eines Spalts bzw. dem Spaltenabstand „passt“. D.h., nur bestimmte Wellenlängen im Wellenpaket liefern einen relevanten Beitrag zur Interferenz. Letztlich läuft es darauf hinaus, dass man auch mittels lokalisierter Wellenpakete zu ähnlichen Interferenzmustern gelangt.

Siehe z.B. hier:

https://www.youtube.com/watch?v=2TGZ2zM4nDk

(wobei außerdem eine Reflexion berücksichtigt wird, also eine Art Spiegel mit Doppelspalt; den reflektierten Teil kannst du ignorieren, wenn du möchtest)

ML · Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3400

Hallo Tom,

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich sehe bei der gesamten Diskussion die grundsätzliche Schwierigkeit, dass wir – aufgrund didaktischer Überlegungen – ausgegehen müssen von
1. anschaulichen Bildern, ggf. auch für einzelne Quantenobjekte
2. konkreten Messungen

Damit steuern wir unvermeidlich auf das bis heute ungelöste Messproblem zu. Und wir müssen uns zwingend von der Idee vollständig zutreffender und zugleich anschaulicher Bildern des realen Geschehens verabschieden. Die Quantenmechanik ist bis heute nicht vollständig und zugleich realistisch verstanden. Im Gegenteil, viele Physiker bezweifeln, dass dies überhaupt möglich ist.

Wenn wir dies verpassen und die Schüler meinen, sie hätten ein derartiges Verständnis erlangt, dann glauben sie etwas vollständig falsches; so wie eine flache Erde.

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

@TomS vielen Dank für die wunderbaren Videos, also die Animationen zum Doppelspalt und das mit der Frau, die ein Haar in den Laserweg bringt.

Also insgesamt unterrichte ich Quantenphysik gerne und Themen wie die Komplementarität am Mach-Zehnder-Interferometer find ich ansprechend und gut unterrichtbar für SchülerInnen.
Nur die Unschärfe würde ich halt weglassen.
Denn die (Un)Gleichung

zu untersuchen gehört in den Matheunterricht der 7/8. Klasse, aber nicht in einen guten Physik-Leistungskurs-Unterricht.