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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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 Gargy Verfasst am: 08. Apr 2008 20:57 Titel: Divergenz und Rotation |
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Hallo, ich brauche mal Hilfe bei der Berechnung folgenden Terms
)
Soweit bin ich:
= \sum_{i,j,k}~ \frac{ \partial}{\partial_{i}}( \epsilon_{ijk} V_{j} W_{k}) =\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk} \left ( W_{k} \frac{\partial V_{j}}{\partial_{i}} +V_{j} \frac{\partial W_{k}}{\partial_{i}}\right ))
Was mir nicht klar ist, ist der letzte Schritt:
 =W \cdot \left ( \nabla \d x V \right ) - V \cdot \left ( \nabla \d x W \right ))
Wo kommt denn da das Minus her? Ich habe versucht, es ohne dieses Levi-Civita-Symbol  zu rechnen, aber da wird man ja nicht fertig.
Kann mir jemand helfen, bitte? |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 08. Apr 2008 21:10 Titel: |
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Weil das Kreuzproduckt über zwischen dem Nabla Operator und einem Vektor mithilfe des total antisymetrischen Tensors 3. Stufe dargestellt so
aussieht:
(mit den eckigen Klammern meine ich die i'te Komponente des Ausdrucks, links wird über j und k summiert.)
damit dein Ausdruck diese Form hast musst du im zweitem Summanden
beim epsilon Tensor den idex j und i vertauschen, und da beim epsilon Tensor jeder Indextausch einem Vorzeichenwechsel gleichkommt entsteht das Minus.
M.F.G
Sax
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 09. Apr 2008 14:02 Titel: |
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Oh mann, ich versteh kein Wort. Aber du hast mir ja gesagt, was ich jetzt mal lesen sollte. Werd mich mit den Tensoren ein bisschen auseinander setzen. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 09. Apr 2008 15:54 Titel: |
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Sorry, dann etwas ausfuerhlicher
Eigenschaft des Epsilon Tensors (kartesich)
alle anderen sind Null
daraus folgt:
 (1)
usw. . Bei jeder Vertauschung eines Indizes aendert sich das Vorzeichen
Mit dem epsilon Tensor kann man Kreuzproduckte sehr schoen darstellen,
das Kreuzprodukt
kann man mit dem Epsilontensor so darstellen
So erhaelt man die i'te Komponente des Ergebnisses
(i=1 entspricht der x-Komponente, i=2 der y-Komponente i=3 der z Komponente)
(Das sollte man sich mal richtig klar machen, zum Beispiel indem man das mal explizit hinschreibt)
Wenn ich es richtig verstanden habe hattest du Probleme mit diesem Term
 (2)
(hier habe ich den Differentialoperator abgekuerzt)
Schreiben wir es erst mal um:
Um die zweite Summe in die Form von (2) zu bringen vertauschen wir
i und j im Epsilontensor. Wegen (1) gibt das
Nun ist also die zweite Summe die j'te Komponente des Kreuzproducktes
aus Nabla Operator und W. Nennen wirs mal
In der restlichen Summe steht dann
)
Noch eine kleine Anmerkung: Meistens werden dei Summenzeichen nicht mitgeschrieben und es wird die Einsteinsche Summenkonvention benutzt, sprich ueber doppelt auftretende Indizes in einem Produkt wird summiert.
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Zuletzt bearbeitet von sax am 10. Apr 2008 11:22, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 09. Apr 2008 16:33 Titel: |
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Ok, vielen Dank. Aber warum summiere ich dann über j?
Das versteh ich nicht. Ich kann aber auch kein Beispiel finden, immer nur mathematisch erklärt. Ich kann's mir irgendwie nicht vorstellen. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 09. Apr 2008 17:12 Titel: |
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Ach so, ich glaube, ich hab's verstanden (denke ich).
Ich habe ja eigentlich nur die Hälfte betrachtet, weil ich dachte, der Rest wäre klar. Aber es ist ja folgendermaßen
 = \underbrace{\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk} \left ( W_{k} \frac{\partial V_{j}}{\partial_{i}} \right )}_{a)}+\underbrace{\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk} \left ( V_{j} \frac{\partial W_{k}}{\partial_{i}}\right )}_{b)})
a)
= \sum_{k} W_{k} \sum_{i,j}\epsilon_{kij} \left ( \frac{\partial V_{j}}{\partial_{i}} \right ))
Da musste ich ja auch den Index des Epsilons ändern, aber weil es zwei Inversionen gibt, ist es wieder gerade, also +1.
Weiter geht's dann wie du es oben beschrieben hast:
= \left [ \nabla \times V \right ]_{k}=R_{k})
)
b)
 = \left [ \nabla \times W \right ]_{j}=-R_{j} )
)
Zusammen ergibt das:
 =W \left( \nabla \times V \right ) - V \left( \nabla \times W \right ))
Und das ist ja genau das, was rauskommen soll. 
Richtig?
// edit: etlich schreib- und tippfehler beseitigt!
Zuletzt bearbeitet von Gargy am 09. Apr 2008 18:55, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 09. Apr 2008 17:22 Titel: |
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Ja das ist richtig. aber nicht ganz, die Zwischenergebnisse in der letzten Zeile sind falsch. Ich denke mal nur ein schreibfehler ?
auch bei deinen Zeilen zu a) und b) ist das letzte Gleichheitszeichen falsch da
du die Summe ueber k bzw. j weggelassen hast. Ich nehme an du wolltest erstmal nur die hintere Doppelsumme betrachten und dann weiterrechnen, hast du in der naechsten Zeile ja auch gemacht.
(ich habe gerade oben einen Vorzeichenfehler in meinem vorigen Post berichtigt)
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt.
Zuletzt bearbeitet von sax am 09. Apr 2008 19:02, insgesamt einmal bearbeitet |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 09. Apr 2008 18:49 Titel: |
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ups, das ist durch das ganze kopieren passiert. werd's mal schnell berichtigen |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 09. Apr 2008 19:42 Titel: |
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Hey, aber was mache ich, wenn ich sowas habe?
)
Ich hab so angefangen:
= \sum_{ijk} \epsilon_{ijk} ( \phi \partial_{i} V_{j}+ V_{j} \partial_{i} \phi)= \phi \left [ \nabla \times W\right ] + \underbrace{ \sum_{j} V_{j} \sum_{ik} \underbrace{\epsilon_{jik}}_{-1} \partial_{i} \phi}_{=?})
Was mach ich denn mit dem letzen Teil? Ich summiere über einen Index, der gar nicht vorhanden ist. Und angeblich kommt
raus. Wie das?  |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Apr 2008 08:28 Titel: |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
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| sax Verfasst am: 10. Apr 2008 11:20 Titel: |
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Der Anfang ist schon falsch:
 = \nabla \times (\varphi \vec{V}) )
\right]_i = \sum_{j,k} \epsilon_{ijk} \partial_j \varphi V_k )
ueber i wird gar nicht summiert, da ja links die i'te Komponente des Ergebnisses steht.
Das solltest du dir auf jeden Fall richtig klar machen wenn du mit dem epsilon Tensor rechnen willst, zum Beispiel indem du dir einmal fur i = 1 , i=2 , i=3 die Summe explizit hinschreibts, nicht unbedingt mit dem Differntialausdruck sondern zum Beispiel so:
+... \underbrace{\epsilon_{132}}_{=-1} a_3 b_2 + \underbrace{\epsilon_{123}}_{=1} a_2 b_3 = a_2 b_3-a_3 b_2 )
genau die x-Komponente des Kreuzproducktes. Fuer i=2 und i=3 gehts genauso.
Ich hoffe du kommst jetzt weiter.
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Apr 2008 19:55 Titel: |
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ok, danke...
soviel Kritik 
Ich arbeite dran. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
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| sax Verfasst am: 11. Apr 2008 15:39 Titel: |
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War nicht boese gemeint. Mir kam es nur so vor als ob du den Zusammenhang Kreuzprodukt Epsilon Tensor noch nicht so richtig verstanden haettest, und man rechnet imho viel besser wenn man die Formeln nicht einfach nur glaubt sondern auch nachvollzieht.
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